Controesempio

Inlogica,e più in generale inmatematicauncontroesempioè un fatto particolare che dimostra che una certacongetturagenerale è falsa.

Costruire esplicitamente un controesempio è il metodo più naturale ed efficace per confutare deiteoremi.Ad esempio, consideriamo l'affermazione seguente: "tutti i gatti sono neri". Questa affermazione è indubbiamente falsa, ma come facciamo a dimostrarlo? Semplicemente, mostrando al mondo l'esistenza di un gatto di un altro colore.

Questo esempio, a prima vista banale, si estende in tutti gli ambiti della matematica, a vari livelli. Per esempio, molte congetture famose sono asserzioni che valgono in una certa generalità: ad esempio lacongettura di Fermat(dimostrata daAndrew Wilesnel1995) sostiene che:

non esistono soluzioni intere positive all'equazione:$a^{n}+b^{n}=c^{n}$per$n>2$.

Uncontroesempioper questa congettura sarebbe una terna di numeri$a$,$b$e$c$,e un altro intero$n>2$che soddisfino questa relazione.

I matematici che si trovano di fronte una congettura, o più generalmente un problema di cui non sanno la soluzione, hanno generalmente davanti a sé due strade percorribili: tentare didimostrarla,o cercare un controesempio (e in questo caso l'utilizzo intensivo dicomputerpuò essere di grande aiuto). Addirittura per alcuni matematici (i cosiddettiintuizionisti), un controesempio è l'unico modo per poter dimostrare la falsità di un teorema dove le configurazioni possibili da verificare sono infinite.

Esempio

Proviamo, per esempio, a dimostrare che:

per ogni numero reale positivo vale$2^{n}+n^{3}\geq n^{n}$

è falsa. Con$n=1$la proposizione è vera, ma, se proviamo con un altro numero, come$n=10$,si ottiene:

$2^{10}+10^{3}\geq 10^{10}\ \ \Rightarrow \ \ 2024\geq 10000000000$

che è evidentemente falso. Il controesempio ci dice che il teorema,in generale (cioè estendendo il concetto a tutto l'insieme),non vale per tutti i numeri reali positivi.

Voci correlate

• Congettura
• Teorema