Grado topologico

Inmatematica,e più precisamente intopologia,ilgrado topologicoè una quantità introdotta daLuitzen Brouwerattorno al1910che misura il "numero di avvolgimento" di unafunzione continuafraspazi topologici"della stessa dimensione". Questa quantità fornisce un'informazione sul comportamento qualitativo globale della funzione, ed è uninvariante omotopico,cioè non cambia se la funzione viene deformata in modo continuo (una tale deformazione è chiamataomotopia).

L'esempio fondamentale è quello di una funzione continua tra duecirconferenze:il grado topologico è il "numero di avvolgimenti" che la funzione fa compiere alla circonferenza.

Il grado di una funzione$f$viene solitamente indicato con deg$f$.

Definizione intuitiva

La proiezionefavvolge quattro volte la circonferenza su sé stessa: il suo grado è 4.

Sia$f:S^{1}\rightarrow S^{1}$una funzione continua, dove$S^{1}$è la circonferenza del piano. Si può interpretare la$f$come unarcochiuso in$S^{1}$:un arco chiuso in topologia è spesso chiamatolaccio.Tale laccio potrà avvolgersi in$S^{1}$in modi diversi, ad esempio girando due volte in senso antiorario oppure sette volte in senso orario: nel primo caso si dirà che$f$ha grado 2 e nel secondo che ha grado -7. Un esempio di laccio di grado 0 è quello che non si avvolge su$S^{1}$ma rimane fisso su un punto.

Il grado è inoltre uninvariante omotopico,cioè non cambia se il laccio viene deformato. Ad esempio, il laccio che percorre la circonferenza cinque volte in senso antiorario e due volte in senso orario può essere deformato in un laccio che gira tre volte in senso antiorario, e quindi ha grado 3. Un laccio che percorre mezzo giro e torna indietro al punto iniziale si deforma nel laccio fisso in un punto, e quindi ha grado 0. Il fatto rilevante è che in questo modo abbiamo associato ad ogni numero intero una classe di lacci "simili" e solo quelli.

Il discorso può essere generalizzato per funzioni continue$f:S^{2}\rightarrow S^{2}$dalla sfera nella sfera, in tre dimensioni, e più in generale per funzioni$S^{n}\rightarrow S^{n}$,anche se in questi casi l'interpretazione di una sfera che si "avvolge" è geometricamente meno intuitiva.

Definizione

Nella definizione odierna, se$f:S^{n}\rightarrow S^{n}$è unafunzione continuadellasferain sé, l'omomorfismoindotto

$f_{*}:H_{n}(S^{n})\rightarrow H_{n}(S^{n})$

negli n-esimigruppi di omologiaè una funzioneZ→Z,doveZindica inumeri interi,e si definiscegradodi$f$il numero

$\deg(f)=f_{*}(1)$.

Nel caso della circonferenza, si può definire ilgrado topologicodi$f:S^{1}\to S^{1}$usando ilrivestimento universale

$p:\mathbb {R} \to S^{1},\ p(x)=e^{2\pi xi}.$

In questo caso si definisce il grado considerando$f$come un laccio $f:[0,1]\to S^{1}$ e prendendo ilsollevamento

${\tilde {f}}:[0,1]\to \mathbb {R},{\tilde {f}}(0)=0$

di$f$che parte da zero. Questo sollevamento non è più un laccio, cioè punto finale ed iniziale possono non coincidere: il grado di$f$è valore del punto finale${\tilde {f}}(1)$.

Principali proprietà

• se$f$e$g$sono omotope allora$f_{*}=g_{*}$e$deg(f)=deg(g)$.
• il grado dellafunzione identitàè 1.
• il grado di unafunzione costanteè 0.
• il grado di$f\circ g$è il prodotto del grado di$f$per il grado di$g$.
• se$f$è unariflessionedi$S^{n}$,cioè una mappa che fissa i punti di un$S^{n-1}$e "ribalta" gli altri,$deg(f)=-1$.
• la mappa antipodale$f(x)=-x$è la composizione di n+1 riflessioni ed ha grado$(-1)^{n+1}$.

Esempio

Un esempio di mappa di grado n è dato dalrivestimentoa n-fogli della circonferenza$S^{1}$,vista come sottoinsieme del campoCdeinumeri complessi.

$p:S^{1}\rightarrow S^{1},\ p(z)=z^{n}.$

già descritto in precedenza come "avvolgimentonvolte ".

Generalizzazioni

Intopologia differenziale,il grado ha un'interpretazione che ne permette il calcolo esplicito. Sia$f:M\to N$unafunzione differenziabiletra duevarietà differenziabilidella stessa dimensione, la primacompattae senza bordo, la secondaconnessa.

Sia$y$un punto di$N$.Se$y$è unvalore regolareper$f$,la suacontroimmagineha cardinalità$c$finita, e la suaclasse di restomodulo 2 è un valore in {0, 1} che non dipende dal valore regolare$y$,né dalla classe diomotopiadifferenziabile di$f$,ed è chiamatagrado modulo 2di$f$.

Per poter definire un grado intero è necessario cheMedNsianoorientatee senza bordo: in questo caso, per ogni$x$in$M$che sia unpunto regolaredi$f$possiamo definire il segno deldifferenziale$Df_{x}$di f in x come +1 se questo mantiene l'orientazioneo -1 se la inverte (il segno del differenziale è uguale a quello del determinante dello jacobiano nel punto). Si definisce quindi per ogni valore regolare$y$in$N$ilgrado di Brouwer

$\deg(f,y)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}{\mbox{sign}}(Df_{x})$

che risulta anch'esso invariante per valori regolari e classi di omotopia differenziabile.

Ogni mappa continua è approssimabile da una differenziabile, e quindi questa definizione può essere estesa facilmente alle funzioni continue daMinN.Se$M=N=S^{n}$,grado topologico e grado di Brouwer coincidono.

Applicazioni

Come applicazione del grado topologico si può dimostrare il teorema della sfera "pettinabile":$S^{n}$ammette uncamponon nullo di vettori tangenti se e solo se n è dispari. Inoltre è diffusamente usato in topologia differenziale per la dimostrazione di molti teoremi, tra cui ilTeorema del punto fisso di Brouwer,ilTeorema di Borsuk-Ulam,ilTeorema della curva di Jordan,e anche nella teoria delle equazioni differenziali.

Un risultato fondamentale dovuto adHeinz Hopfasserisce che due mappe fra sfere$S^{n}$che hanno lo stesso grado sono omotope: il grado è quindi uninvariante omotopico completo,nel senso che descrive completamente le mappe tra sfere della stessa dimensione, viste a meno di omotopia. In particolare si dimostra che l'applicazione

$[f]\mapsto \deg(f)$

definisce unisomorfismotra l'n-esimogruppo di omotopia$\pi _{n}(S^{n})$eZ.

Bibliografia

• (EN) John W. Milnor,Topology from a differentiable viewpoint;Princeton University Press
• (EN) Glen Bredon,Topology and geometry;Springer-Verlag
• (EN) William Massey,A basic course in algebraic topology;Springer-Verlag

Voci correlate

• Funzione continua
• Gruppo fondamentale
• Indice di avvolgimento
• Rivestimento (topologia)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein,Grado topologico,suMathWorld,Wolfram Research.