Orientazione

Ingeometriaun'orientazionedi uno spazio è una scelta con cui si identificano come "positive" alcune configurazioni divettorie "negative" altre. Queste configurazioni positive e negative sono ottenute l'una dall'altra tramiteriflessione,come in uno specchio.

La nozione di orientazione è presente in tutta la geometria moderna, ed ha numerose applicazioni infisica(ad esempio nell'elettromagnetismoe nellasimmetria CP) ed inchimica(ad esempio, nel concetto dichiralità).

Orientazione di uno spazio vettoriale

Il concetto base di orientazione è definito in unospazio vettoriale reale,come ad esempio ilpiano cartesianoo un più genericospazio euclideo.La definizione si estende successivamente ad altri tipi di spazi, come ad esempio lesuperficio levarietà.

Basi positive e basi negative

Una trasformazione lineare del piano descritta da una matrice$2\times 2$.Poiché la matrice ha determinante negativo, la trasformazione trasforma una base$(x_{1},x_{2})$in una base$(f(x_{1}),f(x_{2}))$con orientazione opposta.

Unabaseper uno spazio vettoriale$V$è uninsieme ordinato$(v_{1},\ldots,v_{n})$di vettoriindipendentichegeneranotutto$V$.

Uno spazio vettoriale ha due tipi di basi: la scelta di un'orientazionedi$V$consiste nel chiamare "positive" le basi di un tipo e "negative" le altre.

Più precisamente, si definisce sull'insieme delle basi per$V$unarelazione di equivalenzanel modo seguente. Per ognicoppia di basiesiste unatrasformazione lineareche manda la prima base nella seconda. Ildeterminantedi questa trasformazione è unnumero realeed è diverso da zero perché una trasformazione di questo tipo è unisomorfismo.Due basi sono equivalenti se il determinante della trasformazione che le collega è positivo. Per le proprietà del determinante, questa è in effetti una relazione di equivalenza.

Questa relazione di equivalenza divide l'insieme delle basi in due classi. Non vi è però nessun argomentoa prioriche permetta di identificare gli elementi di una classe come "positivi" e gli altri come "negativi": l'orientazionedello spazio$V$consiste proprio nella scelta arbitraria di una classe positiva. Poiché ci sono due classi, le scelte possibili sono due: quindi$V$ha due possibili orientazioni.

Esempi

Lospazio euclideoè normalmente considerato uno spazio già orientato: usualmente una base$v_{1},\ldots,v_{n}$è considerata positivase e solo seil determinante

$\det(v_{1}|\ldots |v_{n})$

dellamatrice quadrataottenuta mettendo in fila i vettori colonna$v_{1},\ldots,v_{n}$è positivo. In questo modo labase canonicaè sempre positiva: infatti la matrice che si ottiene è lamatrice identità,che ha sempre determinante 1. Ad esempio, in dimensione due, la base canonica è

$e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\ e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

e questa è positiva perché

$\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=1>0$

D'altro canto, la base

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\ v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

è negativa, poiché

$\det {\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}=-1<0.$

Nello spazio tridimensionale, sono considerate positive le basi di vettori che formano unaterna levogira,mentre sono negative quelle che formano unaterna destrogira.La scelta di "positivo" e "negativo" è comunque in tutti questi casi convenzionale: nulla vieta di assegnare al piano cartesiano o allo spazio euclideo l'orientazione opposta. Laregola della mano destraè un utile strumento per determinare se una data terna di vettori è positiva o negativa.

Orientazione di una varietà

Il toro è una superficie orientabile.

Il nastro di Möbius è una superficie non orientabile.

Orientabilità

Unavarietà(ad esempio, unacurvao unasuperficie) è un oggetto che è localmente simile ad uno spazio euclideo. La nozione di orientazione esiste quindi localmente: questa non è però sempre estendibile dal locale al globale. Quando questo è possibile, la varietà è dettaorientabile:in questo caso le "basi" centrate in tutti i punti della varietà sono effettivamente suddivise in due classi, e si può scegliere unaorientazione,cioè assegnare il termine "positivo" ad una di queste, e "negativo" all'altra.

La possibilità di estendere globalmente questa proprietà locale è collegata al fatto seguente: esiste la possibilità che un oggetto che effettua un viaggio lungo un percorso all'interno della varietà si ritrovi con un'orientazione invertita al suo ritorno al punto di partenza? Se esiste questa possibilità, è impossibile assegnare una orientazione globale, e quindi la varietà è dettanon orientabile.Viceversa, se questa possibilità non esiste è possibile assegnare un'orientazione alla varietà, e quindi distinguere globalmente fra "basi" positive e negative.

Esempi

Per una curva, l'orientazione è semplicemente la scelta di una direzione di percorrenza della curva. Una scelta di questo tipo è sempre possibile, in altre parole una curva è sempreorientabile.

Superfici come lasferaed iltorosono orientabili. L'esempio più noto di superficie non orientabile è ilnastro di Möbius:disegnando una mano destra sul nastro, e facendo fare un giro completo al disegno, si ottiene come risultato una mano sinistra! Per questo motivo è materialmente impossibile distinguere mani destre da mani sinistre, ovvero suddividere le basi in positive e negative.

Questa proprietà del nastro di Möbius è collegata al fatto seguente: un osservatore che cammini lungo il nastro, dopo un giro completo si ritroverà a testa in giù, dalla parte opposta.

Voci correlate

• Chiralità (matematica)
• Regola della mano destra
• Determinante

Collegamenti esterni

• (EN)orientation,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein,Orientazione,suMathWorld,Wolfram Research.

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