Sistema dinamico

Attrattoreciclico simmetrico di Thomas

Infisica,matematicaeingegneria,in particolare nellateoria dei sistemi,unsistema dinamicoè unmodello matematicoche rappresenta un oggetto (sistema) con un numero finito digradi di libertàche evolve neltemposecondo una leggedeterministica;tipicamente un sistema dinamico viene rappresentato analiticamente da un'equazione differenziale,espressa poi in vari formalismi, e identificato da un vettore nellospazio delle fasi,lo spazio degli stati del sistema, dove "stato" è un termine che indica l'insieme dellegrandezze fisiche,dettevariabili di stato,i cui valori effettivi "descrivono" il sistema in un certo istante temporale.

Descrizione

Illustrazione schematica di una rappresentazione geometrica di un sistema dinamico

Lo studio dei sistemi dinamici rappresenta uno dei più antichi e importanti settori della matematica e della fisica; si tratta di un modello matematico utilizzato per descrivere i sistemi meccanici nell'ambito dellameccanica classicae nella sua riformulazione sviluppata dallameccanica lagrangianae dallameccanica hamiltoniana,e che è presente in molti settori dell'ingegneria,come l'automaticae l'ingegneria dei sistemi.Le applicazioni sono molteplici, spaziando daicircuiti elettriciaisistemi termodinamici.

Alla fine del diciannovesimo secolo, poi,Henri Poincaréosserva la possibilità di un comportamento fortemente irregolare di alcuni sistemi dinamici studiando ilproblema dei tre corpi:negli anni '50 del secolo successivo, in seguito agli esperimenti numerici del meteorologoEdward Lorenz,che studiando l'atmosfera terrestre rivelò ladipendenza sensibile dalle condizioni iniziali,i risultati di Poincaré vennero presi in grande considerazione dalla comunità scientifica e posero le basi allateoria del caos.Il comportamento caotico dei sistemi dinamici, la cui controparte matematica può raggiungere gradi di complessità che rendono vincolante l'utilizzo delcalcolatore,è stato riscontrato in molti e diversi ambiti dello studio della natura della civiltà umana, tra cui labiologiae l'economia.Si può definire sistema dinamico un sistema la cuimodellizzazione matematicapuò essere espressa da un'equazione differenziale(ordinaria o alle derivate parziali). A partire da questo esistono diversi formalismi matematici utili alla sua descrizione e studio sia in ambitofisicocheingegneristico(ingegneria dei sistemieautomatica).

Si possono identificare due tipologie di sistema dinamico:

• se l'evoluzione avviene ad intervalli discreti di tempo il sistema viene chiamatosistema dinamico discretoed è definito dall'iterazionedi una funzione;
• se l'evoluzione è continua e definita da un'equazione differenziale,il sistema viene chiamatosistema dinamico continuo.

Di particolare importanza sono isistemi dinamici lineari,i più semplici da analizzare in quanto le equazioni non lineari non sono solitamente risolvibili in modo esatto. Tra i sistemi lineari, i sistemilineari tempo-invarianti(sistemi LTI) vengono ampiamente utilizzati nellateoria dei segnalie nellateoria del controllo.Una delle caratteristiche dei sistemi dinamici che viene studiata più spesso è lastabilità.Per esempio, è comune studiare la stabilità in termini di limitatezza delle uscite nei confronti di un ingresso limitato (stabilità esterna), oppure in termini di allontanamento da unostato di equilibrio(stabilità interna). Per analizzare matematicamente il comportamento di un sistema dinamico si utilizzano soprattutto due tipologie di descrizione, larappresentazione in spazio di statoe il formalismo deldominio della frequenza(si veda lafunzione di trasferimentonel caso disistemi stazionari).

Definizione

Nello specifico, per ogni$t$si può definire$\Phi$tale che:

$\Phi (0,x)=x,$

$\Phi (t_{1},x)\circ \Phi (t_{2},x)=\Phi (t_{1},\Phi (t_{2},x))=\Phi (t_{1}+t_{2},x)\qquad t_{1},t_{2},t_{1}+t_{2}\in I(x),$

dove:

$I(x)=\{t\in T:(t,x)\in U\}.$

Ciò rispecchia il fatto che la legge di evoluzione$\Phi$del sistema non cambia essa stessa nel tempo. Le funzioni$\Phi (t,x)$parametrizzate da$t$,con lalegge di composizione$\Phi (t_{1},x)\circ \Phi (t_{2},x)$,formano ungruppo commutativoad un parametro.Frequentemente nel caso discreto$T$coincide con$\mathbb {Z}$,mentre nel caso continuo$T$coincide con$\mathbb {R}$.

Ilgraficodi$\Phi$è la traiettoria del sistema nel tempo e l'insieme:

$\gamma _{x_{0}}:=\{\Phi (t,x_{0}):t\in I(x_{0})\},$

è l'orbitapassante per$x_{0}$(ovvero l'immagine del flusso in$x_{0}$).

Un sottoinsieme$S\subset M$è detto$\Phi$-invariantese:

$\Phi (t,x)\in S\qquad \forall x\in S\quad \forall t\in T.$

In particolare, affinché$S$sia invariante si deve verificare$I(x)=T$per tutti gli$x\in S$,ovvero il flusso lungo$x$deve essere definito per tutti i punti di$S$ad ogni tempo.

Allora abbiamo la seguente definizione: sia$U$unavarietà differenziale$n$-dimensionale, con$n$finito, e$\Phi =\{\Phi ^{t},\;t\in T\}$un gruppo didiffeomorfismidi mappe regolari$\Phi ^{t}:U\to U$,allora la coppia$(U,\Phi )$è dettasistema dinamico regolare invertibile(continuose$T=\mathbb {R}$odiscretose$T=\mathbb {Z}$oppure$T=\mathbb {N}$).

Sistemi fisici

La dinamica dei sistemi fisici può essere caratterizzata dal fatto che il loro moto tra due punti dicoordinate generalizzate$\mathbf {q} (t_{1})$e$\mathbf {q} (t_{2})$segue uncamminoche rende stazionario, ovvero avariazionenulla, ilfunzionaleazione:

$\delta {\mathcal {A}}=0,$

in accordo con ilprincipio di minima azione(principio variazionale di Hamilton). L'azione è l'integralenel tempo dellalagrangiana${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q},t)$:

${\mathcal {A}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t,$

dove${\mathcal {L}}\in {\mathcal {C}}^{2}[t_{1},t_{2}]$.Si dimostra che${\mathcal {L}}$così definita soddisfa leequazioni di Eulero-Lagrange:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=0$

dove${\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {p},\mathbf {q},t)$Rendere stazionaria l'azione corrisponde a minimizzare l'energiadel sistema considerato, e solitamente si fa corrispondere all'energia totale del sistema una funzione${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q},\mathbf {p},t)$,dettahamiltonianae introdotta nel 1835 daWilliam Rowan Hamilton,che dipende dalle coordinate generalizzate$\mathbf {q}$e dai rispettivi momenti coniugati:

$p_{j}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q},t)\implies \mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q},t)$

L'hamiltoniana è data dalla somma${\mathcal {H}}=T+V$dell'energia cinetica$T$e dell'energia potenziale$V$del sistema, ed è latrasformata di Legendredella lagrangiana${\mathcal {L}}$:

${\mathcal {H}}(\mathbf {p},\mathbf {q},t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q},t)$

dove${\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {p},\mathbf {q},t)$.La formalizzazione di un problema dinamico tramite il principio di minima azione (valido persistemi olonomiemonogenici) è alla base della riformulazione dellameccanica classicasviluppata dalla meccanica hamiltoniana e lagrangiana.

In particolare leequazioni di Hamilton:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\qquad {\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }},$

sono equivalenti alleequazioni del motodi Eulero-Lagrange, a loro volta equivalenti alleequazioni di Newton.

Ilprincipio di conservazione dell'energiaviene poi espresso, in tale contesto, dicendo che${\mathcal {H}}$è unintegrale primodelle equazioni di Hamilton, oppure con il fatto che la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo:

${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0.$

Più in generale, per ilteorema di Noetherad ogni simmetria della lagrangiana, ovvero ad ogni trasformazione infinitesima continua delle coordinate$({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q},t)$che lascia inalterata${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q},t)$,corrisponde unaquantità conservata.

Esempio

Inmeccanica classicaun esempio elementare di sistema dinamico è fornito da un punto che si muove nello spazio. Il punto viene completamente caratterizzato dalla sua posizione$r(t)$(un vettore dipendente da$t\in \mathbb {R}$) e dalla sua velocità$v(t)={\dot {r}}(t)=dr/dt$.Lo stato di tale sistema è il vettore$(r(t),v(t))\in \mathbb {R} ^{n}$,dove$\mathbb {R} ^{n}$è lo spazio degli stati utilizzato e i suoi elementi rappresentano tutti i possibili stati che il sistema può assumere. Lo spazio degli stati viene anche dettospazio delle fasi.L'evoluzione temporale del punto è quindi data dalle due derivate:

${\dot {r}}(t)=v(t),\quad {\ddot {r}}(t)={\dot {v}}(t)=a,$

dove$a$è l'accelerazionedel punto (che dipende dalla somma delleforzea cui è soggetto). Definendo:

$x(t)=(r(t),v(t)),$

il moto del punto può essere scritto con l'equazione ordinariaautonoma:

${\dot {x}}(t)=f(x(t))$

Scegliendo un punto e una velocità iniziali$x_{0}=(r_{0},v_{0})$,ovvero ponendo$x(t=0)\equiv x_{0}$,si ottiene l'evoluzione del sistema a partire da$x_{0}$(problema di cauchyper l'equazione differenziale).

Tutti i sistemi dinamici a tempo continuo vengono scritti in modo analogo, eventualmente con$f$che dipende esplicitamente dal tempo:

${\dot {x}}(t)=f(x(t),t)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},$

dove$f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$è una funzione almenodifferenziabile.Tale sistema può essere ricondotto a quello autonomo ($f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$) con un cambio di variabili.

La soluzione$(x_{0},t)$al variare di$t$è latraiettoria(orbita) seguita dal sistema nello spazio delle fasi a partire da$x_{0}$.Nell'impostare formalmente lo studio di un sistema dinamico si fa in modo che la funzione$f$sia sufficientemente regolare da fornire una soluzione unica (teorema di esistenza e unicità), in accordo con il fatto che l'evoluzione del sistema a partire da un punto dato è unica. In generale, un sistema dinamico$(T,M,\Phi )$è definito da ungruppo(o unsemigruppo)$T$,che è l'insieme dei valori del parametro tempo$t$,e un insieme$M$,detto lospazio delle fasiospazio degli stati.La funzione di evoluzione temporale (flusso)$\Phi \colon U\subset T\times M\to M$determina l'azionedi$T$su$M$.Nellateoria ergodica$M$è unospazio misurabileconmisura di probabilità$\mu$e$\Phi$è unafunzione misurabileche preserva$\mu$,mentre nella cosiddettatopologia dinamica$M$è unospazio topologicocompletoe$\Phi$è unafunzione continua(spesso ancheinvertibile).

Esempi tipici di sistemi dinamici continui sono:

• ilsistema preda-predatore di Volterra-Lotkaper ladinamica delle popolazioni;
• ilsistema di Lorenzper l'evoluzione delle condizioni meteorologiche.

Esempi di sistemi dinamici discreti sono:

• lamappa logistica;
• lamappa di Hénon;
• lamappa standard.

Classificazione

Sistemi continui

Data unavarietà$S$,sia$v:S\to S$uncampo vettorialedifferenziabile,cioè che associa ad ogni punto$z\in S$un vettore le cui coordinate sono legate alle coordinate di$z$(definite in un suo intorno rispetto a qualche base) tramite una funzione differenziabile. Un sistema dinamico è definito dall'equazione autonoma(l'equazione del motoper sistemi meccanici):

$v(z)={\frac {dz}{dt}}.$

Trattandosi di un'equazione differenziale ordinaria,il relativoteorema di esistenza e unicitàdella soluzione stabilisce che preso un punto iniziale$z_{0}$esiste un intervallo$-a\leq t\leq b$,con$a,b>0$,in cui il sistema dinamico ha una soluzione unica$z(t)=\phi _{t}(z_{0})$.

Se la soluzione (traiettoria) esiste per tutti i tempi e per qualsiasi scelta del punto iniziale$z_{0}$si ha che il tempo può scorrere nel verso contrario, ovvero è possibile predire il passato conoscendo uno stato del sistema nel futuro. In particolare, si verifica che$\phi _{t}^{-1}=\phi _{-t}$e l'insieme delle$\phi _{t}$forma un gruppo continuo ad un parametro didiffeomorfismisu$S$.

La struttura matematica che viene assegnata allo spazio delle fasi$M$dipende comunque dal contesto; solitamente è unospazio topologico,in cui ha senso parlare dicontinuitànell'evoluzione temporale dello stato. Uno spazio topologico in cui è possibile l'utilizzo di strumentimetriciedifferenzialiè ad esempio lavarietà differenziabile,una delle strutture più utilizzate in quanto risulta particolarmente adatta per modellare isistemi fisici.Per i sistemi nei quali allo stato viene associata una nozione dimisura,ad esempio unaprobabilità,si utilizza unospazio misurabile.Si richiede inoltre che il flusso$\Phi$sia compatibile con la struttura di$M$:nel caso in cui$M$sia rispettivamente uno spazio topologico, uno spazio misurabile, una varietà differenziabile o una varietà complessa,$\Phi$è unomeomorfismo,unafunzione misurabile,un diffeomorfismo o unafunzione olomorfa.

Sistemi discreti

I sistemi dinamici discreti sono definiti da un'iterazione del tipo:

$X_{n+1}=f(X_{n})\qquad n\geq 0,$

di una funzione$f:S\to S$,con$S\subset \mathbb {R} ^{n}$.Può essere vista come un'equazione alle differenze:

$X_{n+1}-X_{n}=f(X_{n})-X_{n}\qquad n\geq 0,$

che definendo$F(X_{n})=f(X_{n})-X_{n}$assume la stessa forma dell'equazione differenziale ordinaria del caso continuo.

Leorbitedi un sistema discreto sono unasuccessionedi stati$\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.Il gruppo di trasformazioni è quindi dato dall'insieme:

$G=\{Id,f,f^{2},f^{3},\dots f^{n},\dots \}.$

dove l'espressione$f^{k}$indica lacomposizione di funzioni$f\circ \dots \circ f$di$f$con sé stessa iterata$k$volte.

Classificazione in base a ingressi e uscite

In ambito ingegneristico i sistemi dinamici vengono classificati in base al numero di variabili d'ingresso e d'uscita, si hanno infatti:

• sistemi a singolo ingresso e singola uscita (SISO,dall'inglesesingle input-single output);
• sistemi a ingresso multiplo e uscita multipla (MIMO,dall'inglesemultiple input-multiple output);

e meno frequentemente:

• sistemi a singolo ingresso e uscita multipla (SIMO,dall'inglesesingle input-multiple output);
• sistemi a ingresso multiplo e singola uscita (MISO,dall'inglesemultiple input-single output).

Sistemi lineari

Una tecnica utilizzata per studiare un problema non lineare${\dot {x}}=f(x(t))$nelle vicinanze di unpunto di equilibrioè quella di approssimarlo ad un sistema lineare${\dot {z}}=J_{f}(x_{0})\cdot z(t)$in unintornodel punto di equilibrio tramite lamatrice jacobiana$J_{f}$di$f$.A seconda del comportamento del sistema (a seconda deldeterminantedi$J_{f}$) l'equilibrio è classificato come stabile, asintoticamente stabile

Una classe molto importante di sistemi dinamici è quella dei sistemi lineari, in cui il legame tra variabili di ingresso e l'uscita èlineare.Sono utilizzati ad esempio nellateoria dei segnalio nellateoria dei circuiti,e spesso sono analizzatiin frequenzatramite l'utilizzo ditrasformate integrali,come latrasformata di Fouriero latrasformata di Laplace.

Un sistema lineare di$n$stati$\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$,$m$input$\mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}$e$q$uscite$\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$viene descritto da un'equazione del tipo:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t),$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t),$

dove$A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$,$B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$,$C\in \mathbb {R} ^{q\times n}$e$D\in \mathbb {R} ^{q\times m}$sono matrici (che nel caso stazionario non dipendono dal tempo).

Sistemi lineari e stazionari

Un sistema dinamico lineare e stazionario è anche dettolineare tempo-invariante,abbreviato spesso con la sigla LTI (dall'ingleseLinear Time-Invariant). Nel caso di un sistema continuo, è caratterizzato dal fatto che l'uscita$y(t)$per un segnale in ingresso$x(t)$è descritta dallaconvoluzione:

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau$

dove$h(t)$è larisposta impulsiva,ovvero la risposta del sistema quando l'ingresso$x(t)$è una funzione adelta di Dirac.Se la funzione$h(\tau )$è nulla quando$\tau <0$allora$y(t)$dipende soltanto dai valori assunti da$x$precedentemente al tempo$t$,e il sistema è dettocausale.

Un sistema a tempo discreto trasforma lasuccessionein ingresso$\{x\}$in un'altra successione$\{y\}$,data dalla convoluzione discreta con la risposta$h$alladelta di Kronecker:

$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k].$

Gli elementi di$\{y\}$possono dipendere da ogni elemento di$\{x\}$.Solitamente$y[n]$dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo$n$.

I sistemi lineari stazionari sono spesso descritti neldominio della frequenza(risposta in frequenza) attraverso lafunzione di trasferimento,definita come latrasformata di Laplacedella risposta all'impulso a delta.

Sistemi strettamente propri

Un'ulteriore classificazione per i sistemi lineari li divide instrettamente propri(opuramente dinamici) quando l'uscita dipende esclusivamente dagli stati del sistema, e in tal caso nella rappresentazione matriciale ciò corrisponde a una matrice$D(t)$nulla, mentre si parla disistema proprioin tutti gli altri casi. Un caso particolare di sistema proprio si ha quando è la matrice$C(t)$ad azzerarsi, in tal caso il sistema è dettonon dinamicoe non è necessario ricorrere a variabili di stato per rappresentarlo, poiché il legame fra ingresso e uscita è istantaneo.È possibile dimostrare che un sistema puramente dinamico ha funzione di trasferimento con grado del numeratore minore a quello del denominatore mentre un sistema non dinamico ha, ovviamente, funzione di trasferimento con grado zero.

Sistemi non lineari

In matematica unsistema non lineare(talvolta nonlineare) è un sistema di equazioni in cui almeno una di esse è non lineare, cioè non esprimibile come combinazione lineare delle incognite presenti e di una costante. Ad esempio potrebbe contenere equazioni algebriche con almeno un termine di grado maggiore di uno, o più in generale dei termini non polinomiali (irrazionaliotrascendenti). In pratica, ogni sistema di equazioni che non sia lineare è detto non lineare.

Sistemi complessi

In fisica moderna unsistema complessoè un sistema dinamico a multicomponenti ossia composto da diversi sottosistemi che tipicamente interagiscono tra loro. Tali sistemi vengono studiati tipicamente attraverso apposite metodologie di indagine di tipo "olistico" ossia come computazione "in toto" ( "il tutto è maggiore della somma delle singole parti" ) dei comportamenti dei singoli sottosistemi assieme alle loro reciproche interazioni (eventualmente non-lineari), descrivibili analiticamente tramite modelli matematici, anziché in maniera "riduzionistica" (cioè scomponendo e analizzando il sistema nei suoi componenti).

Analisi

L'analisi dei sistemi dinamicio è lo studio del comportamento dei sistemi medesimi. Dal momento che la definizione di sistema dinamico è molto generale, sono diverse le discipline che propongono unmodello matematicodi sistema dinamico in riferimento a contesti particolari.

Ad esempio, inmeccanica classicaleequazioni del motodiNewtonsono state riformulate dallameccanica lagrangianae dallameccanica hamiltoniana,mentre iningegneriai sistemi dinamici - che possono essere ad esempiocircuiti- hanno una uscita (output) e un ingresso (input). Nel caso gli ingressi siano sottoposti ad un segnale aggiuntivo di controllo, si entra nell'ambito dell'analisi deisistemi di controllo.

In tutti i casi, l'analisi dei sistemi dinamici viene effettuata impostando un sistema di una o piùequazioni differenzialiper le quali si specificano deidati iniziali.

Rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza

Descrizione di un sistema LTI nel dominio del tempo (in blu) e nel dominio delle frequenze (latrasformata di Laplaceè mostrata in rosso).

In matematica, ingegneria, fisica, statistica, e altri ambiti delle scienze, l'analisi nel dominio della frequenza di una funzione del tempo (o segnale) ne indica la descrizione in termini dell'insieme (spettro) delle sue frequenze. Ad esempio, è una pratica diffusa nell'ambito delle tecnologie audiovisive e nelle telecomunicazioni valutare quanto un segnale elettrico o elettromagnetico sia compreso in bande di frequenze di particolare interesse.

Rappresentazione nello spazio di stato

Descrizione nello spazio delle fasi del moto caotico di un pendolo sotto l'influenza di una forza esterna.

In fisica matematica, in particolare inmeccanica razionalee nella teoria dei sistemi dinamici, una 'rappresentazione in spazio di stato,nota anche come rappresentazione in spazio di fase, è una descrizione di un sistema dinamico in cui si fa particolare riferimento alle variabili di stato del sistema, le quali formano unospazio vettorialein cui esso viene rappresentato. La dimensione del suddetto spazio vettoriale è pari al doppio del numero di gradi di libertà del sistema; viceversa, uno spazio vettoriale che abbia dimensione pari al numero di gradi di libertà riuscirà a tener conto soltanto dello stato del sistema in un singolo istante.

Rappresentazione grafica

Traiettorie di stato

Supponendo di perturbare un sistema e osservando la traiettoria di una grandezza di interesse, si verificano casi di particolare interesse quando l'evoluzione tenderà a stabilizzarsi in una posizione diequilibrio,ossia unpunto fissodell'evoluzione del sistema.

Gli equilibri di un sistema cambiano al variare di ingressi e disturbi (supposti costanti), ad esempio modificando la tensione ai capi di un motore varia la velocità raggiunta a regime. Lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è di estremo interesse, tipicamente i problemi di controllo possono essere interpretati come una modifica del punto di equilibrio di un dato sistema. Un esempio semplice è dato dall'equilibrio termicodi un appartamento, la cui temperatura interna è l'equilibrio imposto dalle condizioni ambientali ed interne. L'utilizzo di un condizionatore d'aria (sistema di controllo) modificando la temperatura interna alla stanza non fa altro che modificare il punto di equilibrio del sistema.

Modello a scatole

Modello black box

Nell'ingegneria dei sistemiun sistema può essere modellizzato graficamente tramite una scomposizione in un insieme di sottosistemi collegati tra loro in vario modo (serie, parallelo, retroazione, ecc.), ciascuno dei quali è identificato da unoscatolottoil cui funzionamento o comportamento è descritto da una funzione di sottoprocesso che esso svolge all'interno del sistema generale. Lo schema risultante si daràschema a blocchidel sistema (si vedaModello black-box,Modello white-boxeModello grey-box).

L'analisi di tali sistemi può essere fatta tramite l'ottenimento della cosiddettafunzione di trasferimentoovvero il rapporto tra latrasformata di laplacedell'ingresso e la trasformata dell'uscita ossia tramite la cosiddetta risposta impulsiva, antitrasformata della funzione di trasferimento ossia risposta da un impulso semplice dove l'uscita viene computata nel dominio del tempo dallaconvoluzionedi tale risposta impulsiva con l'ingresso desiderato ossia con il prodotto della funzione di trasferimento per l'ingresso trasformato e poi il tutto antitrasformatato. Altro modo di rappresentazione analogo è il modello autoregressivo ingresso-stato-uscita a media mobile (ARMA).

Stabilità e punti di equilibrio

Stabilità in un sistema dinamico in prossimità delpunto di equilibrio$x_{0}$:lesoluzioniche partono dentro$V$rimangono in$U$per tutta l'evoluzione del sistema.

Si possono definire diversi tipi di stabilità per un sistema dinamico, ad esempio lastabilità esterna,anche dettastabilità BIBO(daBounded Input, Bounded Output), ovvero la proprietà di avere un'uscita limitata se l'ingresso è limitato, oppure lastabilità interna,che si riferisce alla capacità di tornare in una configurazione diequilibriodopo una perturbazione dello stato di equilibrio stesso. La stabilità esterna viene generalmente utilizzata per analizzare il comportamento disistemi lineari stazionari(per i quali si valutano ipolidellafunzione di trasferimento), mentre la stabilità interna sfrutta larappresentazione in spazio di statodel sistema ed è stata studiata in particolare daAleksandr Michajlovič Ljapunov.

L'analisi della stabilità di unsistema meccanicoè collegata con il fatto che il sistema, se lasciato libero di evolvere, tende spontaneamente a portarsi in una configurazione dove la suaenergia potenzialeè minima: tale configurazione che corrisponde ad uno stato di equilibrio stabile (si veda ilteorema di Lagrange-Dirichlet).

Stabilità interna

In matematica, lastabilità internao stabilità di Ljapunov di un sistema dinamico è un modo per caratterizzare la stabilità delle traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi in seguito ad una sua perturbazione in prossimità di un punto di equilibrio. Un punto di equilibrio è detto stabile (secondo Ljapunov) se ogni orbita del sistema che parte sufficientemente vicina al punto di equilibrio rimane nelle vicinanze del punto di equilibrio, ed è detto asintoticamente stabile se l'orbita converge al punto al crescere infinito del tempo.

Stabilità esterna

Un sistema è stabile esternamente (BIBO stabile) se ad un ingresso limitato corrisponde una uscita limitata. La limitatezza di una funzione scalare$f$è generalmente definita in tale contesto dal fatto che esiste un$M<\infty$tale che:

$\sup _{t\geq 0}|f(t)|<M.$

Nel caso disistemi dinamici lineari,un sistema lineare è BIBO stabile se e solo se larisposta impulsiva$h(t)$èassolutamente integrabile,cioè esiste un$M'<\infty$tale che:

$\int _{-\infty }^{\infty }|h(\tau )|d\tau <M'.$

Stabilità strutturale

In matematica, lastabilità strutturaleè una proprietà fondamentale dei sistemi dinamici descrivibile qualitativamente come l'inalterabilità delle traiettorie a seguito di piccole perturbazioni diclasse$C^{1}$.Esempi di queste proprietà qualitative sono il numero di punti fissi e di orbite periodiche (ma non i loro periodi). A differenza della stabilità secondo Lyapunov, che considera perturbazioni nelle condizioni iniziali di un certo sistema, la stabilità strutturale riguarda le perturbazioni del sistema stesso. Le varianti di questa nozione si applicano ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie, ai campi vettoriali su varietà regolari, i flussi da essi generati, e i diffeomorfismi.

Controllabilità e osservabilità

Esempio di controllo ad anello

I concetti di controllabilità e osservabilità di un sistema dinamico sono stati introdotti daKalmannel 1960 e sono alla base dellateoria del controllo.Informalmente, un sistema è controllabile se è possibile portarlo in qualsiasi configurazione finale agendo opportunamente sull'ingresso in un tempo finito; viceversa, è osservabile se dall'uscita è possibile risalire allo stato del sistema. Nei sistemi lineari controllabilità e osservabilità sono due proprietà duali.

Sistemi lineari

Dato unsistema dinamico lineare:

${\dot {x}}=Ax+bu$

$y=c^{T}x$

dove$c^{T}$è un vettore costante, si consideri la matrice:

$T=[c^{T}\quad c^{T}A\quad c^{T}A^{2}\quad \dots \quad c^{T}A^{n-1}]^{T}.$

Il sistema è completamente osservabile se ilrangodi$T$è massimo.

Considerando invece la matrice:

$R={\begin{bmatrix}b&Ab&A^{2}b&\ldots &A^{n-1}b\end{bmatrix}},$

il sistema è completamente controllabile se la matrice ha rango massimo.

Definendo il sistema duale:

${\dot {x}}=A^{T}x+cu$

$y=b^{T}x$

si dimostra che il sistema di partenza è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente controllabile, ed è completamente controllabile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.

Sistemi non lineari

Dato un sistema dinamico definito su una varietà$M\in C^{\infty }$di dimensione$m$:

${\dot {x}}=f(x,u),\qquad x\in M$

$y=g(x)$

con$u\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{l}$l'ingresso,$y\in \mathbb {R} ^{n}$l'uscita e$f,g\in C^{\infty }$,i problemi di controllabilità si traducono nel verificare se lo spazio delle fasi$M$è sufficientemente grande da contenere tutti gli stati possibili (altrimenti il sistema non è osservabile) o se, al contrario, contiene stati che il sistema non può raggiungere (il sistema non è controllabile).

Una descrizione matematica comunemente utilizzata considera l'algebra di Lie$F$dicampi vettorialisullo spazio delle fasi$M$generata dal campo vettoriale$f(\cdot,u)$,con$u\in \Omega$un controllo costante: se la dimensione dell'algebra è costante esiste un'unica sotto-varietà$M'\subset M$tangente lo stato iniziale$x_{0}$contenente tutte le orbite raggiungibili dal sistema (andando avanti o all'indietro nel tempo) passanti per$x_{0}$.Se la dimensione di$F(x_{0})$è$m$allora$M=M'$e il sistema è in qualche modo controllabile; in caso contrario, se la dimensione è minore di$m$si considera solo l'insieme$M'$in cui il sistema è controllabile.

Sistemi ergodici

Lateoria ergodica(dal greco ἔργον érgon, lavoro, energia e ὁδός hodós «via, percorso»[1]) si occupa principalmente dello studio matematico del comportamento medio, a lungo termine, di sistemi dinamici.

Teoria delle biforcazioni

Biforcazioni nellamappa logistica

Lateoria delle biforcazionisi occupa delle variazioni nella struttura delle orbite di un sistema dinamico al variare di un parametro del sistema, nel caso in cui tali variazioni non sianotopologicamente equivalenti.

Caos e attrattori

In matematica lateoria del caosè lo studio, attraverso modelli propri della fisica matematica, dei sistemi dinamici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.[1] I sistemi di questo tipo, pur governati da leggi deterministiche, sono in grado di esibire un'empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche.[2] Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.[1]

Esempio

Per introdurre l'analisi di un sistema dinamico possiamo fare riferimento al modello costituito da un serbatoio d'acqua forato. In tale modello fissiamo le variabili e le costanti del sistema che si è creato. Abbiamo:

• la sezione del serbatoio$S$che rimane costante nel tempo;
• una costante generale$K$del liquido considerato che comprende diversi fattori costanti rispetto al tempo come la densità del liquido e la dimensione del foro;
• il livello di acqua nel serbatoio$x(t)$che definiamo come variabile di stato del sistema;
• la portata d'acqua entrante che definiamoingresso del sistema$u(t);$
• la portata uscente dell'acqua che definiamouscita del sistema$y(t)$che è proporzionale alla quantità di liquido sovrastante (ossia livello d'acqua per la sezione del serbatoio) e alla costante del sistema, infatti$y(t)=Kx(t).$

Sappiamo che, essendo un serbatoio un sistema dinamico, il suo stato al tempo$t$è definito sia dalla variabile di ingresso, sia dalla variabile di uscita, sia dallo stato precedente del sistema$x(t-\Delta t).$ Possiamo quindi definire la formula generale dei sistemi dinamici (del primo ordine: ossia quelli definiti da una sola variabile di uscita) per i quali:

${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=Ax(t)+Bu(t).$

Se voglio sapere il livello di acqua nel serbatoio all'istante$t$posso ragionare sulle variabili del sistema:

1. so che$u(t)-Kx(t)$corrisponde alla quantità di liquido del serbatoio (quantità entrante meno quantità uscente)
2. so che tale valore è uguale a$S{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$(in quanto tale valore corrisponde anch'esso alla variazione di livello di liquido all'interno del serbatoio nell'unità di tempo), quindi
3. $u(t)-Kx(t)=S{\frac {\Delta x}{\Delta t}},$
4. ricavo il rapporto${\frac {\Delta x}{\Delta t}}$e ottengo
5. ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=k{\frac {x(t)}{S}}+{\frac {u(t)}{S}}$che si ritrova perfettamente con la formula generale dei sistemi di primo ordine.

Se volessimo analizzare graficamente l'andamento dello stato del sistema potremmo, tramite foglio di calcolo, determinare l'avanzare del sistema in funzione di un intervallo di tempo$\Delta t$che viene scelto "empiricamente" tramite la formula$\Delta t={\frac {0,1}{|A|}}$ossia$0,1$diviso il valore assoluto del coefficiente moltiplicante lo stato del sistema nella formula generale dei sistemi.

Graficamente otterrei un iniziale andamento esponenziale del sistema seguito da un equilibrio dello stato del sistema. Tendenza dei sistemi dinamici è infatti il raggiungimento di uno stato di equilibrio che si conservi nel tempo.

Bibliografia

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Voci correlate

• Analisi dei sistemi dinamici
• Attrattore
• Automa (informatica)
• Controllabilità
• Controllo automatico
• Ergodicità
• Funzione di trasferimento
• Identificazione di sistemi dinamici
• Meccanica lagrangiana
• Meccanica hamiltoniana
• Orbita (matematica)
• Punto di equilibrio
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Sistema dinamico non lineare
• Stabilità interna
• Stabilità esterna
• Teoria dei segnali
• Teoria delle biforcazioni
• Teoria del caos
• Teoria della stabilità
• Teoria delle catastrofi
• Sistema causale

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Collegamenti esterni

• Sistema dinamico,inEnciclopedia Italiana,Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Marco Abate,SISTEMI DINAMICI E SISTEMI CAOTICI,inXXI secolo,Istituto dell'Enciclopedia Italiana,2009-2010.
• (EN) Eric W. Weisstein,Sistema dinamico,suMathWorld,Wolfram Research.
• (EN) D.V. Anosov,Dynamical system,inEncyclopaedia of Mathematics,Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN)Michael Proctor - Dynamical Systems(PDF), sudamtp.cam.ac.uk.
• Carla Dionisi - Sistemi dinamici(PDF), suweb.math.unifi.it.
• (EN)Evans M. Harrell II - Dynamical Systems and Chaos,sumathphysics.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF21431·NDL(EN,JA)00576625