Spazio omogeneo

Ingeometria,unospazio omogeneoè uno spazio i cui punti sono indistinguibili. La nozione si basa sul concetto diomogeneità,applicato in fisica ad esempio ad un corpo o all'interouniverso.

In matematica questa nozione è resa formalmente dalla presenza di ungruppocheagiscesullo spazio in modotransitivo.

Definizione

Definizione generale

Unospazio omogeneoè una tripla$(X,G,\rho )$formata da uninsieme$X$,ungruppo$G$e un'azione

$\rho \colon G\to {\rm {Aut}}(X)$

che associa ad un elemento$g$del gruppo unautomorfismo(cioè unabiezioneo equivalentemente unapermutazione)$\rho (g)$di$X$.L'azione deve esseretransitiva:per ogni coppia$x,y$di elementi di$X$deve esistere almeno un elemento$g$tale che$\rho (g)(x)=y$.

Strutture

Se l'insieme$X$è dotato di unastruttura,generalmente si suppone che gli automorfismi in${\rm {Aut}}(X)$preservino questa struttura. Ad esempio:

• Se$X$è unospazio topologico,gli automorfismi sonoomeomorfismi,
• Se$X$è unavarietà differenziabile,gli automorfismi sonodiffeomorfismi,
• Se$X$è unavarietà riemannianao un più generalespazio metrico,gli automorfismi sonoisometrie.

Proprietà

Poiché per ogni coppia di punti$x$e$y$esiste un automorfismo che manda$x$in$y$,i punti di$X$sono indistinguibili dalla struttura. Ad esempio, lacirconferenza$X$,con il gruppo$G$dellerotazioni,è uno spazio omogeneo, perché tramite un'opportuna rotazione è possibile spostare qualsiasi punto$x$in un punto dato$y$.D'altra parte, ilquadratocon il gruppo delle rotazioni non è omogeneo, perché non è possibile con una rotazione spostare ad esempio un vertice all'interno di un lato.

Esempi

Spazi a curvatura costante

Lasfera$S^{n}$di dimensione$n$è uno spazio omogeneo con ilgruppo ortogonale$G=O(n+1)$:tale gruppo agisce su$\mathbb {R} ^{n+1}$preservando la lunghezza dei vettori, e quindi agisce sulla sfera. L'azione è effettivamente transitiva.

Lospazio euclideo$\mathbb {R} ^{n}$è uno spazio omogeneo con il gruppo delletraslazioni:tramite opportuna traslazione si può infatti spostare un punto in un qualsiasi altro punto dello spazio.

Lospazio iperbolico$\mathbb {H} ^{n}$è omogeneo con il suo gruppo delleisometrie.

Gli esempi appena descritti sono precisamente levarietà riemannianesemplicemente connessecompleteacurvatura sezionalecostante$K$,rispettivamente con$K>0$(la sfera)$K=0$(il piano) e$K<0$(lo spazio iperbolico).

Spazi proiettivi e affini

Lospazio proiettivo$\mathbb {P} ^{n}(K)$,definito su uncampo$K$(ad esempio, il campo deinumeri realiocomplessi), è uno spazio omogeneo assieme al gruppo$G$delle proprieproiettività.

Lospazio affine$E^{n}$è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni.

Bibliografia

• (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu,Foundations of differential geometry 2,Wiley Classics Library.