Funzioni iperboliche

Inmatematica,lefunzioni iperbolichecostituiscono una famiglia difunzioni elementaridotate di alcune proprietà analoghe a corrispondenti proprietà delle ordinariefunzioni trigonometriche.

Definizioni

Illustrazione della definizione in termini dell'iperbole equilatera

Possiamo definire le funzioni iperboliche in questo modo:

Data un'iperbole equilateraunitaria, quindi con$a=b=1$,centrata con gli assi sugli assi coordinati e dato un angolo$\ Alpha$,consideriamo ilsettore iperbolicodi apertura${\frac {\ Alpha }{2}}$ed area$A$:questo determina un punto$P$come intersezione con l'iperbole; definiamo quindi l'ordinata del punto$P$comeseno iperbolico($\sinh$) della suddetta area$A$,nonché la relativa ascissacomecoseno iperbolico($\cosh$) sempre della suddetta area$A$,come indicato in figura (cioè$\sinh A$e$\cosh A$).

Conseguentemente si possono definire le altre funzioni iperboliche tramite$\sinh$e$\cosh$così come si fa per quelle trigonometriche. È inoltre possibile legarle alla funzioneesponenzialegrazie alla definizione di quest'ultima (vederederivazione delle funzioni iperboliche).

• Funzione seno iperbolico

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$

• Funzione coseno iperbolico

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$

• Funzione tangente iperbolica

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}.$

• Funzione cotangente iperbolica

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}.$

• Funzione secante iperbolica

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}.$

• Funzione cosecante iperbolica

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}.$

In queste definizioni$x$si può considerare variabilerealeocomplessa.

Grafici delle funzioni iperboliche:sinh,coshetanh(argomenti reali)

Grafici delle funzioni iperboliche:csch,sechecoth(argomenti reali)

Relazione con le funzioni trigonometriche

Per$x$reale la funzione$\cosh {x}$è unafunzione pari,cioè simmetrica rispetto all'asse$y$;la funzione$\sinh {x}$è invece unafunzione dispari,cioè simmetrica rispetto all'origine.

Conseguentemente sono funzioni dispari anche$\tanh x$,$\operatorname {coth} {x}$e$\operatorname {csch} {x}$,mentre$\operatorname {sech} {x}$è pari.

Si trovano poi i seguenti valori particolari:

$\sinh {0}=0,\qquad \cosh {0}=1,\qquad \tanh {0}=0,\qquad \operatorname {sech} {0}=1.$

Così come al variare della variabile reale$t$i punti$\left(\cos {t},\sin {t}\right)$definiscono lacirconferenza$x^{2}+y^{2}=1$,analogamente i punti$\left(\cosh t,\sinh t\right)$definiscono l'iperboleequilatera$x^{2}-y^{2}=1.$

Questa è una conseguenza dell'identità:

$\left(\cosh {t}\right)^{2}-\left(\sinh {t}\right)^{2}=1,$

derivabile dalle definizioni mediante funzioni esponenziali con manipolazioni algebriche elementari.

Al contrario delle corrispondenti funzioni trigonometriche, le funzioni iperboliche non sonoperiodichenel campo deinumeri reali,ma lo sono nel campo deinumeri complessi,quando hanno argomento immaginario, così come lo è lafunzione esponenziale.

L'argomento$t$delle funzionisenoecosenoche definiscono la circonferenza può essere interpretato naturalmente come unangolo;la$t$argomento delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area del settore iperbolico compreso tra il segmento che collega l'origine con il punto$\left(\cosh t,\sinh t\right)$su un ramo dell'iperbole equilateradi equazione$x^{2}-y^{2}=1$,l'arco di tale iperbole che dal punto si conclude nel punto$\left(1,0\right)$sull'asse$x$e il segmento sull'asse$x$da questo punto all'origine. Tuttavia, in realtà, si può verificare che anche la$t$argomento delle funzioni trigonometriche, se$0\leqslant t\leqslant \pi$,oltre che come angolo espresso inradianti,si può intendere come il doppio dell'area delsettore circolarecompreso tra il segmento che collega l'origine con il punto$\left(\cos t,\sin t\right)$sullacirconferenza unitariadi equazione$x^{2}+y^{2}=1$,l'arco di tale circonferenza che dal punto si conclude nel punto$\left(1,0\right)$sull'asse$x$e il segmento sull'asse$x$da questo punto all'origine.

Le funzioni iperboliche soddisfano molte identità, simili a corrispondentiidentità trigonometriche.

In effetti la regola di Osbornspecifica che si può convertire ogni identità trigonometrica in una identità iperbolica sviluppandola completamente in termini di potenze intere di seni e coseni, trasformando ogni$\sin$in$\sinh$e ogni$\cos$in$\cosh$e infine cambiando il segno di ogni termine che contiene un prodotto di due$\sinh$.Procedendo in questo modo, ad esempio, si trovano i teoremi di addizione:

$\sinh {(x+y)}=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,$

$\cosh {(x+y)}=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y,$

e le formule di duplicazione

$\sinh(2x)=2\sinh x\cosh x,$

$\cosh(2x)=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1,$

e le formule di bisezione

$\cosh {\left({\frac {x}{2}}\right)}={\sqrt {\frac {1+\cosh x}{2}}},$

$\sinh {\left({\frac {x}{2}}\right)}={\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}.$

Laderivatadi$\sinh x$è data da$\cosh {x}$e la derivata di$\cosh {x}$è$\sinh x$;questo collegamento si legge facilmente sui grafici delle funzioni.

Il grafico della funzione$\cosh x$è la curvacatenaria,profilo assunto da un cavo di densità uniforme con le due estremità fissate e sottoposto alla gravità.

Sviluppi in serie di Taylor

È possibile esprimere le funzioni iperboliche in termini disviluppi di Taylor:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$

La funzione$\sinh x$ha serie di Taylor con soli termini dispari, e quindi il seno iperbolico è unafunzione dispari,ossia$-\sinh(x)=\sinh(-x)$,e$\sinh 0=0.$

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.$

La funzione$\cosh x$presenta invece solo termini pari, come ci si aspetta da unafunzione pari,simmetrica rispetto all'asse delle$y$.La somma del seno e del coseno iperbolici rappresenta lo sviluppo dellafunzione esponenziale.

$\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.$

$\coth x=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \quad$(serie di Laurent).

$\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.$

$\operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \quad$(serie di Laurent).

dove

$B_{n}$è l'$n$-esimonumero di Bernoulli,

$E_{n}$è l'$n$-esimonumero di Eulero.

Funzioni iperboliche inverse

Leinversedelle funzioni iperboliche sono:

$\operatorname {arsinh} x=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)};$

$\operatorname {arcosh} x=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)};$

$\operatorname {artanh} x=\ln {\left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}\right)}={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)};$

$\operatorname {arcoth} x=\ln {\left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}\right)}={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {x+1}{x-1}}\right)};$

$\operatorname {arsech} x=\ln {\left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)};$

$\operatorname {arcsch} x=\ln {\left({\frac {1\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)}.$

Funzioni iperboliche fornite da integrali

$\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\operatorname {arsinh} x+c=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+c;$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\operatorname {arcosh} x+c=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+c;$

$\int {\sqrt {x^{2}+1}}\,dx={\frac {\operatorname {arsinh} x+x{\sqrt {x^{2}+1}}}{2}}+c={\frac {\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+x{\sqrt {x^{2}+1}}}{2}}+c;$

$\int {\sqrt {x^{2}-1}}\,dx={\frac {-\operatorname {arcosh} x+x{\sqrt {x^{2}-1}}}{2}}+c={\frac {-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+x{\sqrt {x^{2}-1}}}{2}}+c;$

$\int {\frac {dx}{1-x^{2}}}={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|+c={\begin{cases}\operatorname {artanh} x+c,&{\text{se }}\left|x\right|<1,\\\operatorname {arcoth} x+c,&{\text{se }}\left|x\right|>1.\end{cases}}$

Funzioni iperboliche di argomento complesso

Dato che lafunzione esponenzialepuò essere definita per ogni argomentocomplesso,possiamo estendere la definizione delle funzioni iperboliche anche agli argomenti complessi. Le funzioni$\sinh z$e$\cosh z$sono quindiolomorfeper ogni argomento complesso, e si possono sviluppare inserie di Taylor.

Le relazioni con le funzioni trigonometriche sono ottenute dallaformula di Euleroper i numeri complessi:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x;$

$\cosh(ix)={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}=\cos(x);$

$\sinh(ix)={\frac {(e^{ix}-e^{-ix})}{2}}=i\sin(x);$

$\tanh(ix)=i\tan(x);$

$\sinh(x)=-i\sin(ix);$

$\cosh(x)=\cos(ix);$

$\tanh(x)=-i\tan(ix);$

$\operatorname {arsinh} (x)=i\arcsin(-ix);$

$\operatorname {arcosh} (x)=i\arccos(x);$

$\operatorname {artanh} (x)=i\arctan(-ix).$

Notazioni

I nomi delle funzioni iperboliche inverse citati in questo articolo sono quelli ufficiali dettati dalle normeISO.I loro nomi derivano da abbreviazioni di espressioni latine. Per esempio$\operatorname {arsinh}$deriva daarea sinus hyperbolicus,$\operatorname {arcosh}$deriva daarea cosinus hyperbolicus,ecc.

Spesso si trovano anche le diciture arcsinh, arccosh, ecc. che sono chiaramente mutuate dai nomi delle funzioni trigonometriche inverse. Queste diciture sono però concettualmente errate perché le funzioni iperboliche e le loro inverse non hanno nulla a che vedere con gli archi.

Infine nella tradizione italiana è frequente trovare i nomi$\operatorname {settsenh}$(settore seno iperbolico,in riferimento all'area corrispondente),$\operatorname {settcosh}$e via dicendo. Seppur concettualmente corretti, questi nomi non seguono le norme ISO e le convenzioni internazionali.

In alcuni testi si può trovare anche$\operatorname {Sh}$,$\operatorname {Ch}$,$\operatorname {Th}$,$\operatorname {settCh}$,$\operatorname {settSh}$,$\operatorname {settTh}$.

Bibliografia

• James McMahonHyperbolic functions(New York J. Wiley, 1906)
• George F. Becker e Charles E. Van OrstrandSmithsonian mathematical tables: hyperbolic functions(Washington DC, Smithsonian Institution, 1909) (tavole)
• Arthur E. KenellyThe application of hyperbolic functions to electrical engineering problems(London, University of London Press, 1912) (applicazioni)
• Ruth Zucker inHandbook of Mathematical Functions,Milton Abramowitz e Irene Stegun (eds.) (NY, Dover, 1972)p. 83

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Collegamenti esterni

• (EN)hyperbolic functions,suEnciclopedia Britannica,Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein,Funzioni iperboliche,suMathWorld,Wolfram Research.