Vi phân tích phân học の cơ bổn định lý

Vi phân tích phân học の cơ bổn định lý( びぶんせきぶんがくのきほんていり,Anh:fundamental theorem of calculus) とは, “Quan sổに đối するVi phânとTích phânは hỗ いの nghịch thao tác である” ということを chủ trương するGiải tích họcのĐịnh lýである.Vi phân tích phân pháp の cơ bổn định lýともいう.

Vi phân tích phân họcの cơ bổn định lý は nhất変 sổのQuan sổに đối するものだが, đa 変 sổ quan sổ への拡 trương は,ストークスの định lýとして tri られる.

Vi phân tích phân học の cơ bổn định lý の phát kiến dĩ tiền は,Vi phân pháp(Tiếp tuyến pháp) とTích phân pháp(Cầu tích pháp) は biệt cá の vấn đề と tróc えられていた. Vi phân tích phân học の cơ bổn định lý はアイザック・ニュートンによって1665 niên khoảnh,ゴットフリート・ライプニッツによって1675 niên khoảnh に, それぞれ độc lập に phát kiến されている. Đương sơ ニュートンはこの kết quả を phát biểu せず, ( ニュートンより hậu に phát kiến した ) ライプニッツが tiên に công biểu したために tiên thủ 権を tuần って luận tranh となった.

Định lý

Vi phân tích phân học の cơ bổn định lý として tri られる định lý にはいくつか ( đẳng 価でない ) バリエーションがある.

Liên 続 quan sổ の bất định tích phân が vi phân khả năng であること

Vi phân tích phân học の đệ nhất cơ bổn định lý―Quan sổ$f$がKhu gian$I$Thượng でLiên 続ならば, nhậm ý の định sổ$a\in I$および変 sổ$x\in I$に đối して,$f$のBất định tích phân

$F\left(x\right):=\int _{a}^{x}f\left(t\right)\,{\rm {d}}t$

は$x$に quan してVi phân khả năngで,

${\dfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}F\left(x\right)=f\left(x\right)$

が thành り lập つ.すなわち,$F$は$f$のNguyên thủy quan sổである.

この định lý はVi phân tích phân học の đệ nhất cơ bổn định lýと hô ばれる. Đệ nhất định lý により, ( liên 続 ) quan sổ を tích phân して vi phân すると nguyên に lệ ることが ngôn える.

Chứng minh

Dữ えられた quan sổfに đối して, quan sổF(x)を dĩ hạ のように định める. $$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.$$

Bế khu gian[a,b]における nhậm ý の2 sổx₁,x₁+ Δxについて dĩ hạ の thức が thành lập する.

$${\begin{aligned}F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})&=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt\\&=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt,\end{aligned}}$$ Hậu giả の đẳng thức は, tích phân の cơ bổn đích な tính chất と diện tích の gia pháp tính による.

Tích phân の bình quân trị の định lýによれば, $$\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\cdot \Delta x.$$ を mãn たす$c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]$が tồn tại する.

よって $$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\cdot \Delta x,$$

$${\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).$$

Cực hạn$\Delta x\to 0$をとると,$c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]$を đạp まえて, $$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c),$$ すなわち $$F'(x_{1})=f(x_{1}),$$ Đạo quan sổ の định nghĩa,fの liên 続 tính,はさみうちの nguyên lýによる.

Đạo quan sổ の định tích phân が khu gian の lạng đoan での quan sổ trị の soa に đẳng しいこと

Vi phân tích phân học の đệ nhị cơ bổn định lý―Khu gian$I$Thượng で vi phân khả năng な quan sổ$F$について, そのĐạo quan sổ$f={\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}$が tích phân khả năng であるとき, nhậm ý の$a,\ b\in I$に đối して

$\int _{a}^{b}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

が thành り lập つ.

この định lý はVi phân tích phân học の đệ nhị cơ bổn định lýと hô ばれる. Đệ nhị định lý は, quan sổ を vi phân して tích phân すると cao 々 định sổ の soa を trừ いて nguyên の quan sổ が hiện われることを chủ trương する.

Tích phân khả năng tính に quan して, thông thường はリーマン tích phânの ý vị で tích phân khả năng であることを yếu cầu するが,ルベーグ tích phânに đối する cơ bổn định lý も tồn tại する (Rudin (1976,p. 324) を tham chiếu ).

$f$が liên 続である tràng hợp に thành り lập つ thứ のHệは,Vi phân tích phân học の cơ bổn công thứcとして tri られる:

Vi phân tích phân học の cơ bổn công thức―Khu gian$I$Thượng で liên 続な quan sổ$f$について, その nguyên thủy quan sổ の nhất つを$F$として,

$\int _{a}^{b}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

が thành り lập つ.

Cơ bổn công thức は nguyên thủy quan sổ の soa として định tích phân を kế toán できることを chủ trương する. Đệ nhị định lý と vi い cơ bổn công thức では bị tích phân quan sổ に liên 続 tính を khóa すが, đệ nhị định lý は ( tích phân khả năng であれば ) bất liên 続な quan sổ に đối しても thành り lập つ.

Nhất bàn hóa

Đệ nhất cơ bổn định lý の nhất bàn hóa

Vi phân tích phân học の đệ nhất cơ bổn định lý において,Quan sổ$f$は,Khu gian$I$の toàn thể で liên 続である tất yếu はなく, thứ のように nhược められる:

ルベーグ tích phân khả năng な quan sổ に đối する đệ nhất định lý の nhất bàn hóa―$a,\ x\in I$とし, khu gian$I$Thượng でルベーグ tích phânKhả năng であり,$x_{0}\in I$で liên 続な quan sổ$f$について, その nguyên thủy quan sổ を

$F\left(x\right)=\int _{a}^{x}f\left(t\right)\,{\rm {d}}t$

とする. この$F$は$x_{0}$Thượng で vi phân khả năng であり, また$\left.{\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}\left(x\right)\right|_{x=x_{0}}=f\left(x_{0}\right)$が thành り lập つ.

またさらに,$f$は単に cục sở khả tích phân であるとした tràng hợp でも, quan sổ$F$はほとんど chí るところVi phân khả năng かつほとんど chí るところ${\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}(x)=f(x)$である.

Thật sổTrực tuyến thượng では, この sự thật はルベーグの vi phân định lýと đồng trị となる. これらの kết quả は, より đại きなクラスの tích phân khả năng な quan sổ を định めるヘンストック＝クルツヴァイル tích phânにおいても thành lập する.

より cao い thứ nguyên では, ルベーグの vi phân định lý は, “ほとんどすべての$x$について, quan sổ$f$の$x$を trung tâm とする bán kính$r$の cầu thượng における bình quân trị が,$r$が$0$に cận づくとき,$f\left(x\right)\,$に cận づく” という hình で vi tích phân の cơ bổn định lý を nhất bàn hóa する.

Đệ nhị cơ bổn định lý の nhất bàn hóa

Đệ nhị cơ bổn định lý は, nguyên thủy quan sổ$F$を trì つ nhậm ý のルベーグ tích phân khả năng な quan sổ$f$について thành り lập つ. すなわち,

ルベーグ tích phân khả năng な quan sổ に đối する đệ nhị định lý の nhất bàn hóa―Bế khu gian$\left[a,\ b\right]$Thượng の thật quan sổ$F$がすべての$x\in \left[a,\ b\right]$において vi phân khả năng であり,$F$の đạo quan sổ$f$が$\left[a,\ b\right]$Thượng でルベーグ tích phân khả năng ならば,

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int _{a}^{b}f\left(t\right)\,{\rm {d}}t$

が thành り lập つ.

この kết quả は liên 続 quan sổ$F$がほとんど chí るところでĐạo quan sổ$f$を trì つ tràng hợp には thành lập するとは hạn らず, phản lệ としてカントール quan sổが tri られている. しかし,$F$がTuyệt đối liên 続であり, ほとんど chí るところで vi phân khả năng で, その đạo quan sổ$f$が tích phân khả năng ならば,

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int _{\left[a,\ b\right]}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x$

が thành り lập つ. Nghịch に,$f$を nhậm ý の tích phân khả năng な quan sổ とすると,$F$は chí るところで${\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}=f$となる tuyệt đối liên 続な quan sổ となる.

この định lý の điều kiện は, tích phân をヘンストック＝クルツヴァイル tích phânと khảo えることにより, canh に nhược められる. Đặc に, liên 続 quan sổ$F$がKhả toán vô hạnCá の điểm で vi phân khả năng であるなら, đạo quan sổ$f$はヘンストック＝クルツヴァイル tích phân khả năng であり,

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int _{\left[a,\ b\right]}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x$

が thành り lập つ. ルベーグ tích phân の tràng hợp との vi いは,$f$の tích phân khả năng tính が yếu cầu されていないことである.

テイラーの định lý

Thặng dư hạng を tích phân hình で biểu すバージョンのテイラーの định lýは vi phân tích phân học の cơ bổn định lý の nhất bàn hóa と kiến ることができる.

Phục tố tuyến tích phân

Phục tố sổThể$\mathbf {C}$Thượng のKhai tập hợp$U$で định nghĩa される phục tố quan sổ$f:U\mapsto \mathbf {C}$が$U$Thượng で nguyên thủy quan sổ$F$をもつとする. このとき khúc tuyến$\gamma:\left[a,\ b\right]\mapsto U$に duyên ったTuyến tích phânは

$\int _{\gamma }f\left(z\right)\,{\rm {d}}z=F\left(\gamma \left(b\right)\right)-F\left(\gamma \left(a\right)\right)$

ストークスの định lý

Vi phân tích phân học の cơ bổn định lý は, cao thứ nguyên の tuyến tích phân および diện tích phân や, またĐa dạng thểThượng にも nhất bàn hóa できる.Di động diện の vi phân tích phânによって dữ えられるそのような nhất bàn hóa として,Tích phân の thời gian phát triểnがある. Vi phân tích phân học の cơ bổn định lý の cao thứ nguyên での nhất bàn hóa として tuần nhiễm み thâm いものに,Phát tán định lýとCâu phối định lýがある.

この phương hướng tính での nhất bàn hóa として tối も cường lực なものにストークスの định lýがある ( thật tế ストークスの định lý はときどき “Đa 変 sổ vi phân tích phân họcの cơ bổn định lý” と hô ばれる ).

ストークスの định lý―$M$をHướng き phó けられたKhu phân đíchにHoạt らかな$n$Thứ nguyên の đa dạng thể,$\omega$をコンパクトな đàiを trì つ$M$Thượng の$n-1$Hình thứcとする. $\partial M$が$M$から dụ đạo された hướng き phó きの$M$の cảnh giới なら, この đa dạng thể に đối して định nghĩa されるNgoại vi phânを${\rm {d}}$で biểu せば,

$\int _{M}{\rm {d}}\omega =\int _{\partial M}\omega$

が thành り lập つ.

この định lý はしばしば,$M$が vi phân hình thức$\omega$の định nghĩa されたより đại きな đa dạng thể ( lệ えば$\mathbb {R} ^{k}$) に mai め込まれた hướng き phó きのBộ phân đa dạng thểである tràng hợp に lợi dụng される.

Tham khảo văn hiến

• Tiểu bình, bang ngạn『 giải tích nhập môn I』 ( khinh trang bản ) nham ba thư điếm, 2003 niên.ISBN4-00-005192-X.
• Rudin, W.(1976).Principles of Mathematical Analysis(Third ed.). McGraw-Hill.ISBN0-07-085613-3.Zbl0346.26002

Quan liên hạng mục

• Đại sổ học の cơ bổn định lý
• ポアンカレの bổ đề-$H^{1}(\mathbb {R} ^{1})=0$
• Vi phân tích phân học
• Giải tích học
• Nguyên thủy quan sổ の nhất lãm
• Tam giác quan sổ の nguyên thủy quan sổ の nhất lãm
• Nghịch tam giác quan sổ の nguyên thủy quan sổ の nhất lãm
• Đối sổ quan sổ の nguyên thủy quan sổ の nhất lãm
• Tích の vi phân pháp tắc
• Thương の vi phân pháp tắc
• Đối sổ vi phân
• Vi phân の ký pháp