Viên chu suất

Viên chu suất( えんしゅうりつ,Anh:Pi,Độc:Kreiszahl,Trung:Viên chu suất) とは,ViênのTrực kínhに đối するViên chuの trường さのBỉ suấtのことをいい,Sổ học định sổの nhất つである. Thông thường, viên chu suất はギリシア văn tựであるπで biểu される. Viên の trực kính から viên chu の trường さやViên の diện tíchを cầu めるときに dụng いる.また,Sổ họcをはじめ,Vật lý học,Công họcといったKhoa họcの dạng 々な lý luận の kế toán thức にも xuất hiện し, tối も trọng yếu な sổ học định sổ とも ngôn われる.

Viên chu suất はVô lý sổであり,Siêu việt sổでもある.

Viên chu suất の kế toán において công tích のあったルドルフ・ファン・クーレンに nhân み,ルドルフ sổとも hô ばれる. ルドルフは tiểu sổ điểm dĩ hạ 35 hằng まで kế toán した.Tiểu sổ điểm dĩ hạ 35 hằng までの trị は thứ の thông りである.

$\pi =3.14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\ldots$

ギリシャ văn tự のπは viên chu suất に đại biểu される.

Cơ sở

Biểu ký と hô び phương

Viên chu suất を biểu すギリシア văn tựπは,ギリシア ngữでいずれも chu biên ・Viên chu・ chu を ý vị するπερίμετρος( ペリメトロス ) あるいはπεριφέρεια( ペリペレイア ) のĐầu văn tựから thủ られた.Văn tựπをウィリアム・オートレッドは1631 niênに trứ した trứ thư において bán viên chu の trường さを biểu す văn tự として dụng い,アイザック・バローは luận văn において bán kínhRの viên chu の trường さとして dụng いた.ウィリアム・ジョーンズ(1706) やレオンハルト・オイラーらにより ( hiện đại と đồng じく ) viên chu の trực kính に đối する bỉ suất を biểu す ký hào として dụng いられ, それが quảng まった.Nhật bổnでは “パイ” と phát âm する.

Sổπを chỉ す ngôn diệp には, nhật bổn ・ trung quốc ・ hàn quốc における “Viên chu suất ( viên chu suất )”, ドイツの “Kreiszahl” ( Kreis は viên ( chu ), Zahl は sổ の ý ) の tha, それを kế toán した nhân vật の danh tiền を thủ った “アルキメデスSổ” (Anh:Archimedes' constant), “ルドルフSổ” (Anh:Ludolph's constant,Độc:Ludolphsche Zahl) などがある. Nhất bàn にドイツ ngữ を trừ くヨーロッパの chư ngôn ngữ には “Viên chu suất” に đối ứng する単 ngữ はない.

なお, “π”の tự thể は, biểu kỳ hoàn cảnh によってはキリル văn tựのпに cận いπなどと biểu kỳ されることがある. また, ギリシャ văn tự “π”は, viên chu suất とは vô quan hệ に,Tố sổ kế sổ quan sổや,Cơ bổn quần・ホモトピー quần,ある chủng のTả tượng( xạ ảnh など ) を biểu すのに dụng いられることもある.

Định nghĩa

ユークリッド bình diệnThượng において, toàn ての viên はTương tựなので, viên chuCと trực kínhdの bỉ suấtC/dは nhất định (π) である.

Trực kính1の viên の chu trường はπ

Bình diện kỉ hà họcにおいて, viên chu suấtπは,ViênのChu trườngの trực kính に đối する bỉ suất として định nghĩa される. すなわち, viên の chu trường をC,Trực kính をdとしたとき,

$\pi ={\frac {C}{d}}$

である. Toàn ての viên は hỗ いにTương tựなので, この bỉ suất は viên の đại きさに y らず nhất định である.

ところが, この định nghĩa は viên の chu trường を dụng いているため,Khúc tuyến の trường さを tối sơ に định nghĩa していないGiải tích họcなどの phân dã では,πが hiện れる tế に vấn đề となることがある. この tràng hợp, viên の chu trường に ngôn cập せず, giải tích học などにおける tính chất の nhất つをπの định nghĩa とすることが đa い.この tế のπの định nghĩa の nhất bàn なものとして,Tam giác quan sổcosxが0を thủ るようなx> 0の tối tiểu trị の2 bội とするもの,Cấp sổによる định nghĩa,Định tích phânによる định nghĩa などがある. Hậu thuật の# viên chu suất に quan する thứcも tham chiếu.

Lịch sử

“Viên chu suất の lịch sử”も tham chiếu

Viên に nội tiếp する chính đa giác hình によるπの cận tự

Viên に nội tiếp ・ ngoại tiếp する chính đa giác hình によるπの cận tự. アルキメデスによる kế toán.

Cổ đại

Viên chu の trực kính に đối する bỉ suất は viên の đại きさに y らず nhất định であり, それは3より thiếu し đại きいことはCổ đại エジプトやバビロニア,インド,ギリシアのKỉ hà họcGiả たちにはすでに tri られていた. また, cổ đại インドやギリシアの sổ học giả たちの gian では bán kínhrの viên bản の diện tích がπr²であることも tri られていた. さらに,アルキメデスは chính96Giác hình を dụng いて bán kínhrのCầuの thể tích が4/3πr³であることや, この cầu のBiểu diện tíchが4πr²( その cầu の đại viên による thiết り khẩu の diện tích の4 bội ) であることを đạo き xuất した.

Tối sơ にTiểu sổを sử dụng して viên chu suất を ký thuật したのは thiếu sổ を phát minh した trung quốc である. 263 niên に ngụy の lưu huy が3072 giác hình を sử dụng し3.14159と kế toán し, 5 thế kỷ にTổ trùng chiが thập xích もの trực kính の viên を sử dụng して3.1415926<π<3.1415927 と cầu め, dĩ hậu 1000 niên gian, toàn thế giới でこれ dĩ thượng chính xác な kế toán はなされなかった. Tổ の kế toán が chính xác であったことは, 1300 niên khoảnh に triệu hữu khâm が16384 biên の nội tiếp đa giác hình により xác かめた.

Cận đại まで

14 thế kỷインドのSổ học giả・Thiên văn học giảであるサンガマグラーマのマーダヴァは thứ のπのCấp sổBiểu kỳ を kiến いだしている (ライプニッツの công thức):

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

これはNghịch chính tiếp quan sổArctanxのテイラー triển khaiのx= 1での biểu thức になっている. マーダヴァはまた,

$\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)$

を dụng いてπの trị を tiểu sổ điểm dĩ hạ 11 hằng まで cầu めている.

17 thế kỷ, ドイツのルドルフ・ファン・コーレンが chính325Ức giác hình を sử い, tiểu sổ điểm dĩ hạ đệ 35 vị まで kế toán. 1699 niên ( または1706 niên ) にエイブラハム・シャープが tiểu sổ điểm dĩ hạ đệ 72～127 vị まで cầu めた.

18 thế kỷフランスの sổ học giảアブラーム・ド・モアブルは, ある định sổCを thủ ると, コインを2nHồi đầu げて biểu がxHồi だけ xuất るXác suấtは,nが thập phân đại きいとき

${\frac {C}{\sqrt {n}}}\exp \left\{-{\frac {(x-n)^{2}}{n}}\right\}$

で cận tự できることを,n= 900における sổ trị kế toán により kiến いだした. このChính quy phân bốの khái niệm は1738 niênに xuất bản されたド・モアブルの『 tuần り hợp わせの lý luận 』に hiện れている. ド・モアブルの hữu nhân のジェイムズ・スターリングは hậu に,$C={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$であることを kỳ した.

1751 niênにヨハン・ハインリヒ・ランベルトは,xが0でないHữu lý sổならばChính tiếp quan sổtanxの trị はVô lý sổであることを kỳ し, その hệ ( の đối ngẫu ) としてπは vô lý sổ であることを đạo いた. さらに1882 niênにフェルディナント・フォン・リンデマンはπがSiêu việt sổであることを kỳ し,Viên tích vấn đề( dữ えられた trường さを bán kính とする viên と đẳng tích のChính phương hìnhをTác đồする vấn đề ) は giải くことができないことを đạo いた.

1873 niên,ウィリアム・シャンクスは bỉ tự thân の thủ で tiểu sổ điểm dĩ hạ đệ 707 vị までを kế toán した ( ただしその kết quả は đồ trung で sinh じた ngộ りにより tiểu sổ điểm dĩ hạ đệ 527 vị までしか chính しくなかった ).

Hòa toán における viên chu suất の thủ り tráp い

Giang hộ thời đại の sơ kỳ の hòa toán gia の3.16

Giang hộ thời đại sơ kỳ の sổ học thư である mao lợi trọng trung の『 cát toán thư 』では viên chu suất を3.16としている. その đệ tử のCát điền quang doの『Trần kiếp ký』でも3.16となっている.しかし, đương thời の tiên tiến quốc trung quốc の văn hiến にはこの3.16という sổ trị は kiến られず, trung quốc の văn hiến の sổ trị を dẫn き tả したとは khảo えにくいという.そのため, なぜ sơ kỳ のHòa toánGia が viên chu suất を3.16としたかの lý do はよく phân かっていない.おそらく, mao lợi trọng trung とその đệ tử の cát điền quang do などの tiên 駆 giả らは, viên chu suất を thật tế に trắc định して3.14ないし3.16ほどの trị を đắc たが, tối hậu の hằng の sổ tự に xác tín が trì てなかったため, “Viên のような mỹ しい hình を cầu める sổ trị は, もっと mỹ しい sổ trị になっていいはずだ” と khảo え, “Mỹ しい lý luận” を cầu めた. その kết quả√10= 3.16が mỹ しい sổ trị として thải dụng されたと thôi trắc されている.その khảo えは nhật bổn で2 phiên mục に3.14の trị を kế toán で cầu めた dã trạch định trường の『 toán cửu hồi 』 (Diên bảoNgũ niên:1677 niên ) の trung にも kiến られ, その trứ thư の trung で “Hốt nhiên として viên toán の diệu を ngộ った” として “Viên chu suất の trị は hình ＝ kinh nghiệm によって cầu めれば3.14であるが, lý ＝ tư biện によって cầu めれば3.16である” として “Lạng phương とも xá てるべきでない” とした.

Hòa toán gia が kế toán した3.14

Giang hộ sơ kỳ, 1600 niên đại tiền bán khoảnh から, viên を đối tượng とした hòa toán đích nghiên cứu である “Viên lý”が thủy まる. その tối sơ のテーマの nhất つが viên chu suất を sổ học đích に kế toán する nỗ lực であり,1663 niên に nhật bổn で sơ めてThôn tùng mậu thanhが『 toán 爼 ( さんそ ) 』において “Viên の nội tiếp đa giác hình の chu の trường さを kế toán する phương pháp” で3.14…という trị を toán xuất した.『 toán 爼』では viên に nội tiếp する chính 8 giác hình から giác sổ を thuận thứ 2 bội していき, nội tiếp2¹⁵= 32768Giác hình の chu の trường さで,

3.1415 9264 8777 6988 6924 8

と tiểu sổ điểm dĩ hạ 21 hằng まで toán xuất している. これは thật tế の trị と tiểu sổ đệ 7 vị まで nhất trí している.その hậu 1680 niên đại に nhập ると, viên chu suất の trị を3.16とする sổ học thư はなくなり, 3.14に thống nhất された.1681 niên khoảnh にはQuan hiếu hòaが nội tiếp2¹⁷Giác hình ( 13 vạn 1072 giác hình ) の kế toán を công phu し, tiểu sổ đệ 16 vị まで hiện đại の trị と đồng じ sổ trị を toán xuất した. この kế toán trị は quan の tử hậu 1712 niên に khan hành された『 quát yếu toán pháp 』に ký されている.

Nhật bổn のHòa toánGia に đặc trưng đích なのは, 1663 niên に3.14が sơ めて đạo き xuất されても, その hậu 1673 niên までの10 niên gian に viên chu suất の trị を3.14とした toán sổ thư のいずれもが, tiên hành giả の viên chu suất をそのまま dẫn き継ぐことをせず, それぞれ độc tự の trị を đề xuất していたことである.この bối cảnh には đương thời の di đề 継 thừaVận động に “Tha nhân の toán pháp をうけつぐ” と cộng に “Tự kỷ の toán pháp を khoa る” という tính cách があったためだという.そのため cổ い3.16の trị が nghi われてから, di đề 継 thừa の tế に tất ずといってよいほど viên chu suất の trị が変えられている.しかしながら giang hộ thời đại の3 đại hòa toán thư 『 trần kiếp ký 』『 cải toán ký 』『 toán pháp khuyết nghi sao 』の tăng bổ cải đính bản では1680 niên đạiには3.14に thống nhất された.

3.14から3.16への nghịch hành

しかし, di đề 継 thừa vận động は1641 niên に thủy まって1699 niên khoảnh には chung わってしまい,いったん3.14に thống nhất された viên chu suất の trị は giang hộ thời đại hậu bán になると diêu らぎ thủy め, cổ い3.16に nghịch hành するという hiện tượng が sinh じた.Văn chínhNiên gian ( 1818～30 niên ) に xuất bản された toán sổ thư とソロバン thư を tất giai điều tra した kết quả では, viên chu suất の trị を3.14とするものと, 3.16とするものの2 hệ thống があることが minh らかにされた.いくらか chuyên môn đích な sổ học thư では3.14とされているのに, đại chúng hướng けの tiểu sách tử の trung では3.16の phương が phổ thông に dụng いられていた.

Đương thời の thức giả であるQuất nam khê( 1754-1806 niên ) は “いまに chí り3.16あるいは3.14 sắc 々に luận ずれども, なおきわめがたきところあり” と thuật べ, 3.14はまだ xác định していないとしている.Nho họcGiả のĐịch sinh tồ laiも hòa toán gia の toán xuất した3.14の căn 拠に nạp đắc しなかった.Đương thời の hòa toán gia のほとんどは, viên に nội tiếp する đa giác hình の chu を kế toán することで viên chu suất を kế toán した. Nội tiếp đa giác hình の giác sổ を tăng やすほど cầu まる viên chu suất の hằng は tăng えていくので, tố nhân mục にはその trị が tăng đại する nhất phương に kiến える. “それがいくら tăng えても3.1416を siêu えない” ということを hòa toán gia たちはついに nạp đắc させることができなかったのである.

そのような hòa toán gia dĩ ngoại の tố nhân たちを nạp đắc させるには, どうしても vạn nhân に nạp đắc させる “Lý” に cơ づいて kế toán してみせる tha はない.それを hành うには tây dương で hành われたように, “Viên を nội tiếp đa giác hình と ngoại tiếp đa giác hình ではさんで, viên chu suất の thượng hạn と hạ hạn を kỳ すこと” が tất yếu であったが, ( thứ の liêm điền による thành quả を lệ ngoại として ) hòa toán gia はついにその phương pháp を thủ ることがなかった.

Trạch gian lưu hòa toán の viên chu suất

Nhật bổn で duy nhất “Viên chu を nội tiếp ・ ngoại tiếp đa giác hình で hiệp み込んで viên chu suất の thượng hạn と hạ hạn を kỳ す” ことに thành công したのは liêm điền tuấn thanh ( 1678-1747 niên ) がHưởng bảoThất niên ( 1722 niên ) に trứ した『 trạch gian lưuViên lý 』である. その trị は dĩ hạ の thông りである.

Nội chu: 3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3665 8

Ngoại chu: 3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 4166 7

Liêm điền は viên chu suất の tiểu sổ điểm dĩ hạ 24 hằng まで chính しいと xác tín しうる viên chu suất の trị を toán xuất することに thành công していた.しかし, liêm điền の phương pháp は hậu 継 giả を trì たず, đương thời の thức giả に tri られることがなかった.

Cấp sổ triển khai による toán xuất

Nhật bổn の sổ học sử ではCấp sổによる trị の toán xuất は quảng く nhất bàn đích であった. Viên chu suất の cấp sổ による công thức は đa くの học giả に nghiên cứu されており,Phong cốc định chương,Tùng vĩnh lương bật,Bản bộ quảng bạn,Xuyên tỉnh cửu đức,Trường cốc xuyên khoanらによるものがある.また,Kiến bộ hiền hoằngは viên chu suất の nhị thừa を cầu める nhật bổn sơ の công thức を khảo án した.

Hòa toán の hạn giới

Nhật bổn の hòa toán の nhược điểm は単に lý luận diện の nhược さにとどまらず, vạn nhân が nạp đắc できる chính しい viên chu suất の giáo dục ・ khải mông への quan tâm も thất ったことであった.そのため hòa toán gia たちがいくら viên chu suất は3.14…と thư いたところで, 『 trần kiếp ký 』の cổ い viên chu suất 3.16の trị がそのまま tàn tồn する kết quả となった.『 trần kiếp ký 』の trọng bản ( 1694 niên ) などは cổ い viên chu suất 3.16のまま xuất bản され続け, 18 thế kỷ に đại chúng đích な thông tục toán sổ thư が đại lượng に xuất bản される tế に, tất ずというほど3.16という trị を dẫn き継ぐようになってしまった.

18 thế kỷ bán ば dĩ hàng の hòa toán は sổ học đích chứng minh の khái niệm の truy cầu は vô thị され, せっかく trạch gian lưu の liêm điền tuấn thanh がその độc sang đích phương pháp で chính しい viên chu suất を toán xuất しても, toàn く継 thừa されなかった.Giang hộ thời đại hậu bán の hòa toán gia は gia nguyên chế độ đích な bí mật chủ nghĩa と bảo thủ chủ nghĩa と, 権 uy chủ nghĩa が tại dã の độc sang tính を vô thị し, kết quả として học vấn の tiến bộ を phương げることとなった.

コンピュータの lợi dụng

Viên chu suất の tiểu sổ bộ phân の phán minh した hằng sổ と thời kỳ の quan hệ. このグラフの縦 mục thịnh りはĐối sổ スケールである. Tân たなアルゴリズムが khai phát され, コンピュータが lợi dụng できるようになると, phán minh した hằng sổ は kịch đích に tăng gia した.

20 thế kỷDĩ hàng, kế toán cơ の phát đạt により, kế toán された viên chu suất の hằng sổ は phi dược đích に tăng đại した.1949 niênに, điện tử kế toán cơENIACを sử い72 thời gian かけて, viên chu suất は2037 hằng まで kế toán された.その hậu の sổ thập niên gian, dạng 々なKế toán cơ khoa họcGiả やKế toán khoa họcGiả など, あるいはコンピュータのアマチュアによって kế toán は tiến められ,1973 niênには100 vạn hằng を siêu えた. この tiến bộ は,スーパーコンピュータの khai phát だけによるものではなく, hiệu suất の lương いアルゴリズムが khảo án されたためである. そのうちの tối も trọng yếu な phát kiến の nhất つとして,1960 niên đạiのCao tốc フーリエ変 hoánがある. これにより,Đa bội trườngの diễn toán が cao tốc に thật hành できるようになった.

2022 niên 6 nguyệt 9 nhật に,Googleの kỹ thuật giả,Nham vĩ エマはるかがGoogle Cloudで, チュドノフスキー cấp sổ を sử い, 157 nhật 23 thời gian かけて100 triệu hằng を kế toán したと phát biểu.

Tính chất

Vô lý tính

πは vô lý sổ であるため, tuần hoàn しない vô hạnTiểu sổである.

Viên chu suất は vô lý sổ であることの chứng minh については “Viên chu suất の vô lý tính の chứng minh”を tham chiếu

πはVô lý sổである. つまり, 2つの chỉnh sổ の thương で biểu すことはできず, tiểu sổ triển khai は tuần hoàn しない. このことは1761 niênにヨハン・ハインリヒ・ランベルトが chứng minh したが, nghiêm mật tính に khiếm けた bộ phân があった. その bộ phân は1806 niênにルジャンドルによって bổ われた.

したがって, viên chu suất のコンピュータによる kế toán やÁm xướng,Thập tiến phápBiểu kỳ での tiểu sổ bộ phân の các sổ tự (0, 1,…, 9) の xuất hiện tần độ は, nhân 々の hưng vị の đối tượng となる.

πは siêu việt sổ であるため,コンパスとĐịnh quyを hữu hạn hồi dụng いてViên と đẳng diện tích の chính phương hình を tác đồ することは bất khả năng である.

Siêu việt tính

Viên chu suất は siêu việt sổ であることの chứng minh については “リンデマンの định lý”を tham chiếu

さらに,πはSiêu việt sổである. つまり,Hữu lý sổHệ sổ のĐại sổ phương trình thứcの giải にはならない. これは1882 niênにフェルディナント・フォン・リンデマンによって chứng minh された (リンデマンの định lý). これより,Chỉnh sổからTứ tắc diễn toánとMịch cănをとる thao tác だけを hữu hạn hồi tổ み hợp わせてもけっしてπの trị は đắc られないことが phân かる.

πが siêu việt sổ であることから trực ちに,Cổ đại ギリシアの tam đại tác đồ vấn đề の nội の nhất つである “Viên tích vấn đề”( dữ えられた trường さを bán kính とする viên と đẳng tích の chính phương hình をĐịnh quy とコンパスを “Hữu hạn hồi” dụng いて tác đồすること ) は bất khả năng なことが kết luận される.

ランダム tính

2022 niên 10 nguyệt の thời điểm で,πは tiểu sổ điểm dĩ hạ 100 triệu hằng まで kế toán されている.そして, phân かっている hạn りでは 0 から 9 までの sổ tự がランダムに hiện れているようには kiến えるが, それがLoạn sổ liệtといえるかどうかははっきりとは phân かっていない. たとえばπがChính quy sổであるかどうかも phân かっていない. Chính quy sổ であればπの10 tiến biểu kỳにおいて, các hằng を thuận に thủ り xuất して đắc られるSổ liệt:

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5,…

には, 0 から 9 が quân đẳng に hiện れるはずだが phân かっておらず, それどころか, 0 から 9 がそれぞれ vô sổ に hiện れるのかどうかすら phân かっていない. もし仮に chính quy sổ でないとすれば, loạn sổ liệt でもないということになる.

5 triệu hằng までの sổ tự の xuất hiện hồi sổ は dĩ hạ の thông りである. Toàn てほぼ đẳng しく ( ước 0.0005%の vi いに thâu まる ), tối も đa いのは8で, tối も thiếu ないのは6である.

0:4999 ức 9897 vạn 6328 hồi

1:4999 ức 9996 vạn 6055 hồi

2:5000 ức 0070 vạn 5108 hồi

3:5000 ức 0015 vạn 1332 hồi

4:5000 ức 0026 vạn 8680 hồi

5:4999 ức 9949 vạn 4448 hồi

6:4999 ức 9893 vạn 6471 hồi

7:5000 ức 0000 vạn 4756 hồi

8:5000 ức 0121 vạn 8003 hồi

9:5000 ức 0027 vạn 8819 hồi

Liên phân sổ

“Liên phân sổ”も tham chiếu

Phân mẫu を chỉnh sổ と phân sổ の hòa で biểu すことを続けていった biểu kỳ をLiên phân sổという. “Chỉnh sổ” を tối đại にしていくと, phân tử を toàn て 1 にできる:

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}$

πはVô lý sổであるから, viên chu suấtπの liên phân sổ triển khai は hữu hạn hạng では chung わらず vô hạn hạng の liên phân sổ となる:

$\pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

Thượng ký の chính tắc liên phân sổ triển khai ( すべての phân tử が 1 である liên phân sổ ) を đồ trung で đả ち thiết ると,πの lương い hữu lý sổ cận tự が đắc られる. その tối sơ の4つは3,22/7,333/106,355/113である. これらは cổ くからよく tri られ sử dụng されてきた cận tự trị である. これらはそれぞれ phân mẫu が đại きくないどの phân sổ よりもπに cận く,πの tối lương hữu lý sổ cận tự である.

さらに,πはSiêu việt sổである ( つまりĐại sổ đích sổでない ) ことが tri られている. Nhất bàn に, chính tắc liên phân sổ の phân mẫu に hiện れる chỉnh sổ bộ が tuần hoàn するのはNhị thứ vô lý sổ( hữu lý hệ sổ の nhị thứ phương trình thức の giải となるような đại sổ đích sổ ) に hạn られ,πは nhị thứ vô lý sổ でないためTuần hoàn liên phân sổとして biểu せない. Gia えてπの chính tắc liên phân sổ は quy tắc tính を kỳ さないが,πのNhất bàn hóa liên phân sổでは dĩ hạ の quy tắc をもつものが tri られている:

${\begin{aligned}\pi &=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}\\[8pt]&=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{3+\textstyle {\cfrac {2^{2}}{5+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{7+\textstyle {\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}$

Vị giải quyết vấn đề

Tường tế は “Sổ học thượng の vị giải quyết vấn đề”を tham chiếu

• Thứ の sổ はSiêu việt sổか?

$\pi \pm e,\,\pi e,\,{\frac {\pi }{e}},\,\pi ^{\pi },\,\pi ^{e},\,\pi ^{\sqrt {2}},\,e^{\pi ^{2}}$

• ただし,$\pi \pm e$と$\pi e,{\frac {\pi }{e}}$は lạng giả thiếu なくとも nhất phương はSiêu việt sổであることは phân かっている.

• πはChính quy sổか?

Viên chu suất に quan する thức

πについての thức は phi thường に đa い. ここではその nhất bộ を thiệu giới する. Sổ thức によってはそれ tự thể がπの định nghĩa になり đắc るし,πのCận tự trịの kế toán などにも sử われてきた.

Kỉ hà

Viên の diện tích は, 1 biên が bán kính の chính phương hình ( hôi sắc ) の diện tích のπBội である.

Trường bán kínha,Đoản bán kínhbの楕 viên の diện tích はπabに đẳng しい.

• Bán kínhrのViênのChu trường:$2\pi r$
• Bán kínhrのViên の diện tích:$\pi r^{2}$
• Bán kínhrのCầuのThể tích:${4 \over 3}\pi r^{3}$
• Bán kínhrの cầu のBiểu diện tích:$4\pi r^{2}$
• Trường bán kínha,Đoản bán kínhbの楕 viênの diện tích:$\pi ab$
• $180^{\circ }=\pi$rad

Giải tích ( đặc thù quan sổ と hư sổ を trừ く )

• ライプニッツの công thức,#2 thiên niên kỷ,Nghịch chính tiếp quan sổも tham chiếu

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

• マーダヴァの công thức,Nghịch chính tiếp quan sổも tham chiếu

${\sqrt {12}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)=\pi$

• ウォリスの công thức

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\cdot {\frac {4^{2}}{3\cdot 5}}\cdot {\frac {6^{2}}{5\cdot 7}}\cdot {\frac {8^{2}}{7\cdot 9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• $\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}+n}{n^{2}+n+{\frac {1}{4}}}}={\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdot {\frac {80}{81}}\cdot {\frac {120}{121}}\cdot {\frac {168}{169}}\cdot {\frac {224}{225}}\cdot {\frac {288}{289}}\cdots ={\frac {\pi }{4}}$
• ビエトの công thức

$\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {90^{\circ }}{2^{n}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ={\frac {2}{\pi }}$

• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}2^{n-1}}}+(\log 2)^{2}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$(オイラー)

Quan sổy= exp(−x²)のグラフとxTrục で囲まれた bộ phân の diện tích は√πである. (ガウス tích phân)

• $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$(ガウス tích phân)
• $\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}$
• $\pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}$
• $\pi =2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,dt$
• $\pi =4\int _{0}^{1}{\frac {dt}{1+t^{2}}}$
• Nghịch tam giác quan sổはChủ trịを thủ るものとすると

${\begin{aligned}\pi &=2\arccos 0\\&=2\arcsin 1\\&=4\arctan 1\end{aligned}}$

• Nghịch tam giác quan sổ ( nghịch chính huyền quan sổ ) の công thức より

$\pi =2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}$

• Nghịch tam giác quan sổ ( nghịch chính tiếp quan sổ ) の công thức より
  • Nghịch chính tiếp quan sổ のテイラー triển khai による:$${\begin{aligned}\pi &=4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\end{aligned}}$$
  • オイラーによる:$${\begin{aligned}\pi &=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\end{aligned}}$$
• Song khúc tuyến quan sổ( song khúc tuyến dư tiếp quan sổ ) の công thức より

${\frac {1}{e^{2}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n\pi )^{2}+1}}$

• ニュートンの vô bình phương căn công thức

${\begin{aligned}\pi &=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2n+1)16^{n}(n!)^{2}}}\\&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+1)C_{n}}{(2n+1)16^{n}}}\end{aligned}}$

(C_nはカタラン sổ) この thức は,

$\pi =6\arcsin {\frac {1}{2}}$のマクローリン cấp sổ となっている.

• マチンの công thức(マチン,1706 niên( 1709 niên とも ) )

$4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}$

$4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239={\frac {\pi }{4}}$と thư かれることもある.

4と1/4がNhị tiến phápと tương tính が lương く, thâu thúc も tảo いため, コンピュータでの viên chu suất kế toán によく sử われる công thức の nhất つである.

• 4/πのLiên phân sổBiểu kỳ

${\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{\ddots }}}}}}}}}}$

• ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム

Sơ kỳ trị の thiết định:

$a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.$

Phản phục thức:a_n,b_nが hi vọng する hằng sổ になるまで dĩ hạ の kế toán を sào り phản す. Tiểu sổ đệnVị まで cầu めるときlog₂nHồi trình độ の phản phục でよい.

${\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}&=2p_{n}.\end{aligned}}$

πの toán xuất: Viên chu suấtπは,a_n,b_n,t_nを dụng いて dĩ hạ のように cận tự される.

$\pi \approx {\frac {1}{4t_{n}}}(a_{n}+b_{n})^{2}$

Phi thường に thâu thúc が tảo く,Kim điền khang chínhが1995 niên に42 ức hằng, 2002 niên に1.24 triệu hằng を kế toán したスーパーπに sử われていた.

• $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$(スターリングの cận tự.f (n) ∼g(n)は$\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1$を biểu す )
• ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(26390n+1103)\cdot (4n)!}{(4^{n}99^{n}\cdot n!)^{4}}}$(ラマヌジャン)
• ${\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(21460n+1123)\cdot (4n)!}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}$( ラマヌジャン )
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{2\pi n}-1}}={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{8\pi }}$( ラマヌジャン )
• ${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{C_{0}{\sqrt {C_{0}}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(C_{2}n+C_{1})\cdot (6n)!}{(-C_{0})^{3n}\cdot (3n)!\cdot (n!)^{3}}}$(チュドノフスキー huynh đệ)

( các định sổ と, その tố nhân sổ phân giải:

C₀= 640320 = 2⁶× 3 × 5 × 23 × 29,

C₁= 13591409 = 13 × 1045493,

C₂= 545140134 = 2 × 3²× 7 × 11 × 19 × 127 × 163.)

• ${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{C_{2}{\sqrt {C_{2}}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(6n)!(C_{0}+C_{1}n)}{(3n)!(n!)^{3}C_{2}^{n}}}$(Peter Borwein,Jonathan Borwein)

( các định sổ の trị:

C₀= 1657145277365+212175710912√61,

C₁= 107578229802750+3773980892672√61,

C₂= 1249638720+159999840√61.)

• David Bailey, Peter Borwein, およびサイモン・プラウフによるもの (ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの công thức・ tục xưng "BBP" ), Adamchik と Wagon によるもの, Fabrice Bellard によるものĐẳng については, あまりに cao độ なため cát ái する.

Phục tố giải tích

オイラーの công thứcの đồ hình đích biểu hiện. Phục tố sổ bình diện において, phục tố sổe^iφは, 単 vị viên chu thượng の thiên giácφの điểm を biểu す. この công thức よりオイラーの đẳng thứcが đạo かれる.

• $e^{i\pi }+1=0$(オイラーの đẳng thức)
• $\sum \limits _{k=0}^{n-1}e^{i\cdot {\frac {2\pi k}{n}}}=0$(nは2Dĩ thượng の chỉnh sổ )

Hậu giả はオイラーの đẳng thức の nhất bàn hóa であり,1のnThừa cănの tổng hòa は0になることを kỳ している.n= 2とするとオイラーの đẳng thức になる.

Đặc thù quan sổ

• $\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$(1735 niên:オイラー,バーゼル vấn đề,ゼータ quan sổ)
• $\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
• $\zeta (2n)={\frac {(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}}\pi ^{2n}\ (n\in \mathbb {N} )$(B_nはベルヌーイ sổ)
• $\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}={\biggl (}-{\frac {1}{2}}{\biggr )}!={\sqrt {\pi }}$(ガンマ quan sổ)

Sổ luận

• Chỉnh sổToàn thể から vô tác vi に2つ thủ り xuất すとき, その2つがHỗ いに tốである xác suất は6/π²である (Hỗ いに tố _( chỉnh sổ luận )# hỗ いに tố である xác suấtを tham chiếu ).

Lực học hệ ・エルゴード lý luận

ロジスティック tả tượngx_i+1= 4x_i(1 −x_i)により quy nạp đích に định まるSổ liệt{x_i}を khảo える. Sơ kỳ trịx₀を0Dĩ thượng1Dĩ hạ に thủ るとき, そのほとんど toàn てで, thứ が thành り lập つ.

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}$

Thống kế

• $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp {\biggl [}-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}{\biggr ]}$(Chính quy phân bốのXác suất mật độ quan sổ)
• Phúc1の vô sổ のBình hànhTuyến の thượng から trường さ1/2の châm を lạc とすとき, その châm が trực tuyến と cộng hữu điểm を trì つ xác suất は1/πである (ビュフォンの châm).

その tha

• Hà xuyênの trường さのThủy nguyên・Hà khẩuGian の trực tuyến cự ly に đối する bỉ suất は, bình quân すると viên chu suất に cận い.

Ám xướng

Ngữ lữ hợp わせ

Tường tế は “Piphilology”を tham chiếu

πの hằng をKý ức thuậtに lại らずにÁm kýする phương pháp が các chủng tồn tại している.

Nhật bổn ngữ では,Ngữ lữ hợp わせにより, trường い hằng を ám ký するのも bỉ giác đích giản 単である. Hữu danh なものとして, dĩ hạ がある.

Sản y sư dị quốc ニ hướng コー, sản hậu ách vô ク sản phụ ngự xã ニ trùng サンザン ám ニ minh ク

(	Sản	Y	Sư	Dị	Quốc	ニ	Hướng	コー,	Sản	Hậu	Ách	Vô	ク	Sản	Phụ	Ngự	Xã	ニ	Trùng	サン	ザン	Ám	ニ	Minh	ク	)
	3.	1	4	1	59	2	6	5	3	5	89	7	9	3	2	3	846	2	64	3	3	83	2	7	9	( tiểu sổ dĩ hạ 30 hằng )

Sản	Y	Sư	Dị	Quốc	に	Hướng	かう.	Sản	Hậu	Ách	な	く,	Sản	に	Sản	Bà,	Tứ	Lang	Nhị	Lang	Tử	Sản,	Sản	Bà	Sản	に	Khấp	く.	Khốn る	に	Mẫu	よ	Hành	く	な.	Nhất	Lang	Khổ	Sản で	Khổ が続き,	Mỹ	Nại	Tử	Nhất nhân	を	Tiểu	Ốc	に	Trí	く.
3.	1	4	1	59	2	6	5	3	5	89	7	9	3	2	3	8	4	6	2	6	4	3	3	8	3	2	7	9	50	2	88	4	1	9	7	1	6	9	3	99	3	7	5	1	0	5	8	2	0	9	( tiểu sổ dĩ hạ 55 hằng )

Toàn く khuynh hướng が dị なるものとして,

Thân	Nhất つ,	Tiêu,	Ngục	に	Hướng	こう.	Thảm たるかな	Y	Dược	な	く
3.	1	41	59	2	6	5	3	5	89	7	9		( tiểu sổ dĩ hạ 14 hằng )

Thân	ひとつ	よ	Nhân の,	いづこに	Tế kiến,	いつ,	Ách なく	Kiến つ,	Văn や	Đọc むらん
3.	1	4	1	592	653	5	8979	3	238	46	( tiểu sổ dĩ hạ 20 hằng )

Anh ngữ quyểnでは ngữ lữ hợp わせがうまくいかないため,単 ngữの văn tự sổ で覚える phương pháp がある.

Yes,	I	have	a	number.
3.	1	4	1	6	( tiểu sổ dĩ hạ 4 hằng までで tứ xá ngũ nhập )

Can	I	find	a	trick	recalling	Pi	easily?
3.	1	4	1	5	9	2	6	( 7 hằng, また “πを giản 単に tư い xuất せるトリックってある?” という văn chương tự thể がその chất vấn の đáp えにもなっている )

How	I	like	a	drink,	alcoholic	of	course,	after	the	heavy	lectures	involving	quantum	mechanics!
3.	1	4	1	5	9	2	6	5	3	5	8	9	7	9	( tiểu sổ dĩ hạ 14 hằng )

3 hằng mục の like を want としたものもある ( xuất điển は bất minh ).

And	if	the	lectures	were	boring	or	tiring,	then	any	odd	thinking	was	on	quartic	equations	again.
3	2	3	8	4	6	2	6	4	3	3	8	3	2	7	9	5	( thượng に続けて, 31 hằng ) S. ボトムリー

これらのような覚え phương は đa くあり, nhật bổn ngữ では thượng ký のものの cải biên で90 hằng までのものや, ca に hợp わせたもの, sổ trị を văn tự に trí き hoán えて1,000 hằng cận く覚える phương pháp などがある.

Ám xướng ký lục

2004 niên9 nguyệt 25 nhật,Nguyên khẩu chứngが8 thời gian 45 phân かけて viên chu suất 5 vạn 4000 hằng の ám xướng に thành công し, 従 lai の thế giới ký lục を canh tân した. しかしながら, thật tế はより đa くの hằng を覚えていたため,2005 niên7 nguyệt 1 nhật-7 nguyệt 2 nhậtに tái thiêu chiến し, 8 vạn 3431 hằng までの ám xướng に thành công した.2006 niên10 nguyệt 3 nhậtNgọ tiền 9 thời -10 nguyệt 4 nhậtNgọ tiền 1 thời 30 phân ( 16 thời gian 30 phân ) の thiêu chiến で viên chu suất 10 vạn hằng の ám xướng に thành công した.

2022 niên 2 nguyệt hiện tại で『ギネス thế giới ký lục 』に nhận định されている viên chu suất ám xướng の thế giới ký lục は,2015 niên3 nguyệt 21 nhậtにRajveer Meenaが10 thời gian cận くかけて ám xướng した7 vạn hằng である.

Văn hóa đích ảnh hưởng

ベルリン công khoa đại họcSổ học khoa の cận くにあるタイル

πのパイ.パイは viên hình かつ "パイ" とπはĐồng âm dị nghĩa ngữであるため, đà sái lạc の đối tượng にされる.

Viênという nhật thường でもよく tri られた đồ hình についての単 thuần な định nghĩa でありながら, tiểu sổ bộ phân が tuần hoàn せずに vô hạn に続くという bất khả tư nghị さから, sổ học における khái niệm の trung で tối もよく tri られたものの nhất つである.

• 3 nguyệt 14 nhậtはViên chu suất の nhậtおよび sổ học の nhậtである. Tiểu sổ điểm dĩ hạ が “Vĩnh viễn に続く” という ý vị にあやかり, 3 nguyệt 14 nhật に kết hôn するカップルもいる.また,π(pi) とパイ(pie) はĐồng âm dị nghĩa ngữであること,パイが viên hình であることから, アメリカ hợp chúng quốc など phục sổ の quốc で “パイの nhật”として chúc われ,パイ thiêu きやパイ thực のほか, sổ học に quan hệ した hoạt động が hành われる.
• 7 nguyệt 22 nhậtは viên chu suất cận tự trị の nhật とされている (22/7は viên chu suất の cận tự trị ).
• 1999 niênのHọc tập chỉ đạo yếu lĩnhの cải đính により “Tiểu học giáoのToán sổでViên chu suất は3で kế toán することになる” との tổn が thế gian に quảng まったが, thật tế には tất yếu に ứng じて3で kế toán することも khả năng にするための thố trí であった.
• 2012 niên8 nguyệt 14 nhật,Mễ quốc thế điều tra cục が, mễ quốc の nhân khẩu が viên chu suất と đồng じ tịnh びの3 ức 1415 vạn 9265 nhân に đạt したと phát biểu した. アメリカには viên chu suất の khúc を tác る nhân もいる.
• Tổ bản 処 lý ソフトウェアTeXのバージョン phiên hào は,3.14, 3.141, 3.1415,…というように, canh tân の độ に viên chu suất に cận づいていくように nhất hằng ずつ tăng やされる.

Thật vụ thượng の cận tự trị

Viên hồ の trường さの kế toán など, thật vụ thượng の sổ trị kế toán では, その dụng đồ に ứng じて tất yếu な hằng sổ の viên chu suất が kế toán に dụng いられる. Lệ として,

• Chỉ luânなどの tiểu さなものでは, 3.14で thiết kế している.
• Công nhậnLục thượng cạnh kỹ tràngのKhúc tẩu lộの kế toán では, 3.1416を dụng いている.
• NASAのJPLの hoặc tinh gian hàng hành システムにおける tối cao tinh độ の kế toán では, tiểu sổ điểm dĩ hạ 15 hằng までの3.141592653589793を dụng いている.
• Quan trắc khả năng な vũ trụが cầu thể だとして, その viên chu の ngộ soa がThủy tốNguyên tửTrình độ になるためには, tiểu sổ điểm dĩ hạ 40 hằng trình độ を sử えば túc りる.

Trị

Tiểu sổ điểm dĩ hạ 1000 hằng までの trị

π= 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989… (オンライン chỉnh sổ liệt đại từ điểnの sổ liệtA000796)

Thập tiến ký sổ pháp dĩ ngoại の biểu ký pháp による biểu hiện

• Nhị tiến ký sổ pháp(Cơ sổ2 ) による tối sơ の48 hằng ( 48ビットとも hô ばれる ) は11.001001000011111101101010100010001000010110100011...(オンライン chỉnh sổ liệt đại từ điểnの sổ liệtA004601)
• Tam tiến ký sổ pháp( cơ sổ 3 ) による tối sơ の38 hằng は10.0102110122220102110021111102212222201...(オンライン chỉnh sổ liệt đại từ điểnの sổ liệtA004602)
• Thập lục tiến ký sổ pháp( cơ sổ 16 ) による tối sơ の20 hằng は3.243F6A8885A308D31319...(オンライン chỉnh sổ liệt đại từ điểnの sổ liệtA062964)
• Lục thập tiến ký sổ pháp( cơ sổ 60 ) による tối sơ の5 hằng は 3;8,29,44,0,47(オンライン chỉnh sổ liệt đại từ điểnの sổ liệtA060707)

Tham khảo văn hiến

• Thượng dã kiện nhĩ『Viên chu suấtπをめぐって』Nhật bổn bình luận xã〈はじめよう sổ học 1 / thượng dã kiện nhĩ lãng xuyên hạnh ngạn cao kiều dương nhất lang biên tập 〉, 1999 niên.ISBN4535608407.NCIDBA41156434.Toàn quốc thư chí phiên hào:99079085.https://iss.ndl.go.jp/books/R100000002-I000002769358-00.
• Hắc điền thành tuấn 『 vi phân tích phân 』 cộng lập xuất bản 〈 cộng lập giảng tọa 21 thế kỷ の sổ học đệ 1 quyển 〉, 2002 niên.ISBN978-4320015531.
• Nhật bổn sổ học hộiBiên 『 sổ học từ điển 』 ( đệ 4 bản )Nham ba thư điếm,2007 niên.ISBN978-4-00-080309-0.
• Berggren, Lennart;en:Jonathan Borwein,en:Peter Borwein(1991).Pi: A Source Book.シュプリンガー・フェアラーク.ISBN0-387-94924-0
• ウォルター・ルーディン(1976) [1953].Principles of Mathematical Analysis(3e ed.).マグロウヒル.ISBN0-07-054235-X
• Bản thương thánh tuyên,Trung thôn bang quang, bản thương linh tử “Giang hộ thời đại の viên chu suất の trị”『 nhật bổn における khoa học nghiên cứu の manh nha と tỏa chiết: Cận thế nhật bổn khoa học sử の mê giải き』仮 thuyết xã,1990 niên, 188-212 hiệt.NCIDBN04953821.Toàn quốc thư chí phiên hào:92054782.https://iss.ndl.go.jp/books/R100000002-I000002191996-00.( sơ xuất 1982 niên )
• Trung thôn bang quang, bản thương thánh tuyên 『 viên chu suất 3.14の thụ け継ぎと định trứ の quá trình 』仮 thuyết xã, 1990 niên, 213-240 hiệt.( sơ xuất 1983 niên )
• Trung thôn bang quang, bản thương thánh tuyên 『 viên chu suất 3.14の động diêu と3.16の phục hoạt の mê 』仮 thuyết xã, 1990 niên, 241-255 hiệt.( sơ xuất 1984 niên )
• Trung thôn bang quang “Giang hộ thời đại の nhật bổn における viên chu suất の trị の nghịch hành hiện tượng”『 kế lượng sử nghiên cứu 』 đệ 38 quyển đệ 1 hào, nhật bổn kế lượng sử học hội, 2016 niên, 42-48 hiệt,ISSN0286-7214,NAID110010040017,NDLJP:10632319.
• Bản thương thánh tuyên “Viên chu suất の変 hóa に kiến る nhật bổn の sổ học ＝ hòa toán の phát triển”『 nhật bổn sử tái phát kiến: Lý hệ の thị điểm から』Triều nhật tân văn xã〈 triều nhật tuyển thư 477〉, 1993 niên, 258-268 hiệt.ISBN4-02-259577-9.NCIDBN09217299.https://iss.ndl.go.jp/books/R100000002-I000002255858-00.
• Bản thương thánh tuyên 『 tân tổng hợp đọc bổn 2 chủng loại あった giang hộ thời đại の viên chu suất －〈3.16〉と〈3.14〉のなぞ』 356 quyển, 9 hào, 仮 thuyết xã, 2009 niên, 92-115 hiệt.

Quan liên thư tịch

• 『 viên chu suất πの bất tư nghị ―アルキメデスからコンピュータまで』 quật tràng phương sổ,Giảng đàm xã〈ブルーバックス〉, 1989 niên 10 nguyệt 17 nhật.ISBN 978-4061327979.
• 『π ( パイ ) のはなし』Kim điền khang chính,Đông kinh đồ thư,1991 niên 4 nguyệt 1 nhật.ISBN 978-4489003387.
• 『πの công thức をデザインする』 trư khẩu hòa tắc,Tân phong xá,1998 niên 1 nguyệt 9 nhật.ISBN 4-7974-0493-0.
• 『 viên chu suất πをめぐって』Thượng dã kiện nhĩ,Nhật bổn bình luận xã,1999 niên 3 nguyệt.ISBN 978-4535608405.
• 『π- mị hoặc の sổ 』ジャン＝ポール・ドゥラエ,Điền chính nghĩa 訳,Triều thương thư điếm,2001 niên 10 nguyệt 1 nhật.ISBN 978-4254110869.
• 『πの lịch sử 』ペートル・ベックマン,Điền vĩ dương nhất 訳,Trúc ma thư phòng〈ちくま học vân văn khố〉, 2006 niên 4 nguyệt.ISBN 978-4480089854.
• 『π ― πの kế toán アルキメデスから hiện đại まで』 trúc chi nội tu,Y đằng long,Cộng lập xuất bản,2007 niên 3 nguyệt 22 nhật.ISBN 978-4320018341.
• 『 viên chu suất が bộ んだ đạo 』 thượng dã kiện nhĩ,Nham ba thư điếm〈Nham ba hiện đại toàn thư〉, 2013 niên 6 nguyệt 19 nhật.ISBN 978-4000291040.
• 『 viên chu suất ― lịch sử と sổ lý ―』Trung thôn tư,Cộng lập xuất bản, 2013 niên 11 nguyệt 23 nhật.ISBN 978-4320110625.
• Pi: A Source Book (3rd ed.). Lennart Berggren; Jonathan Borwein; Peter Borwein (2004-8-9).シュプリンガー.ISBN 978-0387205717
• Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation (1st ed.). David H. Bailey; Jonathan M. Borwein (2016-8-5). シュプリンガー.ISBN 978-3319323756

Quan liên hạng mục

• Sổ học に quan するもの
  • Viên chu suất の lịch sử
  • Viên chu suất の cận tự
  • Viên chu suất の vô lý tính の chứng minh
  • τ ( sổ học định sổ )- viên の bán kính に đối する chu trường の bỉ
  • リンデマンの định lý
  • ファインマン・ポイント
  • Sổ học định sổ
• Giáo dục に quan するもの
  • Viên chu suất は3
• Xã hội に quan するもの
  • Viên chu suất の nhật
  • インディアナ châu viên chu suất pháp án

Ngoại bộ リンク

• Toán sổ dụng ngữ tập “Viên chu suất”- tân hưng xuất bản xã khải lâm quán
• Viên chu suất.jp
• Giang hộ の sổ học “コラム viên chu suất”- quốc lập quốc hội đồ thư quán
• Viên chu suất ナビ
• Viên chu suất kế toán ｜ラマヌジャン hình công thức
• Viên chu suất 100 vạn hằng biểu
• Hàn xuyên quang: “Hoàn toàn 楕 viên tích phân とガウス・ルジャンドル pháp によるπの kế toán”, bình thành 29 niên ( tây lịch 2017 niên ) 4 nguyệt 14 nhật
• Cao giáo sinh のための コンピュータサイエンス オンラインセッション2020 tình báo 処 lý học hội đệ 3 hồi 2020/08/07 10:00-11:00 tỉnh thượng sang tạo, nham vĩ エマ はるか( 38m37s〜 ) -YouTube
  • ※ viên chu suất 30 triệu hằng をGoogleCloudを sử って kế toán.
• Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt and Heng Huat Chan: "Ramanujan's Series for 1/π: A Survey", The American Mathematical Monthly, v116(7) (Aug-Sep.,2009),pp.567-587.