Tiêm độ

Tiêm độ( せんど,Anh:kurtosis) は,Xác suất 変 sổのXác suất mật độ quan sổや tần độ phân bố の duệ さを biểu す chỉ tiêu である. Chính quy phân bố と bỉ べて, tiêm độ が đại きければ duệ いピークと trường く thái い cư をもった phân bố であり, tiêm độ が tiểu さければより hoàn みがかったピークと đoản く tế い vĩ をもつ phân bố である.Nhật bổn sản nghiệp quy cáchでは, とがり (kurtosis) として bình quân trị まわりの 4 thứ のモーメントμ₄の tiêu chuẩn thiên soaσの 4 thừa に đối する bỉμ₄/σ⁴と định nghĩa している^[1]^[2].

2 chủng loại の định nghĩa[Biên tập]

Tiêm độ には, ４ thứ の tiêu chuẩn hóa モーメントとも hô ばれるμ₄/σ⁴から３を dẫn いてChính quy phân bốの tiêm độ を 0 とする định nghĩa と, ４ thứ の tiêu chuẩn hóa モーメントをそのまま dụng いて chính quy phân bố の tiêm độ を 3 とする định nghĩa があることに chú ý. これら2 chủng loại の định nghĩa の vi いは, tiêm độ が chính quy phân bố との quai ly をみるために sử われることに khởi nhân している. Nhất bàn にはChính quy phân bốの tiêm độ を 0 とすることが đa い.Excelの phân tích ツール đẳng は chính quy phân bố の tiêm độ を 0 としている^{[ chú 釈 1]}.Đông kinh đại học xuất bản hội の “Thống kế học nhập môn” (ISBN 4130420658)やNumerical Recipesなども chính quy phân bố の tiêm độ が 0 となるように, tiêm độ を định めている.

モーメントによる định nghĩa[Biên tập]

Xác suất 変 sổ $X$ の phân bố quan sổ を $F(X)$

\mu =E[X]=\int XdF(x)

\mu _{r}=E[(X-\mu )^{r}]=\int (X-\mu )^{r}dF(x)

(

r

は chính chỉnh sổ )

とする. このとき, phân bố quan sổ $F(X)$ の tiêm độ $\beta _{2}$ は thứ thức である ( các tích phân trị が tồn tại すると仮 định している ).

Chính quy phân bố の tiêm độ を 0 とする định nghĩa では,
$\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{{\mu _{2}}^{2}}}-3$
Chính quy phân bố の tiêm độ を 3 とする định nghĩa では,
$\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{{\mu _{2}}^{2}}}$

キュムラントによる định nghĩa[Biên tập]

Xác suất 変 sổ $X$ の $r$ Thứ のキュムラント^{[ chú 釈 2]}を $\kappa _{r}$ とすると, tiêm độ $\beta _{2}$ は thứ thức で định nghĩa される.

Chính quy phân bố の tiêm độ を 0 とする định nghĩa では,
$\beta _{2}={\frac {\kappa _{4}}{{\kappa _{2}}^{2}}}$
Chính quy phân bố の tiêm độ を 3 とする định nghĩa では,
$\beta _{2}={\frac {\kappa _{4}}{{\kappa _{2}}^{2}}}+3$

Kế toán lệ[Biên tập]

Chính quy phân bố の tiêm độ.モーメント mẫu quan sổM_X(t) のキュムラント mẫu quan sổ は

\log(M_{X}(t))=\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2

から $\kappa _{1}=\mu$ , $\kappa _{2}=\sigma$ , $\kappa _{r}=0\ (r\geq 3)$ となり, 3 thứ dĩ thượng のキュムラントはすべて 0 であることがわかる. したがって, chính quy phân bố の tiêm độ は $\beta _{2}=0$ ( または 3 ) となる.

Tiêm độ の ý vị[Biên tập]

Chính quy phân bố と, それより tiêm độ が đại きく đẳng しいBình quân trịとTiêu chuẩn thiên soaをもつ xác suất mật độ quan sổ を kỳ す.

Mô thức đích であるが, bình quân trị の chu りでは tiêm りが đại きく cư を dẫn いた phân bố であることがわかる. “Tiêm độ” ( tiêm ＝とがり ) と biểu hiện するのは ngộ giải しやすく, cư の trọng さというほうが thật thái を biểu している ( tường tế は tham khảo văn hiến を tham chiếu ).

Đặc thù な phân bố

$p(x)={\frac {1}{\alpha \,\mathrm {\mathrm {B} } \!\left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{\!2\,}\right]^{-m}\!$

では lạng giả ( cư の trọng さと bình quân trị の chu りでは tiêm り ) の khái niệm は nhất trí するが, nhất bàn の phân bố では nhất trí しないのは minh らかである.

Tiêu bổn モーメントによる mẫu tập đoàn の tiêm độ thôi định[Biên tập]

ここでは, tiêu bổn の đại きさ $n$ の tiêu bổn に cơ づく mẫu tập đoàn の tiêm độ の thôi định を khảo える ^{[ chú 釈 3]}.

Nhất bàn には, tiêm độ の định nghĩa の phân mẫu phân tử の bất thiên thôi định lượng をもって mẫu tập đoàn の tiêm độ の thôi định lượng とする phương pháp がもっとも đa く sử dụng される. Cụ thể đích には, mẫu tập đoàn のキュムラントの bất thiên thôi định lượng であるk thống kế lượng(k-statistics)^{[ chú 釈 4]}を sử った kế toán phương pháp である. $r$ Thứ の k thống kế lượng を $k_{r}$ ,Bình quân chu りの $r$ Thứ のモーメントを $m_{r}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{r}$ とすると,

k_{2}={\frac {n}{n-1}}m_{2}

k_{4}={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\left\{(n+1)m_{4}-3(n-1){m_{2}}^{2}\right\}

なので, thượng の 2 thức をキュムラントによる định nghĩa に đại nhập して thôi định lượng とする phương pháp である.

Tối chung đích には $\beta _{2}$ の thôi định lượng $b_{2}$ について thứ を đắc る.

b_{2}={\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i}\left({\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{s}}\right)^{4}-{\frac {3(3n-5)}{(n-2)(n-3)}}

ここで,

s={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\,m_{2}}}

( bất thiên tiêu chuẩn thiên soa )

3 を dẫn いた định nghĩa では, thứ thức になる.

{\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i}\left({\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{s}}\right)^{4}-3{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}

Phân bố と tiêm độ[Biên tập]

Phân bố	Tiêm độ
ラプラス phân bố	3
Song khúc tuyến chính cát phân bố	2
ロジスティック phân bố	6/5
Chính quy phân bố	0
Nhị thừa dư huyền phân bố	−0.593762…
ウィグナー bán viên phân bố	−1
Nhất dạng phân bố	−6/5

Thượng ký の phân bố のOai độは, toàn て 0 である.

Chú 釈[Biên tập]

^Oai độ $\beta _{1}=E{(X-\mu )^{3}}/[E{(X-\mu )^{2}}]^{(3/2)}$ ,Phân tán $\sigma =E{(X-\mu )^{2}}$ は bất đẳng thức による chế hạn があるので, chú ý する tất yếu がある. Đương nhiên ながら, tiêu bổn における oai độ と tiêm độ は hỗ いにĐộc lậpではない. コーシー・シュワルツの bất đẳng thức を khảo えれば, tiêm độ $\beta _{2}$ は 1 より đại きく, 3 を dẫn いた tiêm độ は −2 dĩ thượng の trị をとることは minh らかであろう.
^Giản 単に ngôn えば, モーメント mẫu quan sổ $M_{X}(t)$ の đối sổ をとった quan sổ を $t=0$ の chu りで hình thức đích に triển khai し, $t$ について chỉnh lý したときの, $r$ Thứ の hệ sổ が $\kappa _{r}$ である.
^ Nghiêm mật な ý vị での tiêu bổn における tiêm độ についてのBất thiên thôi định lượngの nghiên cứu は, tỉnh lược する.
^Cụ thể đích には $E\{k_{r}\}=\kappa _{r}$ となる tính chất がある.