Khúc diện

X-,Y-,Z-Đẳng vị tuyếnの nhập った khai khúc diện

Sổ học,Đặc にVị tương kỉ hà họcにおけるKhúc diện( きょくめん,Anh:surface) は,Nhị thứ nguyênVị tương đa dạng thểである. Tối もよく tri られた khúc diện の lệ は, cổ điển đích な tam thứ nguyênユークリッド không gianR³Nội のLập thểのCảnh giớiとして đắc られる khúc diện である. Lệ えば,Cầu thểの cảnh giới としてのCầu diệnはそのようなものの lệ になっている. Tha phương でクラインの hồなどの,Đặc dị điểmや tự kỷ giao xoa を trì つことなしに tam thứ nguyên ユークリッド không gian にMai め込みBất khả năng な khúc diện というものも tồn tại する.

Khúc diện が “Nhị thứ nguyên” であるというのは, それが nhị thứ nguyên のTọa tiêu hệを nhập れた “Tọa tiêu phó きのきれはし”の thiếp り hợp せになっているということを chỉ し kỳ している. Lệ えば, “Địa cầu の biểu diện” は ( lý tưởng đích には ) nhị thứ nguyênCầu diệnであり,Kinh tuyếnとVĩ tuyếnはその cầu diện thượng の nhị thứ nguyên tọa tiêu hệ を dữ えている ( ただし, lạng cực を180 độ tử ngọ tuyến で kết んだ bộ phân を trừ く ).

Lệ

Dạng 々な lệ をみてみることで, nhất bàn đích な khúc diện の khái niệm と, khúc diện khái niệm がいかに đa dạng で phong phú であるかがわかる. どんな hình thức đích định nghĩa によってもこの đa dạng さを bao nhiếp することはできないだろう.

• Khả triển diện(developable surface)は nội tại đích には “Khúc がっていない” khúc diện, つまり bình diện から thân súc することなく đắc られる khúc diện である. Lệ としてTrụ diện・Trùy diện,4 thứ nguyên không gian におけるトーラスがあげられる.ペーパークラフトは khả triển diện により cấu thành される.
• Tuyến chức diện(ruled surface)Các điểm についてそこを thông る nội tại đích に “まっすぐな” tuyến が tồn tại するような khúc diện. Trụ diện や nhất diệpSong khúc diệnがその lệ になっている.
• Hồi 転 diện(surface of revolution)は viên trụ đối xưng tính をもった khúc diện である.
• Cực tiểu khúc diện(minimal surface)とは dữ えられたCảnh giới điều kiệnに đối し diện tích を cực tiểu ・ tối tiểu にするような khúc diện である. カテノイド ( huyền thùy diện ) やヘリコイド ( thường loa toàn diện ) が lệ として cử げられる. Châm kim の枠に trương ったシャボン mô は biểu diện trương lực がはたらくことにより cực tiểu khúc diện をなす.
• Đại sổ khúc diệnはĐại sổ phương trình thứcHệ のLinh điểmTập hợpとして định nghĩa される. Lệ としてNhị thứ khúc diện・Tam thứ khúc diện・ヴェロネーゼ khúc diệnが cử げられる.
• Âm phục khúc diện(implicit surface)は nhất bàn đích なPhương trình thứcHệ の linh điểm tập hợp として định nghĩa される.
• クラインの hồやメビウスの đáiは hướng きのつかない đa dạng thể の lệ である.
• リーマン diệnとはPhục tố giải tíchĐích な cấu tạo を trì つ khúc diện のことであり, đặc に, それらの gian のChính tắc tả tượngの khái niệm が định nghĩa できる. Lệ えば cầu diện やトーラスが cử げられる.
• Xạ ảnh khúc diệnはXạ ảnh không gianの trung で định nghĩa される.
• アレクサンダーの giác phó き cầu diệnは, phổ thông のなめらかな khúc diện とカントール tập hợpになっているĐặc dị điểmTập hợp をあわせたVị tương cấu tạoを trì つ khúc diện の lệ になっている.

Định nghĩa

Dĩ hạ では, khúc diện とはĐệ nhị khả toán công lýを mãn たす nhị thứ nguyên の đa dạng thể とする.

より chính xác には, ( cảnh giới phó きの ) vị tương đích khúc diện とはハウスドルフ không gianであってその nhậm ý の điểm が, nhị thứ nguyênユークリッド không gianE²のKhai tập hợp,あるいはE²のBán bế không gianの khai tập hợp にĐồng tươngな khaiCận bàngを trì つもののこととする.E²の khai tập hợp に đồng tương な khai cận bàng を trì つ điểm toàn thể の tập hợp はその khúc diện のNội điểmTập hợp とよばれ, これは tất ずKhôngでない. Nội điểm tập hợp の bổ tập hợp は cảnh giới とよばれる. こちらは nhất thứ nguyên の đa dạng thể, つまりBế khúc tuyếnのHợp tịnhになる.

Cảnh giới が không tập hợp になっている khúc diện はコンパクトなら bế khúc diện, コンパクトでないなら khai khúc diện とよばれる.

Bế khúc diện の phân loại

Bế じた ( つまりコンパクトで cảnh giới のない )Liên kếtな khúc diện のVị tương đồng hìnhLoại については hoàn toàn な phân loại がある. そのような khúc diện は thứ の nhị つの vô hạn hệ liệt のどれかに đương てはまる:

• Cầu diện にgCá のハンドルをつけたもの (g- trọng トーラスとよばれる ). これはオイラー tiêu sổが 2 − 2gの hướng きがついた khúc diện であり,Chủng sổgの khúc diện ともよばれる.
• Cầu diện にkCá の thật xạ ảnh bình diện をつけたもの. これはオイラー tiêu sổ が 2 −kの hướng きがつかない khúc diện である.

したがってオイラー tiêu sổ とHướng き phó け khả năng tínhがコンパクトな khúc diện を vị tương đồng hình の hạn りで ( さらには, khảo えている khúc diện がなめらかならVi phân đồng tươngの hạn りで ) đặc trưng phó けていることになる.

コンパクトな khúc diện

Cảnh giới の phó いたコンパクトな khúc diện は, cảnh giới のないものからいくつかの giao わらない bế viên bản の nội bộ をのぞいたものになっている.

R³への mai め込み

コンパクトな khúc diện は hướng き phó けできるか không でない cảnh giới を trì っていればR³に mai め込むことができる.ホイットニーの mai め込み định lýによってどんな khúc diện でもR⁴になら mai め込める.

Vi phân kỉ hà học đích な khái niệm

n- thứ nguyên ユークリッド không gian の trung の, あるいは nhất bàn にリーマン kế lượngをもった khúc diện の diện tích についてはThể tích yếu tốで thuyết minh される. リーマン diện thượng の kế lượng についてはポアンカレ kế lượngを tham chiếu のこと.

Mô hình

Dĩ hạ のように củ hình の biên を ( AはAと, BはBと ) thỉ ấn の hướng きがあうように trương り hợp わせることでいろいろな khúc diện のモデルができる:

• 
  Cầu diện
• 
  ThậtXạ ảnh bình diện(w:Real projective plane)
• 
  クラインの hồ
• 
  トーラス

Thật tế に bố などを thiết って trương り hợp わせて tác ろうとすると, cầu diện は phổ thông に tác れる. トーラスは, どちらかの trương り hợp わせが tiên で, もう nhất phương が hậu になってドーナツHình になる.コンピュータRPGで, địa diện がこのようにトーラスになっているものがある, ということが thời chiết thoại đề になる. Thật xạ ảnh bình diện とクラインの hồ は, diện の biểu と lí を khu biệt できない. クラインの hồ は, tam thứ nguyên では tự kỷ giao xoa なしに tác ることができない.

Cơ bổn đa giác hình

Vị tương kỉ hà họcĐích な ý vị において,Bế khúc diện はCơ bổn đa giác hình(fundamental polygon)とよばれる ngẫu sổ cá の biên を trì ったĐa giác hìnhの hướng かいあう biên どうしを đồng nhất thị することで cấu thành できる. この cấu thành はnCá の dị なった ký hào が nhị hồi ずつ, "+1" か "−1" の chỉ sổ phó きで hiện れるような trường さ 2 nの văn tự liệt で biểu すことができる. Chỉ sổ "−1" は đối ứng する biên に cơ bổn đa giác hình toàn thể の hướng きとは phản đối の hướng きを chấn ることを kỳ している.

Thượng の mô hình は thứ のようにかける:

• Cầu diện: ABB⁻¹A⁻¹
• Thật xạ ảnh bình diện: ABAB
• クラインの hồ: ABAB⁻¹
• トーラス: ABA⁻¹B⁻¹

Khúc diện の liên kết hòa

Nhị つの khúc diện M, M′ が dữ えられたとき, それぞれから viên bàn を thiết り bạt いてできた duyên を trương り hợp わせることで, nhị つの khúc diện の liên kết hòa M # M′ が đắc られる.

Dĩ hạ の ký hào を sử うことにする:

• Cầu diện: S
• Thật xạ ảnh bình diện: P
• クラインの hồ: K
• トーラス: T

ことのとき thứ が thành り lập つ:

• S # S = S
• S # M = M ( Mは nhậm ý の khúc diện )
• P # P = K
• P # K = P # T

Lược ký phápnM = M # M #... # M (nHồi ), 0M = Sも dụng いられる.

Bế khúc diện の hệ liệt は thứ のようにかける:

• gT (g- trọng トーラス ): Chủng sổgの hướng き phó き khúc diện (g≥ 0)
• gP (g- trọng xạ ảnh bình diện ): Chủng sổgの hướng きなし khúc diện (g≥ 1)

Đại sổ khúc diện

これまでの khúc diện とĐại sổ khúc diệnとは khu biệt する tất yếu がある.Phi đặc dịな phục tốXạ ảnhĐại sổ khúc tuyếnは thật sổ thể thượng なめらかな khúc diện になっている.Phục tố sổ thểThượng のĐại sổ khúc diệnの thật đa dạng thể としての thứ nguyên は4になる.

Tham khảo văn hiến

• Dyck, Walther(1888), “Beiträge zur Analysis situs I”,Math. Ann.32:459–512,doi:10.1007/BF01443580
• Gramain, André (1984).Topology of Surfaces.BCS Associates.ISBN 0-914351-01-X(Original 1969-70 Orsay course notes in French for "Topologie des Surfaces" )(PDF)
• Bredon, Glen E. (1993).Topology and Geometry.Springer-Verlag.ISBN0-387-97926-3
• Massey, William S. (1991).A Basic Course in Algebraic Topology.Springer-Verlag.ISBN0-387-97430-X
• Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R. (May 1999),“Conway's ZIP Proof”(PDF),American Mathematical Monthly106(5),http://new.math.uiuc.edu/zipproof/zipproof.pdf,page discussing the paper:On Conway's ZIP Proof

Ngoại bộ リンク

• Weisstein, Eric W."Surface".mathworld.wolfram.com( anh ngữ ).
• surface-PlanetMath.( anh ngữ )
• Chernavskii, A.V. (2001),“Two-dimensional manifold”,in Hazewinkel, Michiel,Encyclopedia of Mathematics,Springer,ISBN978-1-55608-010-4,https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Two-dimensional_manifold
• Gallery of Famous Surfaces:Thị điểm hồi 転のJavaアップレットがついた70 cá +の khúc diện
• Isosurface:Âm quan sổ khúc diện のポリゴナイザーを thật thi する Mac OS X dụng アプリケーション＆スクリーンセーバーのセット
• Math Surfaces Animation, with JavaScript (Canvas HTML) for tens surfaces rotation viewing
• The Classification of Surfaces
• History and Art of Surfaces and their Mathematical Models