Tố số

Tố số( そすう,Anh:primeあるいはprime number) とは,2Trở lên のSố tự nhiênで, chính のSố ước lượngが1と tự đánh giá tự thân の みであるも の の ことである. Chính の số ước lượng の cái số が2である số tự nhiên と ngôn い đổi えることもできる.1より đại きい số tự nhiên で tố số でないも の はHợp thành sốと hô ばれる.

Nhật Bản では,Anh:prime numberの Nhật Bản ngữ へ の 訳 ngữ は “Tố số” とすることが1881 năm(Minh trị14 năm ) に quyết まった.

Giống nhau には, tố số はĐại số thểの số nguyên hoàn のTố nguyênとして định nghĩa される ( そこではPhản sốなど のĐồng bạnなも の も tố số に hàm まれる ). こ の ため, có lýSố nguyênHoàn$\mathbb {Z}$で の tố số はCó lý tố số( ゆうりそすう,Anh:rational prime) と hô ばれることもある.

Nhỏ nhất の tố số は2である. Tố số は vô số に tồn tại する. したがって, tố số からなる vô hạnDãy sốが đến られる.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,…

Tố số が vô số に tồn tại することは,Kỷ nguyên trước 3 thế kỷKhoảnh のエウクレイデス( dưới ユークリッド ) の thư 『Nguyên luận』で đã に chứng minh されていた. そこで の chứng minh は, đi ngược pháp により thứ の ようになる:

『 tố số toàn thể は hữu hạn cái と仮 định して, toàn て の tố số のTổng thừaに1を đủ した số をNとする. Nはど の tố số で cắt っても dư りが1となる. Một phương, Nはど の tố số よりも đại きい の で, Nは tố số ではない. すなわち, Nはある tố số で cắt り thiết れる. これは, Nを tố số で cắt った dư りが1であることに mâu thuẫn する. ゆえに, tố số は vô số にある. 』

Số tự nhiênあるいはThật sốの trung で の tố số の phân bố の dạng tử は độ cao に phi hiển nhiên で,リーマン dư tưởngなど の hiện đại toán học の quan trọng な vấn đề と の hứng thú thâm い kết び phó きが phát thấy されている.

Phân tán コンピューティング・プロジェクトGIMPSにより, sử thượng lớn nhất の tố số の tìm tòi が hành われている. Hiện tại biết られている lớn nhất の tố số は,2018 năm12 nguyệt 7 ngàyに phát thấy された, それまでに phân かっている trung で51 phiên mục のメルセンヌ tố số2^82589933− 1であり,Thập phânで vật lưu niệm したとき の hằng số は2486 vạn 2048 hằng に cập ぶ.

Định nghĩa と lệ

100Dưới の tố số một lãm
	02	3	00	05	00	7	00		00
11		13				17		19
		23						29
31						37
41		43				47
		53						59
61						67
71		73						79
		83						89
						97

Tố số とは, hiển nhiên な chính の thừa tố (1と tự đánh giá tự thân ) bên ngoài に thừa tố を cầm たない số tự nhiên であり,1でない số の ことである. つまり, chính の thừa tố の cái số が 2 である số tự nhiên である.

Lệ えば,2は, chính の thừa tố が1, 2の みな の で tố số である.

Tố số でない2Trở lên の số tự nhiên をHợp thành sốと hô ぶ.

Hợp thành số であること の phán định pháp として, たとえば hạ nhớ の 4 điều kiện がある:

• 4Trở lên のSố chẵn.( 2で cắt り thiết れる )
• 10Trở lên で cuối cùng が5か0の số. ( 5で cắt り thiết れる )
• 6Trở lên で,Con số cănが3, 6, 9となる số ( 3で cắt り thiết れる ). ( 20 trở lên では,21,27,33,39,51,57,63,69,81,87,93,99,…)
• Một の vị から thấy て số lẻ phiên mục の vị の số の cùng と, số chẵn phiên mục の vị の số の cùng と の kém が11 の bội số であれば, 11 の bội số である ( 11で cắt り thiết れる ). ( 100 trở lên では,110,121,132,143,154,165,176,187,198,209,…)

Nghịch に, こ の 4 điều kiện を, toàn て mãn たさない số でも tố số とは hạn らない. Lệ えば,91は, chính の thừa tố が1, 7, 13, 91な の で tố số ではない.

また,2, 3Bên ngoài の tố số は, nhất も gần い6 の bội số と の kém が1か−1である.

2でない tố số はSố lẻであり,Kỳ tố sốと hô ぶ.

100 dưới の tố số は25 cái tồn tại し, tiểu さい thuận に thứ の thông りである.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

Kỹ càng tỉ mỉ は “Tố số の một lãm”を tham chiếu

Tố thừa tố phân giải の khả năng tính ・ một ý tính

Kỹ càng tỉ mỉ は “Số học の cơ bản định lý”を tham chiếu

“2Trở lên の số tự nhiên は, tố số のTíchで biểu せる. そ の biểu し phương は tích の trình tự を trừ けば một ý である” という,Tố thừa tố phân giảiの khả năng tính ・ một ý tính が thành lập する (Số học の cơ bản định lý). Tố thừa tố phân giải の khả năng tính から, tố số toàn thể の thành す tập hợp は, 2 trở lên の số tự nhiên toàn thể の thành す tập hợp とそ の thừa pháp からなるNửa đànの nhỏ nhấtのSinh thànhHệ である. Ngôn い đổi えれば, これは “Tố số は số tự nhiên の cấu thành yếu tố である” などとなる.

Tố số の định nghĩa である “1と tự đánh giá tự thân でしか cắt り thiết れない” という điều kiện ( đã ước tính ) は,Trừu tượng đại sốにおいて,HoànのĐã ước nguyênの khái niệm ( một bộ の hoàn ではTố nguyênの khái niệm と nhất trí する ) に trừu tượng hóa され giống nhau に lấy り tráp われる. Giống nhau の hoàn で, tùy ý の nguyên は đã ước nguyên の tích に phân giải され, しかもそ の tỏ vẻ は một ý であるという tính chất は hi hữu である. Lệ えばネーター hoànでは, tùy ý の nguyên は đã ước nguyên phân giải が khả năng であるが, そ の tỏ vẻ が một ý ではないネーター hoàn の lệ はいくつも biết られている. Một ý に đã ước nguyên phân giải ができる hoàn はMột ý phân giải hoànと hô ばれ, đã ước nguyên phân giải は tố nguyên phân giải ともなる.

1 は tố số か

Hiện đại の định nghĩa では1は tố số ではない. Lịch sử を thông しても1を tố số に hàm めない toán học giả が đa số phái であったが, 20 thế kỷ ngày đầu のHoàn luậnの thành thục まで định nghĩa は thống nhất されていなかった.プラトンやアリストテレスを hàm むほとんど のCổ đại ギリシアの triết học giả は1を số とさえ thấy なさず,Tố số tính の khảo sát の đối tượng としなかった.スペウシッポスは1を số と thấy なし tố số としたが, lúc ấy としては dị đoan であった.こ の thời đại には tố số を số lẻ の một bộ phận と khảo え,2を tố số に hàm めない toán học giả もいた ( ただしユークリッドをはじめとする đa số phái は2を tố số に hàm めている ).アラビアではおおむね cổ đại ギリシアに phỏng って1は số でないとされた.Trung thếからルネサンスにかけて,1が số として tráp われるようになり,1を lúc ban đầu の tố số とする toán học giả も hiện れた.18 thế kỷ nửa ば,ゴールドバッハはオイラーに uyển てた thư từ で1を tố số に cử げている ( ただしオイラー tự thân は1を tố số とは khảo えていなかった ).19 thế kỷ にも số ít phái だが1を tố số に hàm める toán học giả はかなりいた.ハーディの 『A Course of Pure Mathematics』では, 1933 năm に xuất bản された đệ 6 bản までは1を tố số に hàm めているが, 1938 năm の đệ 7 bản から2を nhỏ nhất の tố số とするよう đặt lại されている.レーマーの1を hàm む tố số biểu は1956 năm まで xuất bản された.ルベーグは1を tố số だと khảo えた cuối cùng の chuyên môn な toán học giả だと ngôn われている.

1も tố số と định nghĩa すると, tố số に quan する nhiều く の định lý で, もと の “Tố số” を “1Bên ngoài の tố số” と hô び thế える ghi lại の tu chỉnh が tất yếu になる. Lệ えば6の tố thừa tố phân giải は, ( tích の trình tự を trừ いても )

6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1²× 2 × 3 = 1³× 2 × 3 =…

と vô số に cùng えられることになり, một ý tính は “1を hàm む tố số” については thành り lập たない.エラトステネス の siにおいては,1も tố số とすると,1の bội số ( すなわち hắn の すべて の số ) を đánh tan し, tàn った duy nhất の số1を xuất lực する の で cơ năng しない.さらに,1Bên ngoài の tố số で thành り lập つ dạng 々な tính chất がある ( lệ えば, số tự nhiên とそれに đối ứng するオイラー の φ quan sốやSố ước lượng quan sốの trị と の quan hệ など ).20 thế kỷ ngày đầu までに1は tố số ではなく “単 số”という đặc biệt な phân loại に thuộc するという vuông が giống nhau になった.

Lịch sử

Kỷ nguyên trước 1600 nămKhoảnh のエジプト đệ 2 trung gian kỳにおいて, tố số の sơ đẳng な tính chất が bộ phận に biết られていたことが,リンド toán học パピルスなど の tư liệu によって kỳ xúi されている. Lệ えば điểm をエジプト thức điểmで biểu す trường hợp, tố số と hợp thành số の trường hợp で dị なる tính toán をしなければならないからである. しかし, nhớ lục に tàn っている hạn りにおいて, minh xác に tố số を nghiên cứu đối tượng とした の は cổ đại ギリシア người が lúc ban đầu である. Kỷ nguyên trước ước 300 năm khoảnh に thư かれたユークリッド の 『Nguyên luận』にはTố số が vô số に tồn tại することや, そ の hắn の tố số の tính chất が chứng minh されている. また, ユークリッドはメルセンヌ tố sốからHoàn toàn sốを cấu thành する phương pháp を kỳ している. ギリシア の toán học giả,エラトステネスに nhân んで danh phó けられたエラトステネス の si は, tố số を liệt cử するため の tính toán phương pháp である.

Cổ đại ギリシア thời đại の sau,17 thế kỷになるまで tố số の nghiên cứu にはそれほど の tiến triển が vô かった.1640 nămに,ピエール・ド・フェルマーはフェルマー の tiểu định lý を ( chưa chứng minh ではあるが ) thuật べた. こ の định lý は sau にライプニッツとオイラーによって chứng minh された.

Số tự nhiên を oa quyển trạng に cũng べていき, tố số だけを hắc く đồ ったも の (ウラム の xoắn ốc).
Tố số が mật độ cao に tập まった đối giác tuyến, trục hoành, đường vuông góc が thấy て lấy れる. Tố số の phân bố が cực めて nan giải であるために, こ の tố số の パターンが kỳ す sự thật については chưa だに minh らかにされていない.

Tố số が vô số に tồn tại することは đã にCổ đại ギリシアThời đại から biết られていて,ユークリッドが bỉ の làm 『Nguyên luận』の trung で chứng minh している.

ユークリッドによる chứng minh

『 nguyên luận 』 đệ 9 quyển mệnh đề 20

Tố số の cái số はいかなる định められた tố số の cái số よりも nhiều い.

Định められた cái số の tố số をp₁,p₂,…,p_nとせよ.p₁,p₂,…,p_nより nhiều い cái số の tố số があると chủ trương する.

『 nguyên luận 』による chứng minh

Định められた tố số の cái số がnCái であるとき,nCái の tố số を tiểu さい thuận phiên に cũng べてiPhiên mục の tố số をp_iとする.

1 <p₁<p₂<… <p_n.

こ の とき,nCái の tố số をすべて quải け hợp わせた số に1を thêm えた số をqとすると,

q=p₁×p₂×… ×p_n+ 1.

qは hữu hạn cái の số tự nhiên の tích に1を thêm えた số な の で1より đại きい số tự nhiên である. ゆえに,qは tố số または hợp thành số の どちらかである.

qが tố số の とき,qは lớn nhất の tố sốp_nより đại きい tố số になる の で, định められた cái số の tố số よりも nhiều く の tố số が tồn tại する.

qが hợp thành số の とき,qを cắt り thiết る tố số が tồn tại する. Một phương,qの định nghĩa より, すべて のp_iで cắt った dư りは1になる の で,qはすべて のp_iで cắt り thiết れない. したがって, すべて のp_iBên ngoài に tố số が tồn tại する. すなわち, định められた cái số の tố số よりも nhiều く の tố số が tồn tại する. (Chứng minh chung)

1878 năm,クンマーはq=p₁×p₂×… ×p_n+ 1の đại わりにq=p₁×p₂×… ×p_n− 1を khảo えても cùng dạng に chứng minh できることを kỳ した.

Lệ

Số tự nhiên の hữu hạn tập hợpAの toàn て の yếu tố を quải け hợp わせた số tự nhiên をf(A)とする.

Định められた cái số の tố số からなる tập hợp をA₃= {2, 3, 5}とするとき,f(A₃) = 2 × 3 × 5 + 1 = 31は tố số な の で, tân しい tố số31が đến られる. したがって, định められた cái số より nhiều く の tố số が tồn tại する.

Định められた cái số の tố số からなる tập hợp をA₄= {2, 3, 5, 31}とするとき,f(A₄) = 2 × 3 × 5 × 31 + 1 = 931 = 7 × 7 × 19な の で, tân しい tố số7と19が đến られる. したがって, định められた cái số より nhiều く の tố số が tồn tại する.

Hắn の chứng minh

Thượng nhớ の ユークリッドによる chứng minh bên ngoài にも, tố số が vô số に tồn tại すること の chứng minh phương pháp が tồn tại する.

• Tố số の nghịch số の cùng が phát tán することを lợi dụng した chứng minh(# tố số の nghịch số cùngを tham chiếu )
• 2つ の dị なるフェルマー sốが lẫn nhau いに tố であることを lợi dụng した chứng minh
• Số nguyên の tập hợp に,Đẳng cấp dãy sốの tộc を khai cơ とするVị tươngを nhập れる chứng minh
• n≥ 2に đối して,n(n+ 1)は thiếu なくとも tương dị なる2 cái の tố thừa tố を cầm つことを lợi dụng した chứng minh( サイダックによる )

Tố số phán định と tố thừa tố phân giải

Kỹ càng tỉ mỉ は “Tố số phán định”および “Tố thừa tố phân giải”を tham chiếu

Cùng えられた số tự nhiênnが tố số であるか hợp thành số であるかを phán định するため のアルゴリズムが đa số khảo án されている. Nhất も mộc mạc な phương pháp は,2から√nDưới の tố số まで thuận phiên に cắt っていく,Thí し cắt り phápと hô ばれる phương pháp である.nが√nDưới の toàn て の tố số で cắt り thiết れなければnは tố số である. Thí し cắt り pháp は,nが đại きくなるに従って, cấp tốc に tốc độ が thấp hèn するため, thật dùng ではない. Tùy ý の số に áp dụng できる thí し cắt り pháp よりも cao tốc なアルゴリズムが khảo án されている. また, đặc thù な hình をした số に đối してはより cao tốc なアルゴリズムも tồn tại する. Tố số phán định は, cùng えられた số が tố số であるか không かだけを phán định するも の であるが, tố thừa tố phân giải とはより cường く, cùng えられた số の toàn て の tố thừa tố を liệt cử することであるとも ngôn える.

Thượng nhớ の thông り2を trừ く số chẵn, 2 hằng trở lên で cuối cùng が5 の số,Con số cùngが3 の bội số となる số はHợp thành sốと phân かる の でそれを tỉnh き, 7 trở lên の tố số を thuận phiên に cắt る phương pháp がある.

Phân bố

ある số tự nhiên までにど の くらい の tố số がある の かという vấn đề は, cơ bản だが phi thường に khó しい vấn đề である. これに quan して, thứ のTố số định lýは nổi danh である. こ の định lý は1896 nămに,アダマールとド・ラ・ヴァレ・プサンによって độc lập に chứng minh された.

xDưới の tố số の cái số をπ(x)(Tố số đếm hết quan số) とすると,

$\pi (x)\sim \int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}\sim {\frac {x}{\log x}}\quad (x\to \infty )$

が thành り lập つ. こ の định lý は,1792 nămに15 tuế のカール・フリードリヒ・ガウスによって dư tưởng されていた ( ガウスが lúc ban đầu に dư tưởng した の かどうかは không rõ ). こ の định lý の chứng minh は,ゼータ quan sốと phục tố quan số luận を dùng いる độ cao なも の であったが,1949 nămにアトル・セルバーグとポール・エルデシュは độc lập に sơ đẳng な chứng minh を cùng えた. こ の bình 価 thức はリーマン dư tưởng を仮 định すると trên diện rộng に độ chặt chẽ をよくすることができる.

Thứ の ような định lý もある.

“Tùy ý の số tự nhiênnに đối して,n<p≤ 2nを mãn たす tố sốpが tồn tại する” (ベルトラン の 仮 nói,チェビシェフの định lý )

こ の chủ trương は “Tùy ý の tố sốpの thứ の tố số は2pChưa mãn” とも ngôn い đổi えられる. したがって, 2017 năm 5 nguyệt hiện tại biết られている lớn nhất の tố số2^82589933− 1の thứ の tố số は2^82589934− 2Chưa mãn である.

Một phương で, lệ えばn²と(n+ 1)²の gian に tố số が tồn tại するかという vấn đề は chưa giải quyết である (ルジャンドル dư tưởng).

Tố số が toàn く vô い khu gian は, いくらでも trường いも の があることが biết られている.n≥ 2に đối して, liền 続するn− 1Cái の số tự nhiênn!+ 2,…,n!+nはそれぞれ, それらより tiểu さい2,…,nで cắt り thiết れる の で, どれも tố số でない.nは tùy ý にとれるから, tố số が toàn く vô いいくらでも trường い khu gian があると ngôn える. これは đồng loạt にすぎず, thật tế にはもっと tiểu さい sở で, tố số が toàn く vô い trường い khu gian が sinh じるようである. Lệ えば,114から126まで13Cái liền 続で hợp thành số である.

Tố số đếm hết

2015 nămに,ゴールドバッハ の dư tưởngKiểm chứng プロジェクトは4 × 10¹⁸Dưới の toàn て の tố số ( 9 kinh 5676 triệu 2609 trăm triệu0388 vạn 7607 cái, ước 10¹⁷Cái ) を tính toán したと báo cáo したが, kết quả は bảo tồn されていない. しかしながら,Tố số đếm hết quan sốを tính toán するには, thật tế に tố số を số えるより cao tốc な công thức が tồn tại する. こ の công thức を sử って,10²³Dưới に 19 cai 2532 kinh0391 triệu 6068 trăm triệu0396 vạn 8923 cái ( ước 2×10²¹Cái ) の tố số があると tính toán された.

また, đừng の tính toán によると,リーマン dư tưởngが thật であると仮 định した trường hợp,10²⁴Dưới に 184 cai 3559 kinh 9767 triệu 3492 trăm triệu0086 vạn 7866 cái ( ước 2×10²²Cái ) の tố số が tồn tại する.

Phân bố の coi 覚 hóa

• エラトステネス の si
• ウラム の xoắn ốc
• プリヒタ の tố số yên

Tố số に quan liền する chủ な tính chất

Tố số の nghịch số cùng

Tố số のNghịch sốの cùng は (Vô hạnĐại に )Phát tánする. こ の mệnh đề は『 tố số は vô số に tồn tại する』という mệnh đề を hàm んでいる ( hữu hạn cái ならばThâu thúc,すなわち phát tán しないはずである ) が, それだけではなく tố số の phân bố に quan してより nhiều く の tình báo を cung cấp している.

こ の kết quả は lúc ban đầu にレオンハルト・オイラーによりゼータ quan sốを nghiên cứu することでもたらされた. Dưới の chứng minh はポール・エルデシュによる, より trực tiếp で, また ngắn gọn な chứng minh である.Tố số が vô số に tồn tại することを chứng minh に dùng いないため, そ の chứng minh をも hàm んでいる.

エルデシュによる chứng minh

Tố số の nghịch số cùng は thâu thúc すると仮 định する.iPhiên mục の tố số をp_iで biểu すと,

$\sum _{i=N+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\cdots (1)$

を mãn たすNが tồn tại する.

nDưới の số tự nhiên の うち lớn nhất tố thừa tố がp_NDưới の も の からなる tập hợp をA_nとする. Tùy ý のk∈A_nに đối して,

k=u²v(vの các tố thừa tố の chỉ số は toàn て1)

と tỏ vẻ すると,vは cao 々2^NThông り,u²≤k≤nより

#A_n≤ 2^N√n…(2)

A_n^cの nguyên は,p_N+1Trở lên の tố thừa tố を thiếu なくとも1つ cầm つから, (1) より

$\#{A_{n}}^{c}\leq \sum _{i=N+1}^{\infty }\left[{\frac {n}{p_{i}}}\right]\leq n\sum _{i=N+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {n}{2}}$

#A_n^c=n− #A_nより

n/2< #A_n…(3)

(2), (3) よりn/2< 2^N√n,∴n< 2^2N+2.これはnの tùy ý tính に mâu thuẫn. (Chứng minh chung)

Song tử tố sốに hạn ると, nghịch số cùng はB₂= 1.902…に thâu thúc することが chứng minh されている (ブルン định số).

そ の hắn の tính chất

• (a,m) = 1の とき,Đẳng cấp dãy số:a,a+m,a+ 2m,…には tố số の hạng が vô số に hàm まれている. (ディリクレ の cấp số cộng định lý)

ここでm= 10とすると,Mười tiếnVật lưu niệm において một の vị が1, 3, 7, 9である tố số はどれも vô số にあることが phân かる.

• Tố sốpに đối して,(a,p) = 1 ⇒a^p−1≡ 1 (modp)(フェルマー の tiểu định lý)
• pが tố số⇔ (p− 1)! ≡ −1 (modp)(ウィルソン の định lý)
• Tố số の 2 thừa kém は5の bội số,3の bội số,8の bội số の いずれかである.

5 ( = 3²− 2²), 16 ( = 5²− 3²), 21 ( = 5²− 2²), 24 ( = 7²− 5²), 40 ( = 7²− 3²),…

• Số ước lượng の cùngが tố số になる số tự nhiên は,2と tố số かそ の mệt thừa số のBình phương sốである. しかし, tố số やそ の mệt thừa số の tự thừa であっても số ước lượng の cùng が tố số になるとは hạn らない. Số ước lượng の cùng が tố số になる số が vô hạn にあるかどうか の chứng minh はされていない (Sau thuật).
• Bảy tiếnVật lưu niệm において, 5 trở lên の tố số のCon số cănは, tất ず1か5となる.

Tố số sinh thành thức

Kỹ càng tỉ mỉ は “en:Formula for primes”を tham chiếu

nPhiên mục の tố số を cầu める tố số sinh thành thức は tồn tại しないと chủ trương されることがあるが, これは lầm りである (ウィルソン の định lýやミルズ の định sốを dùng いたも の が tồn tại する ).しかしながら, そ の ような thức でThật hiệu に tính toán khả năngなも の は biết られていない.

Dưới は1964 năm に Willans C.P. が báo cáo したウィルソン の định lý に cơ づく công thức で,nPhiên mục の tố sốp_nを cầu めることができる:

$p(n)=1+\textstyle \sum \limits _{m=1}^{2^{n}}\left\lfloor {\sqrt[{n}]{\dfrac {n}{\sum \limits _{k=1}^{m}\left\lfloor \cos ^{2}{\frac {\left(k-1\right)!+1}{k}}\pi \right\rfloor }}}\right\rfloor$

1変 số đa thức

オイラーの phát thấy した thức:

• f(n) =n²−n+ 41

は, số tự nhiênnがn< 41で toàn て tố số となる. これは, hưLần thứ hai thể$\mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})$のLoại sốが1であることと quan hệ している.Giống nhau に,0 ≤n<pで đa thứcf(n) =n²−n+pが tố số の trị を lấy るとき, tố sốpの trị を “オイラー の may mắn số”という. オイラー の may mắn số はp=2,3,5,11,17,41の 6つ の みであり, これらはすべてヘーグナー sốと đối ứng する.

ルビー の đa thức:

• f(n) = 36n²− 810n+ 2753

はn= 0,…, 44で toàn て tố số となる. Cùng dạng に

• 103n²− 3945n+ 34891(Ruby)
• 47n²− 1701n+ 10181(Fung)

はn= 0,…, 42で toàn て tố số となる.

• 36n²− 2358n+ 36809(Willium)

はn= 0,…, 44で tuyệt đối trị は toàn て tố số となる.

Cao い số lần で の đa thức はあまり biết られていないが

• n³− 34n²+ 381n− 1511(Goetgheluck)
• 2n³− 45n²+ 331n− 3191(Goetgheluck)

はn= 0,…, 25で tuyệt đối trị は toàn て tố số となる. ただしn³− 34n²+ 381n− 1511のn= 9, 12, 13で−107を lấy るなど, cùng じ tố số が gì độ も xuất hiện する trường hợp がある.

Nhiều 変 số đa thức

Nhiều 変 số の đa thức では, toàn て の tố số を sinh thành することができる thức がいくつか biết られている. Lệ えば,k+ 2が tố số となる tất yếu thập phần điều kiện は, thứ のディオファントス phương trìnhが số tự nhiên giải を cầm つことである:

wz + h + j − q= 0

(gk+ 2g+k+ 1)(h+j) +h−z= 0

16(k+ 1)³(k+ 2)(n+ 1)²+ 1 −f²= 0

2n+p+q+z−e= 0

e³(e+ 2)(a+ 1)²+ 1 −o²= 0

(a²− 1)y²+ 1 −x²= 0

16r²y⁴(a²− 1) + 1 −u²= 0

n+l+v−y= 0

(a²− 1)l²+ 1 −m²= 0

ai+k+ 1 −l−i= 0

[{a+u²(u²−a)}²− 1](n+ 4dy)²+ 1 − (x+cu)²= 0

p+l(a−n− 1) +b(2an+ 2a−n²− 2n− 2) −m= 0

q+y(a−p− 1) +s(2ap+ 2a−p²− 2p− 2) −x= 0

z+pl(a−p) +t(2ap−p²− 1) −pm= 0

Đặc thù な hình をした tố số

• メルセンヌ tố số:2ⁿ− 1(nは tố số,n= 2, 3, 5, 7, 13,…)
• フェルマー tố số:2²ⁿ+ 1
• オイラー tố số:n²+n+ 41
• Giai thừa tố số
  • n!+ 1Hình(n= 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154,…)
  • n!− 1Hình(n= 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166,…)
• Tố số giai thừa tố số:p# ± 1(pは tố số,p#はpのTố số giai thừa)
• レピュニットR₂,R₁₉,R₂₃,…(R_nは1がnCái 続く số, thông thường はSố đếmを10にとる )
• Song tử tố số( kém が2である2つ の tố số )
• いとこ tố số( kém が4である2つ の tố số )
• セクシー tố số( kém が6である2つ の tố số )
• Tam つ tử tố số( 3つ の tố số の tổ(p,p+ 2,p+ 6)または(p,p+ 4,p+ 6)((p,p+ 2,p+ 4) hình は(3,5,7)の み. )
• Bốn つ tử tố số(p,p+ 2,p+ 6,p+ 8が toàn て tố số )
• ソフィー・ジェルマン tố số(pと2p+ 1がともに tố số である khi のpの こと)
• An toàn tố số(pと2p+ 1がともに tố số であるとき の2p+ 1の こと)
• スーパー tố số( tố dãy số における tố số phiên mục の tố số )
• Thiết り xá て khả năng tố số( “Tố な tố số”. Cùng えられた số đếm において0を hàm まず, tả hữu một phương の đoan から thuận に số を lấy り trừ いた số がすべて tố số となる tố số )
• Trần Tố số(p+ 2がNửa tố sốまたはともに tố số )
• Chính tắc tố số(Yên のpPhân thểのLoại sốを cắt り thiết らない kỳ tố số )
• Phi chính tắc tố số ( yên のpPhân thể の loại số を cắt り thiết る kỳ tố số )
• フィボナッチ tố số(フィボナッチ sốの dãy số に hàm まれる tố số )
• ヴィーヘリッヒ tố số (2^p−1≡ 1 (modp²)を mãn たす tố sốp)
• グロタンディーク tố số ( 57 の ことでグロタンディークが diễn thuyết している tế に "Phân かりやすい lệ を thượng げてほしい" と ngôn われて hợp thành số である "57" を cử げてしまった )
• そ の hắn の tố số
  • n²+ 1の hình で biểu せる tố số:2,5,17,37,101,197,257,401,577,677,1297,…
  • n⁴+ 1の hình で biểu せる tố số:2,17,257,1297,65537,160001,…
  • n⁴+ (n+ 1)⁴の hình で biểu せる tố số:17,97,337,881,3697,…
  • ある số のSố ước lượng の cùngになる tố số:3,7,13,31,127,307,1093,…

Chưa giải quyết vấn đề

• Song tử tố sốの dư tưởng: Song tử tố số は vô số に tồn tại する, という dư tưởng.
• ゴールドバッハ の dư tưởng:6 trở lên の toàn て の số chẵn は 2 つ の kỳ tố số の cùng で biểu すことができる, という dư tưởng.
• Nhược いゴールドバッハ dư tưởng:7 trở lên の toàn て の số lẻ は 3 つ の tố số の cùng で biểu すことができる, という dư tưởng. ただしハラルド・ヘルフゴットによる chứng minh が2013 nămに phát biểu されている.
• ルジャンドル dư tưởng:Toàn て のnに đối し,n²と(n+ 1)²の gian に tố số が tồn tại するかという dư tưởng.
• Đã biết のフェルマー tố số(3,5,17,257,65537) bên ngoài に, フェルマー số にフェルマー tố số は tồn tại するか?
• メルセンヌ tố sốは vô số に tồn tại するか?
• ソフィー・ジェルマン tố số,An toàn tố sốは vô số に tồn tại するか?
• フィボナッチ sốLiệt には, tố số である hạng が vô số に hiện れるか? (フィボナッチ tố số)
• May mắn sốでも tố số でもあるような số は vô số に tồn tại するか?
• ハッピー tố sốは vô số に tồn tại するか?
• n²+ 1の hình の tố số は vô số に tồn tại するか? (ブニャコフスキー dư tưởng)
• Số ước lượng の cùngの liệt になる tố số は vô số に tồn tại するか?

Ứng dùng

Trường い gian,Số luận,そ の trung でもとりわけ tố số に quan する nghiên cứu は, そ の giới hạn bên ngoài で の ứng dùng の toàn くない thuần 粋 toán học の thấy bổn と thấy なされていた. Đặc に, イギリス の số luận nghiên cứu giả であるハーディは, tự thân の nghiên cứu が quân sự に gì の tầm quan trọng も cầm たないことを khen っていた. しかし, こ の vuông は1970 niên đại には phúc されてしまった. Tố số が công khai kiện ám hiệu の アルゴリズムに sử dụng できると quảng く biết られるようになったためである. Hiện tại では tố số はハッシュテーブルやNghĩ tựa loạn sốSinh thành にも dùng いられ, công học ứng dùng tới quan trọng độ の cao いも の となっている.

Công khai kiện ám hiệu

Kỹ càng tỉ mỉ は “Công khai kiện ám hiệu”を tham chiếu

Công khai kiện ám hiệu の アルゴリズムとして,RSA ám hiệuやディフィー・ヘルマン kiện cùng sở hữuといった, đại きな số のTố thừa tố phân giảiは khó khăn であるという tính chất に cơ sở を trí くも の がある. RSA ám hiệu は, 2つ の ( đại きな ) tố số の quải け tính は tương đối giản 単に ( hiệu suất に ) hành えるが, そ の tích を tố thừa tố phân giải して nguyên の 2つ の tố số を cầu めることは khó しいという sự thật に cơ づいている.

Cố định ギア tự 転 xe の タイヤ の thọ mệnh đối sách

Cố định ギアTự 転 xe のスプロケットやチェーンリング の xỉ số を tố số にすることでスキッドポイントと hô ばれる ma háo điểm を phân tán hóa させてタイヤ の thọ mệnh を hướng về phía trước させることができる. また, tự 転 xe や động cơ đốt trong quan など nhập lực に nhịp đập がある động lực の xỉ xe を tố số にすると ma háo điểm が phân tán され xỉ xe の thọ mệnh が hướng về phía trước する.

Thiên nhiên の tố số

Thiên nhiên に hiện れる tố số の đồng loạt として,Tố số ゼミと hô ばれるセミの một loại がいる.アメリカ hợp chúng quốcに phân bố するこ の セミ の thành trùng は, ある chu kỳ ごとに, 13 năm ないしは17 trong năm の chu kỳ で đại lượng phát sinh する. Thành trùng になった sau は, số chu gian だけを trên mặt đất で thành trùng として quá ごし giao phối と sản trứng を hành う. こ の セミが tố số chu kỳ で phát sinh する lý do として, ký sinh trùng や kẻ vồ mồi に đối kháng するため の tiến hóa であるという nói や gần duyên loại と の giao tạp を tránh けるためであるという nói がある. つまり, もしこ の セミが12 năm の phát sinh chu kỳ を cầm っていた trường hợp, 12 の số ước lượng である2, 3, 4, 6 năm の thọ mệnh を cầm つ kẻ vồ mồi と đồng thời に phát sinh してしまうことになり, vồ mồi đối tượng にされやすくなる. また, địa lý に gần い nơi で12 năm chu kỳ と15 năm chu kỳ の セミが tồn tại した trường hợp, 60 năm ごとに2 loại は đồng thời に phát sinh し, giao tạp してしまう khả năng tính がある. すると, tạp loại は phát sinh chu kỳ がずれてしまい, cùng loại の セミと の giao phối の cơ hội が thất われる. Tố số の chu kỳ を cầm つも の は giao tạp が khởi こりにくく, đào thải されにくいと khảo えられる.

また,ゼータ quan sốThượng の 0 điểm の phân bố の số thức が, hạt nhân nguyên tử の エネルギー khoảng cách を biểu す thức と nhất trí することを kỳ し, tố số と hạch vật lý hiện tượng と の quan liền tính が kỳ xúi されている.

Kỹ càng tỉ mỉ は “リーマン dư tưởng”を tham chiếu

コンピュータゲーム

パナソニック kabushiki gaishaが2011 năm にリリースしたiPadDùng アプリケーション “Panasonic Prime Smash!” は không trung に đánh ち thượng げられたボールに thư かれた con số が tố số であればタップして đến điểm, hợp thành số であればスワイプすることで cắt り tính し, tố số になったらタップして đến điểm にするゲームである.Đệ 15 hồiVăn hóa sảnh メディア vân thuật tếエンターテインメント bộ môn の thẩm tra ủy ban đề cử tác phẩm に tuyển ばれ,Đệ 6 hồi xí nghiệp ウェブグランプリ スチューデント bộ môn đặc biệt thưởng を được thưởng した.

2016 năm にイギリス の toán học giả クリスチャン・ローソン=パーフェクトが công khai した “これは tố số ですか? (Is this prime?)” は, hình ảnh に tỏ vẻ される con số を tố số と hợp thành số に sĩ phân けるゲームで, 2021 năm 7 nguyệt にプレイ hồi số が300 vạn hồi を đột phá した.こ の ゲーム の プログラムにはミラー–ラビン tố số phán định phápが tổ み込まれている.

Liền 続 tố số

Liền 続 tố số cùng

Liền 続 số	Số	Tham chiếu	Hàm まれる tố dãy số
2	5,8,12,18,24,30,36,42,52,60,68,78,84,…	A001043
3	10,15,23,31,41,49,59,71,83,97,109,…	A034961	A034962
4	17,26,36,48,60,72,88,102,120,138,152,…	A034963
5	28,39,53,67,83,101,119,139,161,181,…	A034964	A034965
6	41,56,72,90,112,132,156,180,204,228,…	A127333
7	58,75,95,119,143,169,197,223,251,281,…	A127334	A082246
8	77,98,124,150,180,210,240,270,304,…	A127335
9	100,127,155,187,221,253,287,323,363,…	A127336	A082251
10	129,158,192,228,264,300,340,382,424,…	A127337
11	160,195,233,271,311,353,399,443,491,…	A127338	A127340
12	197,236,276,318,364,412,460,510,562,…	A127339
13	238,279,323,371,423,473,527,…		A127341

Các liền 続 tố số cùng の lúc ban đầu の số については “[[オンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA007504]]” を, こ の số が tố số になる số については “[[オンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA013918]]” を tham chiếu

Liền 続 tố số tích

Liền 続 số	Số	Tham chiếu
2	6,15,35,77,143,221,323,437,667,899,1147, 1517, 1763,…	A006094
3	30,105,385,1001,2431, 4199, 7429, 12673, 20677, 33263, 47027,…	A046301
4	210,1155, 5005, 17017, 46189, 96577, 215441, 392863, 765049,…	A046302
5	2310,15015, 85085, 323323, 1062347, 2800733,…	A046303
6	30030, 255255, 1616615, 7436429, 30808063, 86822723,…	A046324
7	510510, 4849845,…	A046325
8	9699690, 111546435,…	A046326
9	223092870, 3234846615,…	A046327
10	6469693230, 100280245065,…	A127342
11	200560490130, 3710369067405,…	A127343
12	7420738134810, 152125131763605,…	A127344

Các liền 続 tố số tích の lúc ban đầu の số については “Tố số giai thừa”を tham chiếu

Tố số sa mạc

Số tự nhiên で tố số でないも の が liền 続している khu gian を “Tố số sa mạc”という. Lệ えば{24, 25, 26, 27, 28}は “Trường さ 5 の tố số sa mạc” である. Tố số sa mạc を hiệp む2 cái の tố số は3Trở lên であるため, cộng に số lẻ である. こ の ことから, tố số sa mạc の trường さは tất ず số lẻ である. いくらでも trường い tố số sa mạc が cấu thành できる (# phân bốを tham chiếu ).

Sơ めから60 cái の tố số の khoảng cách は

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2,…

Kỹ càng tỉ mỉ は “Tố số の khoảng cách”を tham chiếu

Tham khảo văn hiến

• Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2010),Proofs from THE BOOK(4th ed.), Springer-Verlag,ISBN978-3-642-00856-6,https:// springer /jp/book/9783642008566
  • M・アイグナー, G・M・ツィーグラー,Cua giang hạnh bác訳『Thiên thư の chứng minh』 ( súc xoát bản ) hoàn thiện xuất bản, 2012 năm 9 nguyệt 1 ngày.ISBN978-4-621-06535-8.https://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621065358.html.
• Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012).“The history of the primality of one: a selection of sources”.Journal of Integer Sequences15(9): Article 12.9.8.MR3005523.https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html.
• Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012).“What is the smallest prime?”.Journal of Integer Sequences15(9): Article 12.9.7.MR3005530.https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.pdf.
• Conway, John Horton;Guy, Richard K.(1996),The Book of Numbers,New York: Copernicus,ISBN978-0-387-97993-9
  • J・H・コンウェイ, R・K・ガイ,Căn thượng sinh cũng訳『Số の bổn』Hoàn thiện xuất bản,2012 năm 1 nguyệt.ISBN978-4-621-06207-4.https://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621062074.html.
• Thật thật の みを ghi lại する sẽ 『Tố số biểu 150000 cái』Ám hắc thông tín đoàn,2011 năm 8 nguyệt.ISBN978-4-87310-156-9.http://ankokudan.org/d.htm?detail156-detailread-j.html.
• Manfred Robert Schroeder,Bình dã hạo quá lang・Dã thôn hiếu đứcCộng 訳『Khoa học と thông tín における số luận ám hiệu, vật lý học, ディジタル tình báo, tính toán pháp, chính mình tương tự tính を hàm む』 〈 thượng 〉,パスカル nghiên cứu sẽ( xuất bản )コロナ xã( phát bán ), 1995 năm 2 nguyệt 1 ngày, 33-68 trang.ISBN978-4-339-08216-6.https:// coronasha.co.jp/np/isbn/9784339082166/.
• Derbyshire, John (2003),Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics,Washington, D.C.: Joseph Henry Press,ISBN978-0-309-08549-6,OCLC249210614
  • ジョン・ダービーシャー,Tùng phổ tuấn phụ訳『Tố số に bằng かれた người たち リーマン dư tưởng へ の chọn chiến』Ngày kinh BP xã( xuất bản )Ngày kinh BP xuất bản センター( phát bán ), 2004 năm 8 nguyệt 30 ngày.ISBN978-4-8222-8204-2.https://shop.nikkeibp.co.jp/front/commodity/0000/P82040/.
• Bổn kiều dương một『Phân tích số nguyên luận』 〈1〉 tố số phân bố luận ( đệ 2 xoát ),Triều thương hiệu sách〈 triều thương toán học đại hệ 〉, 2012 năm ( nguyên tác 2009 năm 11 nguyệt 1 ngày ).ISBN978-4-254-11821-6.https:// asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11821-6/.- đệ 2 xoát 2012: Thêm bút hàm む.
• Bổn kiều dương một “Tố số の cánh に thừa って”( PDF ) 『 toán học thông tín 』 đệ 10 quyển đệ 1 hào, Đông Kinh: Nhật Bản toán học sẽ, 2005 năm 5 nguyệt, 4-19 trang,CRID1520572358126328192,ISSN13421387,2024 năm 3 nguyệt 14 ngàyDuyệt lãm.
• ユークリッド,Trung thôn hạnh Tứ Lang・Chùa phản anh hiếu・Y đông tuấn quá lang・Trì điền mỹ huệ訳『ユークリッド nguyên luận』 ( thêm bản )Cộng lập xuất bản,2011 năm 5 nguyệt 25 ngày.ISBN978-4-320-01965-2.https:// kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019652.
• Cát thôn nhân『17 năm と13 năm だけ đại phát sinh? Tố số ゼミ の bí mật に bách る!』ソフトバンククリエイティブ〈サイエンス・アイ sách mới 072〉, 2008 năm 7 nguyệt 16 ngày.ISBN978-4-7973-4258-1.https:// sbcr.jp/products/4797342581.html.
• Riesel, Hans (1994),Prime numbers and computer methods for factorization,Basel, Switzerland: Birkhäuser,ISBN978-0-8176-3743-9
• Ribenboim, Paulo (2004),The Little Book of Bigger Primes(2nd ed.), Springer-Verlag,ISBN978-0-387-20169-6,https:// springer /jp/book/9780387201696
  • Paulo Ribenboim,Ngô hương hiếu coi訳『Tố số の thế giới ―そ の thăm dò と phát thấy ―』 ( đệ 2 bản )Cộng lập xuất bản,2001 năm 10 nguyệt 20 ngày.ISBN978-4-320-01684-2.https:// kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320016842.
• Sandifer, C. Edward (2007).How Euler Did It.MAA Spectrum. Mathematical Association of America.ISBN978-0-88385-563-8
• Sierpiński, Wacław(1988).Elementary Theory of Numbers.North-Holland Mathematical Library.31(2nd ed.). Elsevier.ISBN978-0-08-096019-7
• Tarán, Leonardo (1981).Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary.Philosophia Antiqua: A Series of Monographs on Ancient Philosophy.39.Brill. pp. 35-38.ISBN978-90-04-06505-5.https://books.google /books?id=cUPXqSb7V1wC&pg=PA35

Quan liền hạng mục

• Trái pháp luật tố số
• エマープ
• エラトステネス の si
• Thật lớn な tố số の một lãm
• コープランド-エルデシュ định số
• Tố số の một lãm
• ピタゴラス tố số
• プライム ( tiểu hoặc tinh )-Tiểu hoặc tinh phiên hiệu7919が1000 phiên mục の tố số であることに nhân む tiểu hoặc tinh.
• Nửa tố số
• Tiết số
• Tố số đại phú hào

Phần ngoài リンク

• The Prime Page
• Weisstein, Eric W."Prime Number".mathworld.wolfram( tiếng Anh ).
• prime numberinnLab
• prime-PlanetMath.( tiếng Anh )
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001),“Prime number”,Encyclopedia of Mathematics,Springer,ISBN978-1-55608-010-4,https:// encyclope điểu fmath.org/index.php?title=Prime_number