Tố số
Tố số( そすう,Anh:primeあるいはprime number) とは,2Trở lên のSố tự nhiênで, chính のSố ước lượngが1と tự đánh giá tự thân の みであるも の の ことである. Chính の số ước lượng の cái số が2である số tự nhiên と ngôn い đổi えることもできる.1より đại きい số tự nhiên で tố số でないも の はHợp thành sốと hô ばれる.
Nhật Bản では,Anh:prime numberの Nhật Bản ngữ へ の 訳 ngữ は “Tố số” とすることが1881 năm(Minh trị14 năm ) に quyết まった[1][2].
Giống nhau には, tố số はĐại số thểの số nguyên hoàn のTố nguyênとして định nghĩa される ( そこではPhản sốなど のĐồng bạnなも の も tố số に hàm まれる ). こ の ため, có lýSố nguyênHoànで の tố số はCó lý tố số( ゆうりそすう,Anh:rational prime) と hô ばれることもある.
Nhỏ nhất の tố số は2である. Tố số は vô số に tồn tại する. したがって, tố số からなる vô hạnDãy sốが đến られる[3].
Tố số が vô số に tồn tại することは,Kỷ nguyên trước 3 thế kỷKhoảnh のエウクレイデス( dưới ユークリッド ) の thư 『Nguyên luận』で đã に chứng minh されていた. そこで の chứng minh は, đi ngược pháp により thứ の ようになる:
- 『 tố số toàn thể は hữu hạn cái と仮 định して, toàn て の tố số のTổng thừaに1を đủ した số をNとする. Nはど の tố số で cắt っても dư りが1となる. Một phương, Nはど の tố số よりも đại きい の で, Nは tố số ではない. すなわち, Nはある tố số で cắt り thiết れる. これは, Nを tố số で cắt った dư りが1であることに mâu thuẫn する. ゆえに, tố số は vô số にある. 』
Số tự nhiênあるいはThật sốの trung で の tố số の phân bố の dạng tử は độ cao に phi hiển nhiên で,リーマン dư tưởngなど の hiện đại toán học の quan trọng な vấn đề と の hứng thú thâm い kết び phó きが phát thấy されている.
Phân tán コンピューティング・プロジェクトGIMPSにより, sử thượng lớn nhất の tố số の tìm tòi が hành われている. Hiện tại biết られている lớn nhất の tố số は,2018 năm12 nguyệt 7 ngàyに phát thấy された, それまでに phân かっている trung で51 phiên mục のメルセンヌ tố số282589933− 1であり,Thập phânで vật lưu niệm したとき の hằng số は2486 vạn 2048 hằng に cập ぶ[4].
Định nghĩa と lệ
[ソースを biên tập]100Dưới の tố số một lãm | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
23 | 29 | ||||||||
31 | 37 | ||||||||
41 | 43 | 47 | |||||||
53 | 59 | ||||||||
61 | 67 | ||||||||
71 | 73 | 79 | |||||||
83 | 89 | ||||||||
97 |
Tố số とは, hiển nhiên な chính の thừa tố (1と tự đánh giá tự thân ) bên ngoài に thừa tố を cầm たない số tự nhiên であり,1でない số の ことである. つまり, chính の thừa tố の cái số が 2 である số tự nhiên である.
Lệ えば,2は, chính の thừa tố が1, 2の みな の で tố số である.
Tố số でない2Trở lên の số tự nhiên をHợp thành sốと hô ぶ.
Hợp thành số であること の phán định pháp として, たとえば hạ nhớ の 4 điều kiện がある:
- 4Trở lên のSố chẵn.( 2で cắt り thiết れる )
- 10Trở lên で cuối cùng が5か0の số. ( 5で cắt り thiết れる )
- 6Trở lên で,Con số cănが3, 6, 9となる số ( 3で cắt り thiết れる ). ( 20 trở lên では,21,27,33,39,51,57,63,69,81,87,93,99,…)
- Một の vị から thấy て số lẻ phiên mục の vị の số の cùng と, số chẵn phiên mục の vị の số の cùng と の kém が11 の bội số であれば, 11 の bội số である ( 11で cắt り thiết れる ). ( 100 trở lên では,110,121,132,143,154,165,176,187,198,209,…)[5]
Nghịch に, こ の 4 điều kiện を, toàn て mãn たさない số でも tố số とは hạn らない. Lệ えば,91は, chính の thừa tố が1, 7, 13, 91な の で tố số ではない.
また,2, 3Bên ngoài の tố số は, nhất も gần い6 の bội số と の kém が1か−1である.
2でない tố số はSố lẻであり,Kỳ tố sốと hô ぶ.
100 dưới の tố số は25 cái tồn tại し, tiểu さい thuận に thứ の thông りである[3].
Tố thừa tố phân giải の khả năng tính ・ một ý tính
[ソースを biên tập]“2Trở lên の số tự nhiên は, tố số のTíchで biểu せる. そ の biểu し phương は tích の trình tự を trừ けば một ý である” という,Tố thừa tố phân giảiの khả năng tính ・ một ý tính が thành lập する (Số học の cơ bản định lý). Tố thừa tố phân giải の khả năng tính から, tố số toàn thể の thành す tập hợp は, 2 trở lên の số tự nhiên toàn thể の thành す tập hợp とそ の thừa pháp からなるNửa đànの nhỏ nhất[Chú 釈 1]のSinh thànhHệ である. Ngôn い đổi えれば, これは “Tố số は số tự nhiên の cấu thành yếu tố である” などとなる[6].
Tố số の định nghĩa である “1と tự đánh giá tự thân でしか cắt り thiết れない” という điều kiện ( đã ước tính ) は,Trừu tượng đại sốにおいて,HoànのĐã ước nguyênの khái niệm ( một bộ の hoàn ではTố nguyênの khái niệm と nhất trí する ) に trừu tượng hóa され giống nhau に lấy り tráp われる. Giống nhau の hoàn で, tùy ý の nguyên は đã ước nguyên の tích に phân giải され, しかもそ の tỏ vẻ は một ý であるという tính chất は hi hữu である. Lệ えばネーター hoànでは, tùy ý の nguyên は đã ước nguyên phân giải が khả năng であるが, そ の tỏ vẻ が một ý ではないネーター hoàn の lệ はいくつも biết られている. Một ý に đã ước nguyên phân giải ができる hoàn はMột ý phân giải hoànと hô ばれ, đã ước nguyên phân giải は tố nguyên phân giải ともなる.
1 は tố số か
[ソースを biên tập]Hiện đại の định nghĩa では1は tố số ではない. Lịch sử を thông しても1を tố số に hàm めない toán học giả が đa số phái であったが, 20 thế kỷ ngày đầu のHoàn luậnの thành thục まで định nghĩa は thống nhất されていなかった[7].プラトンやアリストテレスを hàm むほとんど のCổ đại ギリシアの triết học giả は1を số とさえ thấy なさず[8][9],Tố số tính の khảo sát の đối tượng としなかった.スペウシッポスは1を số と thấy なし tố số としたが, lúc ấy としては dị đoan であった[10].こ の thời đại には tố số を số lẻ の một bộ phận と khảo え,2を tố số に hàm めない toán học giả もいた ( ただしユークリッドをはじめとする đa số phái は2を tố số に hàm めている ).アラビアではおおむね cổ đại ギリシアに phỏng って1は số でないとされた[8].Trung thếからルネサンスにかけて,1が số として tráp われるようになり,1を lúc ban đầu の tố số とする toán học giả も hiện れた[11].18 thế kỷ nửa ば,ゴールドバッハはオイラーに uyển てた thư từ で1を tố số に cử げている ( ただしオイラー tự thân は1を tố số とは khảo えていなかった )[12].19 thế kỷ にも số ít phái だが1を tố số に hàm める toán học giả はかなりいた[7].ハーディの 『A Course of Pure Mathematics』では, 1933 năm に xuất bản された đệ 6 bản までは1を tố số に hàm めているが, 1938 năm の đệ 7 bản から2を nhỏ nhất の tố số とするよう đặt lại されている.レーマーの1を hàm む tố số biểu は1956 năm まで xuất bản された[13].ルベーグは1を tố số だと khảo えた cuối cùng の chuyên môn な toán học giả だと ngôn われている[14].
1も tố số と định nghĩa すると, tố số に quan する nhiều く の định lý で, もと の “Tố số” を “1Bên ngoài の tố số” と hô び thế える ghi lại の tu chỉnh が tất yếu になる. Lệ えば6の tố thừa tố phân giải は, ( tích の trình tự を trừ いても )
- 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 12× 2 × 3 = 13× 2 × 3 =…
と vô số に cùng えられることになり, một ý tính は “1を hàm む tố số” については thành り lập たない[7].エラトステネス の siにおいては,1も tố số とすると,1の bội số ( すなわち hắn の すべて の số ) を đánh tan し, tàn った duy nhất の số1を xuất lực する の で cơ năng しない[15].さらに,1Bên ngoài の tố số で thành り lập つ dạng 々な tính chất がある ( lệ えば, số tự nhiên とそれに đối ứng するオイラー の φ quan sốやSố ước lượng quan sốの trị と の quan hệ など )[16][17][18].20 thế kỷ ngày đầu までに1は tố số ではなく “単 số”という đặc biệt な phân loại に thuộc するという vuông が giống nhau になった[7].
Lịch sử
[ソースを biên tập]![]() | こ の tiết のThêm bútが vọng まれています. |
Kỷ nguyên trước 1600 nămKhoảnh のエジプト đệ 2 trung gian kỳにおいて, tố số の sơ đẳng な tính chất が bộ phận に biết られていたことが,リンド toán học パピルスなど の tư liệu によって kỳ xúi されている. Lệ えば điểm をエジプト thức điểmで biểu す trường hợp, tố số と hợp thành số の trường hợp で dị なる tính toán をしなければならないからである. しかし, nhớ lục に tàn っている hạn りにおいて, minh xác に tố số を nghiên cứu đối tượng とした の は cổ đại ギリシア người が lúc ban đầu である. Kỷ nguyên trước ước 300 năm khoảnh に thư かれたユークリッド の 『Nguyên luận』にはTố số が vô số に tồn tại することや, そ の hắn の tố số の tính chất が chứng minh されている. また, ユークリッドはメルセンヌ tố sốからHoàn toàn sốを cấu thành する phương pháp を kỳ している. ギリシア の toán học giả,エラトステネスに nhân んで danh phó けられたエラトステネス の si は, tố số を liệt cử するため の tính toán phương pháp である.
Cổ đại ギリシア thời đại の sau,17 thế kỷになるまで tố số の nghiên cứu にはそれほど の tiến triển が vô かった.1640 nămに,ピエール・ド・フェルマーはフェルマー の tiểu định lý を ( chưa chứng minh ではあるが ) thuật べた. こ の định lý は sau にライプニッツとオイラーによって chứng minh された.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Ulam_1.png/220px-Ulam_1.png)
Tố số が mật độ cao に tập まった đối giác tuyến, trục hoành, đường vuông góc が thấy て lấy れる. Tố số の phân bố が cực めて nan giải であるために, こ の tố số の パターンが kỳ す sự thật については chưa だに minh らかにされていない.
Tố số が vô số に tồn tại することは đã にCổ đại ギリシアThời đại から biết られていて,ユークリッドが bỉ の làm 『Nguyên luận』[19]の trung で chứng minh している.
ユークリッドによる chứng minh
[ソースを biên tập]- 『 nguyên luận 』 đệ 9 quyển mệnh đề 20[19]
- Tố số の cái số はいかなる định められた tố số の cái số よりも nhiều い.
- Định められた cái số の tố số をp1,p2,…,pnとせよ.p1,p2,…,pnより nhiều い cái số の tố số があると chủ trương する.
- 『 nguyên luận 』による chứng minh[Chú 釈 2]
- Định められた tố số の cái số がnCái であるとき,nCái の tố số を tiểu さい thuận phiên に cũng べてiPhiên mục の tố số をpiとする.
- 1 <p1<p2<… <pn.
- こ の とき,nCái の tố số をすべて quải け hợp わせた số に1を thêm えた số をqとすると,
- q=p1×p2×… ×pn+ 1.
- qは hữu hạn cái の số tự nhiên の tích に1を thêm えた số な の で1より đại きい số tự nhiên である. ゆえに,qは tố số または hợp thành số の どちらかである.
- qが tố số の とき,qは lớn nhất の tố sốpnより đại きい tố số になる の で, định められた cái số の tố số よりも nhiều く の tố số が tồn tại する.
- qが hợp thành số の とき,qを cắt り thiết る tố số が tồn tại する. Một phương,qの định nghĩa より, すべて のpiで cắt った dư りは1になる の で,qはすべて のpiで cắt り thiết れない. したがって, すべて のpiBên ngoài に tố số が tồn tại する. すなわち, định められた cái số の tố số よりも nhiều く の tố số が tồn tại する. (Chứng minh chung)
- 1878 năm,クンマーはq=p1×p2×… ×pn+ 1の đại わりにq=p1×p2×… ×pn− 1を khảo えても cùng dạng に chứng minh できることを kỳ した.
- Lệ
- Số tự nhiên の hữu hạn tập hợpAの toàn て の yếu tố を quải け hợp わせた số tự nhiên をf(A)とする.
- Định められた cái số の tố số からなる tập hợp をA3= {2, 3, 5}とするとき,f(A3) = 2 × 3 × 5 + 1 = 31は tố số な の で, tân しい tố số31が đến られる. したがって, định められた cái số より nhiều く の tố số が tồn tại する.
- Định められた cái số の tố số からなる tập hợp をA4= {2, 3, 5, 31}とするとき,f(A4) = 2 × 3 × 5 × 31 + 1 = 931 = 7 × 7 × 19な の で, tân しい tố số7と19が đến られる. したがって, định められた cái số より nhiều く の tố số が tồn tại する.
Hắn の chứng minh
[ソースを biên tập]Thượng nhớ の ユークリッドによる chứng minh bên ngoài にも, tố số が vô số に tồn tại すること の chứng minh phương pháp が tồn tại する.
- Tố số の nghịch số の cùng が phát tán することを lợi dụng した chứng minh[Chú 釈 3](# tố số の nghịch số cùngを tham chiếu )
- 2つ の dị なるフェルマー sốが lẫn nhau いに tố であることを lợi dụng した chứng minh[Chú 釈 4]
- Số nguyên の tập hợp に,Đẳng cấp dãy sốの tộc を khai cơ とするVị tươngを nhập れる chứng minh[Chú 釈 5]
- n≥ 2に đối して,n(n+ 1)は thiếu なくとも tương dị なる2 cái の tố thừa tố を cầm つことを lợi dụng した chứng minh[Chú 釈 6]( サイダックによる )
Tố số phán định と tố thừa tố phân giải
[ソースを biên tập]Cùng えられた số tự nhiênnが tố số であるか hợp thành số であるかを phán định するため のアルゴリズムが đa số khảo án されている. Nhất も mộc mạc な phương pháp は,2から√nDưới の tố số まで thuận phiên に cắt っていく,Thí し cắt り phápと hô ばれる phương pháp である.nが√nDưới の toàn て の tố số で cắt り thiết れなければnは tố số である. Thí し cắt り pháp は,nが đại きくなるに従って, cấp tốc に tốc độ が thấp hèn するため, thật dùng ではない. Tùy ý の số に áp dụng できる thí し cắt り pháp よりも cao tốc なアルゴリズムが khảo án されている. また, đặc thù な hình をした số に đối してはより cao tốc なアルゴリズムも tồn tại する. Tố số phán định は, cùng えられた số が tố số であるか không かだけを phán định するも の であるが, tố thừa tố phân giải とはより cường く, cùng えられた số の toàn て の tố thừa tố を liệt cử することであるとも ngôn える.
Thượng nhớ の thông り2を trừ く số chẵn, 2 hằng trở lên で cuối cùng が5 の số,Con số cùngが3 の bội số となる số はHợp thành sốと phân かる の でそれを tỉnh き, 7 trở lên の tố số を thuận phiên に cắt る phương pháp がある.
Phân bố
[ソースを biên tập]ある số tự nhiên までにど の くらい の tố số がある の かという vấn đề は, cơ bản だが phi thường に khó しい vấn đề である. これに quan して, thứ のTố số định lýは nổi danh である. こ の định lý は1896 nămに,アダマールとド・ラ・ヴァレ・プサンによって độc lập に chứng minh された.
xDưới の tố số の cái số をπ(x)(Tố số đếm hết quan số) とすると,
が thành り lập つ. こ の định lý は,1792 nămに15 tuế のカール・フリードリヒ・ガウスによって dư tưởng されていた ( ガウスが lúc ban đầu に dư tưởng した の かどうかは không rõ ). こ の định lý の chứng minh は,ゼータ quan sốと phục tố quan số luận を dùng いる độ cao なも の であったが,1949 nămにアトル・セルバーグとポール・エルデシュは độc lập に sơ đẳng な chứng minh を cùng えた. こ の bình 価 thức はリーマン dư tưởng を仮 định すると trên diện rộng に độ chặt chẽ をよくすることができる.
Thứ の ような định lý もある.
- “Tùy ý の số tự nhiênnに đối して,n<p≤ 2nを mãn たす tố sốpが tồn tại する” (ベルトラン の 仮 nói,チェビシェフの định lý )
こ の chủ trương は “Tùy ý の tố sốpの thứ の tố số は2pChưa mãn” とも ngôn い đổi えられる. したがって, 2017 năm 5 nguyệt hiện tại biết られている lớn nhất の tố số282589933− 1の thứ の tố số は282589934− 2Chưa mãn である.
Một phương で, lệ えばn2と(n+ 1)2の gian に tố số が tồn tại するかという vấn đề は chưa giải quyết である (ルジャンドル dư tưởng).
Tố số が toàn く vô い khu gian は, いくらでも trường いも の があることが biết られている.n≥ 2に đối して, liền 続するn− 1Cái の số tự nhiênn!+ 2,…,n!+nはそれぞれ, それらより tiểu さい2,…,nで cắt り thiết れる の で, どれも tố số でない.nは tùy ý にとれるから, tố số が toàn く vô いいくらでも trường い khu gian があると ngôn える. これは đồng loạt にすぎず, thật tế にはもっと tiểu さい sở で, tố số が toàn く vô い trường い khu gian が sinh じるようである. Lệ えば,114から126まで13Cái liền 続で hợp thành số である[23].
Tố số đếm hết
[ソースを biên tập]2015 nămに,ゴールドバッハ の dư tưởngKiểm chứng プロジェクトは4 × 1018Dưới の toàn て の tố số ( 9 kinh 5676 triệu 2609 trăm triệu 388 vạn 7607 cái, ước 1017Cái ) を tính toán したと báo cáo した[24]が, kết quả は bảo tồn されていない. しかしながら,Tố số đếm hết quan sốを tính toán するには, thật tế に tố số を số えるより cao tốc な công thức が tồn tại する. こ の công thức を sử って,1023Dưới に 19 cai 2532 kinh 391 triệu 6068 trăm triệu 396 vạn 8923 cái ( ước 2×1021Cái ) の tố số があると tính toán された.
また, đừng の tính toán によると,リーマン dư tưởngが thật であると仮 định した trường hợp,1024Dưới に 184 cai 3559 kinh 9767 triệu 3492 trăm triệu 86 vạn 7866 cái ( ước 2×1022Cái ) の tố số が tồn tại する[25].
Phân bố の coi 覚 hóa
[ソースを biên tập]- エラトステネス の si
- ウラム の xoắn ốc
- プリヒタ の tố số yên
Tố số に quan liền する chủ な tính chất
[ソースを biên tập]Tố số の nghịch số cùng
[ソースを biên tập]Tố số のNghịch sốの cùng は (Vô hạnĐại に )Phát tánする. こ の mệnh đề は『 tố số は vô số に tồn tại する』という mệnh đề を hàm んでいる ( hữu hạn cái ならばThâu thúc,すなわち phát tán しないはずである ) が, それだけではなく tố số の phân bố に quan してより nhiều く の tình báo を cung cấp している.
こ の kết quả は lúc ban đầu にレオンハルト・オイラーによりゼータ quan sốを nghiên cứu することでもたらされた. Dưới の chứng minh はポール・エルデシュによる, より trực tiếp で, また ngắn gọn な chứng minh である[Chú 釈 7].Tố số が vô số に tồn tại することを chứng minh に dùng いないため, そ の chứng minh をも hàm んでいる.
- エルデシュによる chứng minh
Tố số の nghịch số cùng は thâu thúc すると仮 định する.iPhiên mục の tố số をpiで biểu すと,
を mãn たすNが tồn tại する.
nDưới の số tự nhiên の うち lớn nhất tố thừa tố がpNDưới の も の からなる tập hợp をAnとする. Tùy ý のk∈Anに đối して,
- k=u2v(vの các tố thừa tố の chỉ số は toàn て1)
と tỏ vẻ すると,vは cao 々2NThông り,u2≤k≤nより
- #An≤ 2N√n…(2)
Ancの nguyên は,pN+1Trở lên の tố thừa tố を thiếu なくとも1つ cầm つから, (1) より
#Anc=n− #Anより
- n/2< #An…(3)
(2), (3) よりn/2< 2N√n,∴n< 22N+2.これはnの tùy ý tính に mâu thuẫn. (Chứng minh chung)
Song tử tố sốに hạn ると, nghịch số cùng はB2= 1.902…に thâu thúc することが chứng minh されている (ブルン định số).
そ の hắn の tính chất
[ソースを biên tập]- (a,m) = 1の とき,Đẳng cấp dãy số:a,a+m,a+ 2m,…には tố số の hạng が vô số に hàm まれている. (ディリクレ の cấp số cộng định lý)
- ここでm= 10とすると,Mười tiếnVật lưu niệm において một の vị が1, 3, 7, 9である tố số はどれも vô số にあることが phân かる.
- Tố sốpに đối して,(a,p) = 1 ⇒ap−1≡ 1 (modp)(フェルマー の tiểu định lý)
- pが tố số⇔ (p− 1)! ≡ −1 (modp)(ウィルソン の định lý)
- Tố số の 2 thừa kém は5の bội số,3の bội số,8の bội số の いずれかである.
- 5 ( = 32− 22), 16 ( = 52− 32), 21 ( = 52− 22), 24 ( = 72− 52), 40 ( = 72− 32),…
- Số ước lượng の cùngが tố số になる số tự nhiên は,2と tố số かそ の mệt thừa số のBình phương sốである. しかし, tố số やそ の mệt thừa số の tự thừa であっても số ước lượng の cùng が tố số になるとは hạn らない. Số ước lượng の cùng が tố số になる số が vô hạn にあるかどうか の chứng minh はされていない (Sau thuật).
- Bảy tiếnVật lưu niệm において, 5 trở lên の tố số のCon số cănは, tất ず1か5となる.
Tố số sinh thành thức
[ソースを biên tập]nPhiên mục の tố số を cầu める tố số sinh thành thức は tồn tại しないと chủ trương されることがあるが, これは lầm りである (ウィルソン の định lýやミルズ の định sốを dùng いたも の が tồn tại する )[26].しかしながら, そ の ような thức でThật hiệu に tính toán khả năngなも の は biết られていない.
Dưới は1964 năm に Willans C.P. が báo cáo したウィルソン の định lý に cơ づく công thức で,nPhiên mục の tố sốpnを cầu めることができる:
1変 số đa thức
[ソースを biên tập]オイラーの phát thấy した thức:
- f(n) =n2−n+ 41
は, số tự nhiênnがn< 41で toàn て tố số となる. これは, hưLần thứ hai thểのLoại sốが1であることと quan hệ している[28][29].Giống nhau に,0 ≤n<pで đa thứcf(n) =n2−n+pが tố số の trị を lấy るとき, tố sốpの trị を “オイラー の may mắn số”[30]という. オイラー の may mắn số はp=2,3,5,11,17,41の 6つ の みであり, これらはすべてヘーグナー sốと đối ứng する.
ルビー の đa thức:
- f(n) = 36n2− 810n+ 2753
はn= 0,…, 44で toàn て tố số となる. Cùng dạng に
- 103n2− 3945n+ 34891(Ruby)
- 47n2− 1701n+ 10181(Fung)
はn= 0,…, 42で toàn て tố số となる.
- 36n2− 2358n+ 36809(Willium)
はn= 0,…, 44で tuyệt đối trị は toàn て tố số となる.
Cao い số lần で の đa thức はあまり biết られていないが
- n3− 34n2+ 381n− 1511(Goetgheluck)
- 2n3− 45n2+ 331n− 3191(Goetgheluck)
はn= 0,…, 25で tuyệt đối trị は toàn て tố số となる. ただしn3− 34n2+ 381n− 1511のn= 9, 12, 13で−107を lấy るなど, cùng じ tố số が gì độ も xuất hiện する trường hợp がある.
Nhiều 変 số đa thức
[ソースを biên tập]Nhiều 変 số の đa thức では, toàn て の tố số を sinh thành することができる thức がいくつか biết られている. Lệ えば,k+ 2が tố số となる tất yếu thập phần điều kiện は, thứ のディオファントス phương trìnhが số tự nhiên giải を cầm つことである[31]:
- wz + h + j − q= 0
- (gk+ 2g+k+ 1)(h+j) +h−z= 0
- 16(k+ 1)3(k+ 2)(n+ 1)2+ 1 −f2= 0
- 2n+p+q+z−e= 0
- e3(e+ 2)(a+ 1)2+ 1 −o2= 0
- (a2− 1)y2+ 1 −x2= 0
- 16r2y4(a2− 1) + 1 −u2= 0
- n+l+v−y= 0
- (a2− 1)l2+ 1 −m2= 0
- ai+k+ 1 −l−i= 0
- [{a+u2(u2−a)}2− 1](n+ 4dy)2+ 1 − (x+cu)2= 0
- p+l(a−n− 1) +b(2an+ 2a−n2− 2n− 2) −m= 0
- q+y(a−p− 1) +s(2ap+ 2a−p2− 2p− 2) −x= 0
- z+pl(a−p) +t(2ap−p2− 1) −pm= 0
Đặc thù な hình をした tố số
[ソースを biên tập]- メルセンヌ tố số:2n− 1(nは tố số,n= 2, 3, 5, 7, 13,…)
- フェルマー tố số:22n+ 1
- オイラー tố số:n2+n+ 41
- Giai thừa tố số
- n!+ 1Hình(n= 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154,…)
- n!− 1Hình(n= 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166,…)
- Tố số giai thừa tố số:p# ± 1(pは tố số,p#はpのTố số giai thừa)
- レピュニットR2,R19,R23,…(Rnは1がnCái 続く số, thông thường はSố đếmを10にとる )
- Song tử tố số( kém が2である2つ の tố số )
- いとこ tố số( kém が4である2つ の tố số )
- セクシー tố số( kém が6である2つ の tố số )
- Tam つ tử tố số( 3つ の tố số の tổ(p,p+ 2,p+ 6)または(p,p+ 4,p+ 6)((p,p+ 2,p+ 4) hình は(3,5,7)の み. )
- Bốn つ tử tố số(p,p+ 2,p+ 6,p+ 8が toàn て tố số )
- ソフィー・ジェルマン tố số(pと2p+ 1がともに tố số である khi のpの こと)
- An toàn tố số(pと2p+ 1がともに tố số であるとき の2p+ 1の こと)
- スーパー tố số( tố dãy số における tố số phiên mục の tố số )
- Thiết り xá て khả năng tố số( “Tố な tố số”. Cùng えられた số đếm において0を hàm まず, tả hữu một phương の đoan から thuận に số を lấy り trừ いた số がすべて tố số となる tố số )
- Trần Tố số(p+ 2がNửa tố sốまたはともに tố số )
- Chính tắc tố số(Yên のpPhân thểのLoại sốを cắt り thiết らない kỳ tố số )
- Phi chính tắc tố số ( yên のpPhân thể の loại số を cắt り thiết る kỳ tố số )
- フィボナッチ tố số(フィボナッチ sốの dãy số に hàm まれる tố số )
- ヴィーヘリッヒ tố số (2p−1≡ 1 (modp2)を mãn たす tố sốp)
- グロタンディーク tố số ( 57 の ことでグロタンディークが diễn thuyết している tế に "Phân かりやすい lệ を thượng げてほしい" と ngôn われて hợp thành số である "57" を cử げてしまった )
- そ の hắn の tố số
Chưa giải quyết vấn đề
[ソースを biên tập]- Song tử tố sốの dư tưởng: Song tử tố số は vô số に tồn tại する, という dư tưởng.
- ゴールドバッハ の dư tưởng:6 trở lên の toàn て の số chẵn は 2 つ の kỳ tố số の cùng で biểu すことができる, という dư tưởng.
- Nhược いゴールドバッハ dư tưởng:7 trở lên の toàn て の số lẻ は 3 つ の tố số の cùng で biểu すことができる, という dư tưởng. ただしハラルド・ヘルフゴットによる chứng minh が2013 nămに phát biểu されている[36][37][38].
- ルジャンドル dư tưởng:Toàn て のnに đối し,n2と(n+ 1)2の gian に tố số が tồn tại するかという dư tưởng.
- Đã biết のフェルマー tố số(3,5,17,257,65537) bên ngoài に, フェルマー số にフェルマー tố số は tồn tại するか?
- メルセンヌ tố sốは vô số に tồn tại するか?
- ソフィー・ジェルマン tố số,An toàn tố sốは vô số に tồn tại するか?
- フィボナッチ sốLiệt には, tố số である hạng が vô số に hiện れるか? (フィボナッチ tố số)
- May mắn sốでも tố số でもあるような số は vô số に tồn tại するか?
- ハッピー tố sốは vô số に tồn tại するか?
- n2+ 1の hình の tố số は vô số に tồn tại するか? (ブニャコフスキー dư tưởng)
- Số ước lượng の cùngの liệt になる tố số は vô số に tồn tại するか?
Ứng dùng
[ソースを biên tập]Trường い gian,Số luận,そ の trung でもとりわけ tố số に quan する nghiên cứu は, そ の giới hạn bên ngoài で の ứng dùng の toàn くない thuần 粋 toán học の thấy bổn と thấy なされていた. Đặc に, イギリス の số luận nghiên cứu giả であるハーディは, tự thân の nghiên cứu が quân sự に gì の tầm quan trọng も cầm たないことを khen っていた. しかし, こ の vuông は1970 niên đại には phúc されてしまった. Tố số が công khai kiện ám hiệu の アルゴリズムに sử dụng できると quảng く biết られるようになったためである. Hiện tại では tố số はハッシュテーブルやNghĩ tựa loạn sốSinh thành にも dùng いられ, công học ứng dùng tới quan trọng độ の cao いも の となっている.
Công khai kiện ám hiệu
[ソースを biên tập]Công khai kiện ám hiệu の アルゴリズムとして,RSA ám hiệuやディフィー・ヘルマン kiện cùng sở hữuといった, đại きな số のTố thừa tố phân giảiは khó khăn であるという tính chất に cơ sở を trí くも の がある. RSA ám hiệu は, 2つ の ( đại きな ) tố số の quải け tính は tương đối giản 単に ( hiệu suất に ) hành えるが, そ の tích を tố thừa tố phân giải して nguyên の 2つ の tố số を cầu めることは khó しいという sự thật に cơ づいている.
Cố định ギア tự 転 xe の タイヤ の thọ mệnh đối sách
[ソースを biên tập]![]() | こ の tiết はKiểm chứng khả năngなTham khảo văn hiến や xuất xứが toàn く kỳ されていないか, không thập phần です.(2024 năm 7 nguyệt) |
Cố định ギアTự 転 xe のスプロケットやチェーンリング の xỉ số を tố số にすることでスキッドポイントと hô ばれる ma háo điểm を phân tán hóa させてタイヤ の thọ mệnh を hướng về phía trước させることができる. また, tự 転 xe や động cơ đốt trong quan など nhập lực に nhịp đập がある động lực の xỉ xe を tố số にすると ma háo điểm が phân tán され xỉ xe の thọ mệnh が hướng về phía trước する.
Thiên nhiên の tố số
[ソースを biên tập]Thiên nhiên に hiện れる tố số の đồng loạt として,Tố số ゼミと hô ばれるセミの một loại がいる.アメリカ hợp chúng quốcに phân bố するこ の セミ の thành trùng は, ある chu kỳ ごとに, 13 năm ないしは17 trong năm の chu kỳ で đại lượng phát sinh する. Thành trùng になった sau は, số chu gian だけを trên mặt đất で thành trùng として quá ごし giao phối と sản trứng を hành う. こ の セミが tố số chu kỳ で phát sinh する lý do として, ký sinh trùng や kẻ vồ mồi に đối kháng するため の tiến hóa であるという nói や gần duyên loại と の giao tạp を tránh けるためであるという nói がある. つまり, もしこ の セミが12 năm の phát sinh chu kỳ を cầm っていた trường hợp, 12 の số ước lượng である2, 3, 4, 6 năm の thọ mệnh を cầm つ kẻ vồ mồi と đồng thời に phát sinh してしまうことになり, vồ mồi đối tượng にされやすくなる. また, địa lý に gần い nơi で12 năm chu kỳ と15 năm chu kỳ の セミが tồn tại した trường hợp, 60 năm ごとに2 loại は đồng thời に phát sinh し, giao tạp してしまう khả năng tính がある. すると, tạp loại は phát sinh chu kỳ がずれてしまい, cùng loại の セミと の giao phối の cơ hội が thất われる. Tố số の chu kỳ を cầm つも の は giao tạp が khởi こりにくく, đào thải されにくいと khảo えられる[39].
また,ゼータ quan sốThượng の 0 điểm の phân bố の số thức が, hạt nhân nguyên tử の エネルギー khoảng cách を biểu す thức と nhất trí することを kỳ し, tố số と hạch vật lý hiện tượng と の quan liền tính が kỳ xúi されている.
コンピュータゲーム
[ソースを biên tập]パナソニック kabushiki gaishaが2011 năm にリリースしたiPadDùng アプリケーション “Panasonic Prime Smash!” は không trung に đánh ち thượng げられたボールに thư かれた con số が tố số であればタップして đến điểm, hợp thành số であればスワイプすることで cắt り tính し, tố số になったらタップして đến điểm にするゲームである[40].Đệ 15 hồiVăn hóa sảnh メディア vân thuật tếエンターテインメント bộ môn の thẩm tra ủy ban đề cử tác phẩm に tuyển ばれ[41],Đệ 6 hồi xí nghiệp ウェブグランプリ スチューデント bộ môn đặc biệt thưởng を được thưởng した[42].
2016 năm にイギリス の toán học giả クリスチャン・ローソン=パーフェクトが công khai した “これは tố số ですか? (Is this prime?)” は, hình ảnh に tỏ vẻ される con số を tố số と hợp thành số に sĩ phân けるゲームで, 2021 năm 7 nguyệt にプレイ hồi số が300 vạn hồi を đột phá した[43].こ の ゲーム の プログラムにはミラー–ラビン tố số phán định phápが tổ み込まれている[43].
Liền 続 tố số
[ソースを biên tập]Liền 続 tố số cùng
[ソースを biên tập]Liền 続 số | Số | Tham chiếu | Hàm まれる tố dãy số |
---|---|---|---|
2 |
5,8,12,18,24,30,36,42,52,60,68,78,84,… | A001043 | |
3 |
10,15,23,31,41,49,59,71,83,97,109,… | A034961 | A034962 |
4 |
17,26,36,48,60,72,88,102,120,138,152,… | A034963 | |
5 |
28,39,53,67,83,101,119,139,161,181,… | A034964 | A034965 |
6 |
41,56,72,90,112,132,156,180,204,228,… | A127333 | |
7 |
58,75,95,119,143,169,197,223,251,281,… | A127334 | A082246 |
8 |
77,98,124,150,180,210,240,270,304,… | A127335 | |
9 |
100,127,155,187,221,253,287,323,363,… | A127336 | A082251 |
10 |
129,158,192,228,264,300,340,382,424,… | A127337 | |
11 |
160,195,233,271,311,353,399,443,491,… | A127338 | A127340 |
12 |
197,236,276,318,364,412,460,510,562,… | A127339 | |
13 |
238,279,323,371,423,473,527,… | A127341 |
Liền 続 tố số tích
[ソースを biên tập]Liền 続 số | Số | Tham chiếu |
---|---|---|
2 |
6,15,35,77,143,221,323,437,667,899,1147, 1517, 1763,… | A006094 |
3 |
30,105,385,1001,2431, 4199, 7429, 12673, 20677, 33263, 47027,… | A046301 |
4 |
210,1155, 5005, 17017, 46189, 96577, 215441, 392863, 765049,… | A046302 |
5 |
2310,15015, 85085, 323323, 1062347, 2800733,… | A046303 |
6 |
30030, 255255, 1616615, 7436429, 30808063, 86822723,… | A046324 |
7 |
510510, 4849845,… | A046325 |
8 |
9699690, 111546435,… | A046326 |
9 |
223092870, 3234846615,… | A046327 |
10 |
6469693230, 100280245065,… | A127342 |
11 |
200560490130, 3710369067405,… | A127343 |
12 |
7420738134810, 152125131763605,… | A127344 |
Tố số sa mạc
[ソースを biên tập]Số tự nhiên で tố số でないも の が liền 続している khu gian を “Tố số sa mạc”という. Lệ えば{24, 25, 26, 27, 28}は “Trường さ 5 の tố số sa mạc” である. Tố số sa mạc を hiệp む2 cái の tố số は3Trở lên であるため, cộng に số lẻ である. こ の ことから, tố số sa mạc の trường さは tất ず số lẻ である. いくらでも trường い tố số sa mạc が cấu thành できる (# phân bốを tham chiếu ).
Sơ めから60 cái の tố số の khoảng cách は[44]
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2,…
Chú thích
[ソースを biên tập]Chú 釈
[ソースを biên tập]- ^ど の tố số も hắn の số tự nhiên の tích では biểu せないためこれ trở lên tiểu さい sinh thành hệ は tồn tại しない.
- ^ユークリッドによる chứng minh では, 変 số ・ số thức ・ tùy ý の cái số を kỳ すパラメーターnを sử dụng せずに, định められた cái số が 3 cái の tố sốΑ,Β,Γの trường hợp に chứng minh している. これを “Chuẩn giống nhau” な chứng minh という. Kỹ càng tỉ mỉ はTố số が vô số に tồn tại すること の chứng minh #ユークリッドを tham chiếu.
- ^レオンハルト・オイラーによる. Hiện đại な dùng từ で ngôn えば,リーマンゼータ quan sốの オイラー tích tỏ vẻ を dùng いる[20].
- ^ジョージ・ポーヤによる[20][21].
- ^ヒレル・ファステンバーグによる.en:Furstenberg's proof of the infinitude of primesを tham chiếu.
- ^Tố số が vô số に tồn tại すること の chứng minh #サイダックを tham chiếu[22].
- ^『 thiên thư の chứng minh 』 chương 1[21]を tham chiếu. Nguyên luận văn はErdös, P.(1938-07),“Über die Reihe ∑ 1/p”(German) (pdf),Mathematica, Zutphen B:1-2.
Xuất xứ
[ソースを biên tập]- ^“Sáng lập 80 đầy năm đặc tập”『Toán học』 đệ 9 quyển đệ 2 hào, 1957 năm, 72 trang,doi:10.11429/sugaku1947.9.65.
- ^“Đông Kinh toán học hội xã tạp chí thứ 42 hào phụ lục” 『 Đông Kinh toán học hội xã tạp chí 』1881 năm, 13 trang,doi:10.11429/sugakukaisya1877.1881.42sup_1.
- ^abオンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA40
- ^“The Largest Known Primes”.The Prime Pages (2021 năm 5 nguyệt 13 ngày ).2021 năm 5 nguyệt 13 ngàyDuyệt lãm.
- ^“[ số A11 の bội số の phán định pháp, thấy phân け phương とそ の chứng minh ]”. トムラボ.2023 năm 2 nguyệt 25 ngàyDuyệt lãm.
- ^http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ogawa/pdfs/v_lec/HimejiNishi-2006-12.pdf
- ^abcdCaldwell & Xiong 2012
- ^abCaldwell et al. 2012.Cổ đại ギリシアについては pp.3-4, アラビアについては p.6 を tham chiếu.
- ^Lệ えば David E. Joyce's のユークリッド nguyên luậnについて の コメンタリーBook VII, definitions 1 and 2を tham chiếu.
- ^Tarán 1981
- ^Caldwell et al. 2012,pp. 7–13. Đặc にStevin, Brancker, Wallis, Prestet の hạng を tham chiếu.
- ^Caldwell et al. 2012,p. 15
- ^Conway & Guy 1996,pp. 129f
- ^Derbyshire 2003,p. 33
- ^Conway & Guy 1996,pp. 129–130
- ^φ quan số についてはSierpiński 1988,p. 245を tham chiếu. Số ước lượng quan số についてはSandifer 2007,p. 59を tham chiếu.
- ^"Arguments for and against the primality of 1".
- ^"Why is the number one not prime?"
- ^abユークリッド 2011,9-20
- ^abRibenboim 2001,Chương 1
- ^abアイグナー & ツィーグラー 2012,Chương 1
- ^doi:10.2307/27642094https://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/Saidak.html
- ^こ の khu gian の lúc ban đầu の trị はオンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA008950を, kết thúc の trị はオンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA008995をそ の khu gian phúc についてはオンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA008996を tham chiếu
- ^Tomás Oliveira e Silva,Goldbach conjecture verification.Retrieved 16 July 2013.
- ^Jens Franke (2010 năm 7 nguyệt 29 ngày ). “Conditional Calculation of pi(1024)”.2018 năm 12 nguyệt 30 ngàyDuyệt lãm.
- ^Prime Formulas -- from Wolfram MathWorld
- ^Willans, C. P (1964-12),“On formulae for thenth prime number”,The Mathematical Gazette48(366): 413-415,doi:10.2307/3611701,ISSN0025-5572,JSTOR3611701
- ^Ribenboim 2001,Chương 3
- ^オンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA005846
- ^オンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA014556
- ^Jones, James P.; Sato, Daihachiro; Wada, Hideo; Wiens, Douglas (1976), "Diophantine representation of the set of prime numbers", American Mathematical Monthly83:449-464,doi:10.2307/2318339
- ^オンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA002496
- ^オンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA037896
- ^オンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA152913
- ^オンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA023195
- ^Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem".arXiv:1305.2897[math.NT].
- ^Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem".arXiv:1205.5252[math.NT].
- ^Dossier Alexander von Humboldt-Professur - Alexander von Humboldt-Stiftung
- ^Cát thôn 2008
- ^Điền kỳ cung tử (2011 năm 5 nguyệt 16 ngày ).“Tố số の không tư nghị をゲームで học ぶiPadアプリ”.リセマム(イード)2023 năm 8 nguyệt 24 ngàyDuyệt lãm.
- ^“Đệ 15 hồi được thưởng tác phẩm văn hóa sảnh メディア vân thuật tế エンターテインメント bộ môn”.Văn hóa sảnh メディア vân thuật tế.Văn hóa sảnh.2023 năm 8 nguyệt 24 ngàyDuyệt lãm.
- ^Trì điền thật cũng (2012 năm 12 nguyệt 10 ngày ).““Đệ 6 hồi xí nghiệp ウェブ・グランプリ” được thưởng サイト quyết định, コンテンツへ の tư いがグランプリへ”.Web đảm đương giả Forum(インプレス)2023 năm 8 nguyệt 24 ngàyDuyệt lãm.
- ^abシヴォーン・ロバーツ (2021 năm 7 nguyệt 26 ngày ).“51, 57, 91は tố số? Toán học giả が khảo えたオンライン・ゲームが người khí”.MIT Technology Review(KADOKAWA)2023 năm 8 nguyệt 24 ngàyDuyệt lãm.
- ^オンライン số nguyên liệt đại từ điểnの dãy sốA001223
Tham khảo văn hiến
[ソースを biên tập]- Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2010),Proofs from THE BOOK(4th ed.), Springer-Verlag,ISBN978-3-642-00856-6
- M・アイグナー, G・M・ツィーグラー,Cua giang hạnh bác訳『Thiên thư の chứng minh』 ( súc xoát bản ) hoàn thiện xuất bản, 2012 năm 9 nguyệt 1 ngày.ISBN978-4-621-06535-8 .
- Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012).“The history of the primality of one: a selection of sources”.Journal of Integer Sequences15(9): Article 12.9.8.MR3005523 .
- Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012).“What is the smallest prime?”.Journal of Integer Sequences15(9): Article 12.9.7.MR3005530 .
- Conway, John Horton;Guy, Richard K.(1996),The Book of Numbers,New York: Copernicus,ISBN978-0-387-97993-9
- J・H・コンウェイ, R・K・ガイ,Căn thượng sinh cũng訳『Số の bổn』Hoàn thiện xuất bản,2012 năm 1 nguyệt.ISBN978-4-621-06207-4 .
- Thật thật の みを ghi lại する sẽ 『Tố số biểu 150000 cái』Ám hắc thông tín đoàn,2011 năm 8 nguyệt.ISBN978-4-87310-156-9 .
- Manfred Robert Schroeder,Bình dã hạo quá lang・Dã thôn hiếu đứcCộng 訳『Khoa học と thông tín における số luận ám hiệu, vật lý học, ディジタル tình báo, tính toán pháp, chính mình tương tự tính を hàm む』 〈 thượng 〉,パスカル nghiên cứu sẽ( xuất bản )コロナ xã( phát bán ), 1995 năm 2 nguyệt 1 ngày, 33-68 trang.ISBN978-4-339-08216-6 .
- Derbyshire, John (2003),Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics,Washington, D.C.: Joseph Henry Press,ISBN978-0-309-08549-6,OCLC249210614
- ジョン・ダービーシャー,Tùng phổ tuấn phụ訳『Tố số に bằng かれた người たち リーマン dư tưởng へ の chọn chiến』Ngày kinh BP xã( xuất bản )Ngày kinh BP xuất bản センター( phát bán ), 2004 năm 8 nguyệt 30 ngày.ISBN978-4-8222-8204-2 .
- Bổn kiều dương một『Phân tích số nguyên luận』 〈1〉 tố số phân bố luận ( đệ 2 xoát ),Triều thương hiệu sách〈 triều thương toán học đại hệ 〉, 2012 năm ( nguyên tác 2009 năm 11 nguyệt 1 ngày ).ISBN978-4-254-11821-6 .- đệ 2 xoát 2012: Thêm bút hàm む.
- Bổn kiều dương một “Tố số の cánh に thừa って”( PDF ) 『 toán học thông tín 』 đệ 10 quyển đệ 1 hào, Đông Kinh: Nhật Bản toán học sẽ, 2005 năm 5 nguyệt, 4-19 trang,CRID1520572358126328192,ISSN13421387,2024 năm 3 nguyệt 14 ngàyDuyệt lãm.
- ユークリッド,Trung thôn hạnh Tứ Lang・Chùa phản anh hiếu・Y đông tuấn quá lang・Trì điền mỹ huệ訳『ユークリッド nguyên luận』 ( thêm bản )Cộng lập xuất bản,2011 năm 5 nguyệt 25 ngày.ISBN978-4-320-01965-2 .
- Cát thôn nhân『17 năm と13 năm だけ đại phát sinh? Tố số ゼミ の bí mật に bách る!』ソフトバンククリエイティブ〈サイエンス・アイ sách mới 072〉, 2008 năm 7 nguyệt 16 ngày.ISBN978-4-7973-4258-1 .
- Riesel, Hans (1994),Prime numbers and computer methods for factorization,Basel, Switzerland: Birkhäuser,ISBN978-0-8176-3743-9
- Ribenboim, Paulo (2004),The Little Book of Bigger Primes(2nd ed.), Springer-Verlag,ISBN978-0-387-20169-6
- Paulo Ribenboim,Ngô hương hiếu coi訳『Tố số の thế giới ―そ の thăm dò と phát thấy ―』 ( đệ 2 bản )Cộng lập xuất bản,2001 năm 10 nguyệt 20 ngày.ISBN978-4-320-01684-2 .
- Sandifer, C. Edward (2007).How Euler Did It.MAA Spectrum. Mathematical Association of America.ISBN978-0-88385-563-8
- Sierpiński, Wacław(1988).Elementary Theory of Numbers.North-Holland Mathematical Library.31(2nd ed.). Elsevier.ISBN978-0-08-096019-7
- Tarán, Leonardo (1981).Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary.Philosophia Antiqua: A Series of Monographs on Ancient Philosophy.39.Brill. pp. 35-38.ISBN978-90-04-06505-5
Quan liền hạng mục
[ソースを biên tập]- Trái pháp luật tố số
- エマープ
- エラトステネス の si
- Thật lớn な tố số の một lãm
- コープランド-エルデシュ định số
- Tố số の một lãm
- ピタゴラス tố số
- プライム ( tiểu hoặc tinh )-Tiểu hoặc tinh phiên hiệu7919が1000 phiên mục の tố số であることに nhân む tiểu hoặc tinh.
- Nửa tố số
- Tiết số
- Tố số đại phú hào
Phần ngoài リンク
[ソースを biên tập]- The Prime Page
- Weisstein, Eric W."Prime Number".mathworld.wolfram( tiếng Anh ).
- prime numberinnLab
- prime-PlanetMath.
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001),“Prime number”,Encyclopedia of Mathematics,Springer,ISBN978-1-55608-010-4