Квадрат теңдеу

2-дәрежелі көпмүшенемесе квадраттық теңдеу, квадраттық үшмүшелік деп

$ax^{2}+bx+c=0,\,\!$

түріндегікөпмүшелі теңдеудіайтамыз. Мұндағыa≠0 (Егерa= 0 болса, теңдеу ). Квадрат теңдеудің графигі - парабола (яғниквадрат функция).Квадрат теңдеу –2-дәрежелі алгебралық теңдеу.Оның жалпы түрі мынадай: ax2+bx+c=0,a≠0.Квадрат үшмүшекомплекс сандаржиынында$~(C)$сызықтық көбейткіштергежіктеледі:$~ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$,мұндағы$~x_{1},x_{2}-ax^{2}+bx+c=0$квадрат тендеудіңтүбірлері;$~x_{1},x_{2}$— сандарыквадрат үшмүшеніңтүбірлері деп те, сонымен қатар бұлар$~y=f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$квадрат функциясының нөлдерідеп те аталады. Квадрат үшмүшені мына түрде де жазуға болады:

• $~ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {b^{2}-4ac}{4a}}$

Осы өрнек нақтыайнымалыныңквадрат функциясыныңграфигін салу кезіндефункцияныңең үлкен ($~a>0$болғанда) немесе ең кіші ($~a<0$болғанда)мәндерінанықтау үшін пайдаланылады.$~ax^{2}+bx+c$квадрат функциясының графигіпараболаболады, оның$~\left(-{\dfrac {b}{2a}},{\dfrac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)$нүктесіндеорналасқан.

$~x=-{\dfrac {b}{2a}}$-— түзуіпараболаныңсимметрияосі болып табылады.$~a>0$болғанда параболаныңтармақтарыжоғары карай,$~a<0$болғанда — төмен қарай бағытталады.$~a<0$болғанда$~x=-{\dfrac {b}{2a}}$нүктесінде максимумға кетерілсе, ал$~a>0$болғанда$~y=-{\dfrac {b^{2}-4ac}{4a}}$нүктесінде минимумға төмендейді.

Параболаордината осін($~0,b$) нүктелерінде қиып өтеді. Егер квадрат үшмүшенің нақтытүбірлері$~x_{1}\neq x_{2}$болса, онда парабола абсцисса осін$~(x_{1},0)$және$~(x_{2},0)$нүктелерінде қиып өтеді,$~x=x_{2}$болса, парабола абсцисса осімен$~(x_{1},0)$нүктесінде жанасады.

a,b,жәнеcәріптері -коэффиценттердеп аталады:aквадраттық коэффиценті -x²-тың коэффиценті,bкоэффиценті -x-тің коэффиценті, алc-тұрақтыкоэффицент немесетұрақты мүше

ax²+bx+c- ның графиктері (Әр коэффицентінің мәнін өзгерткенде)

Квадрат формуласы

Квадрат теңдеудің коэффиценттері нақты болса, оның екі шешімі немесе түбірі болады. Олардыквадрат формуласысипаттайды:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$,

яғни:

$x_{+}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

және

$x_{-}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Дискриминант

Дискриминант мәндеріне байланысты түбірлер
■<0:x²+¹⁄₂
■=0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■>0:³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Төмендегі формула квадрат түбірлерді табуға қажет:

$D=b^{2}-4ac,\,\!$

Бұл дискриминант деп аталады.

Квадрат функцияның коэффиценттері нақты сан болса (комплекс сан емес) онда оның бір әлде екі нақты немесе екі комплекс түбірлері бар. Осыған байланысты дискриминант түбірлердің түрі мен санын анықтайды. Дискриминант мәніне байланысты үш жағдай болуы мүмкін:

• Егер дискриминант оң сан болса теңдеудің 2 түбірі бар және олар нақты:

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\\x_{2}&={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}\\\end{aligned}}$

• Егер дискриминант нөлге тең болса, теңдеудің бір нақты түбірі бар:

  $x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!$

• Егер дискриминант теріс сан болса теңдеудің нақты түбірлері жоқ. Керісінше, теңдеудің екі комплекс түбірі бар:

  ${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}$мұнда${\begin{aligned}|D|\end{aligned}}$- абсолют мәні(+ve) және${\begin{aligned}i\end{aligned}}$=${\begin{aligned}{\sqrt {-1}}\end{aligned}}$

  ${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}$

Виет формуласы

x2+px+q=0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеудің шешімі төмендегіше өрнектеледі: x1,2=. Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері бір-бірімен мынадай қатынастар арқылы байланысқан: x1+x2=, x1x2=.

Мысалдар

• $7x+15-2x^{2}=0$теңдеуінде дискриминант оң:$\Delta =169$және екі нақты шешімі (түбірлері) бар:

  $x_{1}={\frac {-7-{\sqrt {169}}}{2\cdot (-2)}}=5$

  $x_{2}={\frac {-7+{\sqrt {169}}}{2\cdot (-2)}}=-{\frac {3}{2}}.$

• $x^{2}-2x+1=0$теңдеуінің дискриминанты нөлге тең:$\Delta$=0 яғни, теңдеудің бір шешімі бар:

  $x=-{\frac {-2}{2}}=1$

• $x^{2}+3x+3=0$теңдеуінің нақты сандар арасында шешімі жоқ, өйткені:$\Delta =-3<0$.Бірақ екі комплекс түбірлері бар:

  $x_{1}={\frac {-3-{\sqrt {3}}i}{2}}$

  $x_{2}={\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}.$

Квадрат теңдеудің сол жақ бөлігінa(x–x1)(x–x2)=0түрінде көрсетуге болады. ге келтірілетін есептерді шешу мәселесі ежелгі дәуір математиктеріне де белгілі болған. Квадрат теңдеу терминін неміс философы әрі математигіХ.Вольф(1679 – 1754) енгізген (1710).