សមីការដឺក្រេទី២

ឧទាហរណ៍បង្ហាញពីកំនត់សំគាល់សមីការដឺក្រេទី២ ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត f(x)=x^2 - 3x + c</x-1>

ក្នុងគណិតវិទ្យាសមីការដឺក្រេទី២ជាសមីការពហុធាដឺក្រេទី២។ ទំរង់ទូទៅនៃសមីការដឺក្រេទី២មានរាង

$ax^{2}+bx+c=0\,\!$

តួ a, b និង c ហៅថាមេគុណ: មេគុណដឺក្រេទី២ a ជាមេគុណខុស​ពីសូន្យ​ នៃ$\ x^{2}$។ មេគុណលីនេអ៊ែរ b ជាមេគុណនៃ x ចំនែកឯ c វិញជាមេគុណថេរ។ a b និង c ត្រូវបានគេហៅថាតួថេរ។

រូបមន្តរកឫសនៃសមីការដឺក្រេទី២

សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិចមានឫសពីរអាចជាចំនួនពិតកំណត់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម

$ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0$និង$\quad \ x_{-}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

រាងកាណូនិក និងឌីសគ្រីមីណង់ Δ

ឧទាហរណ៍សញ្ញានៃឌីសគ្រីមីណង់
■<0:x²+¹⁄₂
■=0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■>0:³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងសរសេរ យើងតាង$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$នោះគេបានរាងនៃសមីការដឺក្រេទី២ដោយដាក់$f(x)=0\,$។

${\begin{aligned}f(x)&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\right]\end{aligned}}$

គេហៅរាងនៃសមីការដែលបង្ហាញខាងលើនេះថាជារាងកាណូនិក។

ក្នុងសមីការដឺក្រេទីពីរ$b^{2}-4ac\,\!$ត្រូវបានគេតាងដោយតួអក្សរ$\Delta \,\!$(ដែលតា)

សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត អាចមានឫសឌុប ឬឫសពីរផ្សេងគ្នា ឬក៏មានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិច។ ក្នុងករណីនេះឌីសគ្រីមីណង់ជាអ្នកកំណត់ចំនួន និងលក្ខណៈនៃរឹស។ មានលក្ខ័ណ្ឌបី៖

• ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនវិជ្ជមាន$(\Delta >0)\,\!$នោះសមីការមានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត។

${\begin{aligned}f(x)&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a^{2}}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right)^{2}\right]\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right)\left(x+{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right)\\&=a\left(x+{\frac {b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\left(x+{\frac {b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\end{aligned}}$

ពេល$f(x)=0\,$រឹសទាំងពីរ$x_{1}\,$និង$x_{2}\,$នៃសមីការកំណត់ដោយ

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

$x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

( ឬ$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$)

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ$f(x)\,$កំនត់ដោយ

$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,$

• ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ$(\Delta =0)\,\!$

$f(x)=0\,\!$តាមវិធីសាសស្រ្តខាងលើ$\Delta =0\,\!$គេបានរាងកាណូនិកនៃសមីការអាចសរសេរ

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=0$

នោះសមីការមានរឹសឌុបជាចំនួនពិតកំណត់ដោយ

$x_{0}=-{\frac {b}{2a}}\,\!$

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ$f(x)\,$កំនត់ដោយ

$f(x)=a(x-x_{0})^{2}~$

• ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនអវិជ្ជមាន$(\Delta <0)\,\!$នោះសមីការគ្មានរឹសជាចំនួនពិតទេ ប៉ុន្តែមានពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នាកំណត់ដោយ

  ${\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\i^{2}&=-1\end{aligned}}$

លក្ខណៈធរណីមាត្រ

ចំពោះអនុគមន៍ដឺក្រេទី២:
f(x) =x²−x− 2 = (x+ 1)(x− 2) នៃអថេរxដែល អ័ក្ស x នៃចំនុចប្រសព្វរវាងក្រាប និងអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ x = −1 និង x = 2 គឺជារឹសនៃសមីការ x²− x − 2 = 0 ។

រឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២

$ax^{2}+bx+c=0\,$

គឺជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២នៅពេលដែលគេអោយវាស្មើសូន្យ:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$

ដែលគេកំណត់សរសេរ

$f(x)=0\,$។

បើ a b និង c ជាចំនួនពិតនិងដែនកំនត់នៃ f ជាសំនុំនៃចំនួនពិត នោះគេបាន$f(x)=0\,$គឺជាចំនុចដែលក្រាបប្រសព្វគ្នាជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

យោងតាមការបកស្រាយខាងលើ ប្រសិន​បើ​ឌីសគ្រីមីណង់​វិជ្ជមាន​នោះ​ក្រាប​នឹង​កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីស​ត្រង់ពីរ​ចំនុច​ផ្សេងគ្នា។ បើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ នោះ​ក្រាប​នឹង​ប៉ះ​អ័ក្សអាប់ស៊ីស​ត្រង់​មួយ​ចំនុច​គត់។ បើឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមាន នោះក្រាបមិនកាត់ឬប៉ះអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

ការដាក់ជាផលគុណកត្តានៃសមីការដឺក្រេទី២

តួ$x-r\,$ជាកត្តានៃពហុធា$ax^{2}+bx+c\$លុះត្រាតែrជារឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២$ax^{2}+bx+c=0\$។

វាកំនត់ដោយរូបមន្តសមីការដឺក្រេទី២ដែល

$ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)$។

ក្នុងករណីពិសេសដែលសមីការដឺក្រេទី២មានរឹសឌុប (មានន័យថា$\Delta =0\,\!$)ពហុធាដឺក្រេទី២អាចដាក់ជាផលគុណកត្តាដូចខាងក្រោម

$ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\,\!$

ឧទាហរណ៍

គេអោយសមីការដឺក្រេទី២$x^{2}-ax+2a=0\,$ដែល a ជាចំនួនថេរ។ ចូរកំនត់តំលៃនៃ a ដើម្បីអោយសមីការនេះយ៉ាងហោចណាស់មានចំលើយមួយនៅក្នុងចន្លោះ$-1<x<1\,$។

ចំលើយ

យើងមាន$x^{2}-ax+2a=0\,$

តាង$f(x)=x^{2}-ax+2a\,$

ដើម្បីអោយសមីការមានចំលើយយ៉ាងហោចណាស់មួយនៅចន្លោះ$-1<x<1\,$

${\begin{aligned}&\Longleftrightarrow &f(-1)\cdot f(1)&<0\\&\Rightarrow &(1+a-2a)(1-a+2a)&<0\\&\Rightarrow &(3a+1)(1+a)&<0\\&\Rightarrow &a\in ]-{\frac {1}{3}},-a[\end{aligned}}$