Integrale

Integralefunctionisest una ex his duabus notionibusmathematicis:

• functioquae estderivativumfunctionis datae (integrale indefinitum);
• numerus qui totum effectum functionis in certointervallodescribit (integrale definitum). Exemplum est magnitudo spatii interlineamquae functionem repraesentat, x-axinet limites intervalli.

Theorema fundamentale calculirelationem inter has duas notiones indicat. Methodus integrale alicuius functionis inveniendiintegratiovelcalculus integralis(seucalculus summatorius(ſummatorius)) appellatur.

Integrale indefinitum

Sit$f$functio in$\mathbb {R}$.$g(x)=\int f(x)dx$est integrale functionis$f$si$\left.{\frac {dg(x)}{dx}}\right|_{x=y}=f(y)$. Ex hac definitione sequitur etiam$g(x)+C$,designante$C$quemcumque numerum realem, integrale functionis$f$esse. Quia$C$est quantitas constans, hoc est${\frac {dC}{dx}}=0$,hic terminus nihil addit integrali.

Exempli gratia, si$f(x)=x^{2}$,tum$\int f(x)dx={\frac {x^{3}}{3}}+C$.

Integrale definitum

Approximatio integralis f(x) = √x inter 0 et 1

Integrale definitum$\int _{a}^{b}f(x)dx$est quasi summa collationum functionis$f$in omnibus punctis intervalli$[a,b]$. Geometrice, integrale est magnitudo spatii inter lineam quae functionem repraesentat, x-axin et lineas$x=a$et$x=b$,si functio$f$est positiva in hoc intervallo. Si autem est negativa, ea magnitudo quoque negativa esse intellegitur. Ad integrale definitum computandum, numerum infinitum functionis collationum infinitesimalium (hoc est omnibus numeris positivis inferior) addere opportet, quod perlimitemdefinitur.

Exemplum hoc illustrabit. In adumbratione vides$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}dx$.Possumusmagnitudinemaestimare si parvarectangulafacimus, eisdem latitudinibus,altitudinibusautem$f(x_{i})$,valores functionis in sinistris aut dextris lateribus intervallorum.

Talia rectangula inadumbrationereperiuntur. Sunt quinque rectangula,coloreflavi,quorum latitudo est 1/5, et altitudines sunt √ 1/5, √ 2/5, √ 3/5, √ 4/5, et √ 1. Magnitudines rectangulorum igitur sunt (1/5) x √ 1/5, (1/5) x √ 2/5, et cetera; summatio earum magnitudinum est (fere) 0.74974.

Sunt etiam duodecim rectangula, coloreviridi,quorum latitudo est 1/12 et altitudines sunt √ 0, √ 1/12, et cetera. Si magnitudines horum rectangulorum addimus, habemus (fere) 0.62029.

Integrale (per definitionem) est limes magnitudinum talium rectangulorum. Hoc est: Sit$P=\{a_{0},a_{1},...a_{n}\}$copia numerorum inter$a=a_{0}$et$b=a_{n}$,sicut$a_{i}<a_{i+1}$.Deindesummatio Riemanniest

$\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i-1})f(a_{i})$

et integrale est limes huius summationis dum$n$ad infinitatem it (aut, dum semper plures rectanguli sunt).Bernardus Riemannhanc definitionem invenit.

Saepe autem facilius est integrale alio modo computare.Theorema fundamentale calculienim dicit:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$,si$\left.{\frac {dF(x)}{dx}}\right|_{x=y}=f(y)$

Ita integrale definitum computari potest si integrale indefinitum cognoscitur.

Usus

• Inphysica,velocitasest derivativum loci, etacceleratioest derivativum velocitatis. Ergo, quia secundumLeges motus Newtoniacceleratio etvis,quae est quasi fundementummechanicae,aequabiles sunt, locus alicuius rei ex viribus bis integrando computari potest.
• Massaalicuius rei est integraledensitatiseius.
• In theoria probabilitatumprobabilitasvariabilis continui exdensitate probabilisticaintegrando computatur.
• Quadraturaparabolaecalculo integralis computari potest.

Bibliographia

• D. Bougainville1764Calculi infinitesimalis pars II., seu calculus integralis
• M. Hirsch1823Integral tables or collection of integral formulas
• Leonhardus Eulerus1827Institutionum calculi integralis.Petropoli:impensis Academiae Imperialis Scientiarum.Volumen PrimumVolumen SecundumVolumen TertiumVolumen Quartum
• Ferdinandus Minding1849Sammlung von Integraltafeln
• Davidus Bierens de Haan1867"Nouvelles Tables d'Intégrales définies."Leiden:P. EngelsVolumen PrimumVolumen Secudum
• Hardy, G. H.1952A Course of Pure Mathematics.Editio 10a. Cantabrigiae.
• Spivak, Michael.1994Calculus.Editio 3a. Houstoniae: Publish or Perish.