Logarithmus

Linea rubra est logarithmus decimalis; linea caerulea, logarithmus binarius; linea viridis, logarithmus naturalis

Logarithmusestfunctiomathematica$\log _{a}:\mathbb {R} ^{+}\setminus \lbrace 0\rbrace \to \mathbb {R},x\mapsto \log _{a}(x),\ (a\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \lbrace 0\rbrace )$,cuius valor indicat exponentem variabilis independentisxadbasimapotentiae,id est:$y=\log _{a}(x)\Leftrightarrow a^{y}=x.$

Exempla:

log10(10) = 1 quia 101= 10
log10(100) = 2 quia 102= 100
log10(1000) = 3 quia 103= 1000

• logarithmusdecimalisseuvulgaris:logarithmus pro basi 10

log₁₀(1000) lege:logarithmus decimalis quantitatis mille

• logarithmusnaturalisseuhyperbolicus:logarithmus pro basie(Numero Euleri).
• Nota: Basis in formulis saepe omittitur; itaque logarithmus decimalis scribiturlgautlog,logarithmus naturalisln.

Arithmetica et logarithmi

Logarithmis possumusmultiplicationeminadditionemconvertere, hoc modo. Si debemus multiplicare A et B, pone X = productum, hoc est AB = X. Tunc log(AB) = log(X) (secundum quemlibet basin). Sed log(AB) = log(A) + log(B). Ergo si logarithmos addimus, possumus logarithmum producti scire, tunc productum ipsum. Exemplum:

$1234*7654=X$

$\ln(1234)\approx 7.1180162045$

$\ln(7654)\approx 8.9429836660$

$\ln(1234)+\ln(7654)\approx 16.0609998705$

et 16.0609998705 est ln(9445036.0004629891)

ergo$1234*7654\approx 9445036$quod est re vera productum horum numerorum

Quare est log(AB) = log(A) + log(B)? Si X = log(A), secundum basinb,et Y = log(B) secundum eandem basin, tunc$b^{X}=A,b^{Y}=B$(per definitionem). Nunc$AB=b^{X}b^{Y}$,sed$b^{X}b^{Y}=b^{X+Y}$.(Facilius est intellectu si X et Y suntnumeri integri;calculusnobis dicit id verum esse etiam si sint aliinumeri reales.) Et$\log _{b}(b^{X+Y})=X+Y$,per definitionem. Habemus igitur$\log _{b}(AB)=\log _{b}(A)+\log _{b}(B)$.

Regula remissariaordinaria in usu discipulorum

Regula remissariahac ratione utitur. Inlinea numerorumspatium inter numeros differentiam repraesentat: quod 5 - 2 = 6 - 3, spatium de puncto "2" ad punctum "5" idem est atque spatium inter puncta "3" et "6": est tres pedes. In regula remissaria, spatium rationem numerorum repraesantat: quod 6/2 = 3/1, spatium de punctum "2" ad punctum "6" idem est atque spatium inter puncta "3" et "1." Est ergoscala logarithmica.

Multiplicatio:$2\times 3=6$

Regula duas scalas habet. Ut 2 per 3 multiplices, mitte "1" in scala superiore prope "2" in scala inferiore. Tunc "3" in scala superiore erit iuxta "6" in scala inferiore: spatium de "1" ad "3" in superiore scala idem est atque spatium de "2" ad "6" in inferiore. Et spatium non est 3 pedes, sed log(3) pedes.

Usus logarithmorum

Scalae. Linea rubra est functio$f(x)=10^{x}$,linea viridis est$f(x)=x$,linea caerula est$f(x)=log(x)$.Prima chartula duas scalas lineares habet. In altera, scala valorumxest logarithmica, scala valorumyest linearis. In tertia, scala valorumxest linearis, alia logarithmica. In quarta ambo sunt scalae logarithmicae. Ut videtur, charta functionis logarithmicae est linea in secunda chartula, et charta functionis exponentialis in tertia.

Sunt quantitates innaturaquae secundum regulam exponentialem variant, utPotentia Hydrogeniiinchemia,magnitudoterrae motusperscalam Richterianamdescripta,magnitudo apparensstellarum inastronomia,Bitininformatica,decibelinacustica,entropiainthermodynamicaetsemivita biologicainpharmacologia.Omnes secundum scalam logarithmicam calculantur. Talis scala utilis est cum valor mensurandus secundum rationem exponentialem auget.

Exempli gratia, si substantia quaedam habetpotentiam hydrogenii (pH)6 et alia habet pH 7, secunda decies plusprotonahabet quam prima.

Terrae motusmagnitudine 5 fere decies maior est quam terrae motus magnitude 4, et fere decies rarior.

Definitio et proprietates functionis

Ut supra dicitur, functio$f(x)=\log _{a}(x)$estinversafunctionis$f(x)=a^{x}$.Quod$f(x)=a^{x}$estfunctio continua,inversa$f(x)=\log _{a}(x)$quoque est continua.

Possumus etiam logarithmum naturalem definire perintegrale:

$\ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

six > 0,ex qua formula scimus${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$,et functio ln(x) estcontinua.Cumxadinfinitatemtendet, ln(x) quoque sine fine auget. Et ln(1) = 0. Si 0 < x < 1, ln(x) < 0:

$\ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

Pone$u={\frac {1}{t}}$-- tunc

$\ln(x)=\int _{1}^{\frac {1}{x}}{\frac {-1}{u}}du=-\int _{1}^{\frac {1}{u}}{\frac {1}{u}}du=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)$

Ergo$\lim _{x\to 0}\ln(x)=-\infty$

Si definitio per integrale re vera eandem functionem definit atque definitio per functionem inversam, debemus demonstrareln(xy) = ln(x) + ln(y):

$\ln(xy)=\int _{1}^{xy}{\frac {1}{t}}dt$

Sit t = uy; tunc$\ln(xy)=\int _{\frac {1}{y}}{\frac {1}{u}}du$

quod est$=\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du-\int _{1}^{\frac {1}{y}}{\frac {1}{u}}du$

$=\ln(x)-\ln \left({\frac {1}{y}}\right)=\ln(x)+\ln(y)$

Functio hoc modo definita ergo easdem proprietates habet atque inversa functionis exponentialis: eadem est functio.

Numerus Eulerieest numerus cuius logarithmus naturalis est 1:$\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}dt=1$.Definitiofunctionis exponentialisy = e^xest inversa functionis logarithmicae.

Si hoc modo logarithmum naturalem definimus, quo modo possumus logarithmos ad alias bases calculare? Sit$\log _{a}(x)=\ln(x)/\ln(a)$.Tunc:

$\log _{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}$

$\log _{a}(x)\times \ln(a)=\ln(x)$

$e^{\log _{a}(x)\ln(a)}=e^{\ln(x)}=x$

$e^{{\ln(a)}^{\log _{a}(x)}}=a^{\log _{a}(x)}$

hoc est,$x=a^{(\log _{a}(x)}$ut desideremus.

Historia logarithmorum

Frons libriMirifici logarithmorum canonis descriptioabIoanne Napieranno1614editi.

Ioannes Napier,baro Murchiston, logarithmum primum describit, inlibroanno1614edito, cuius titulus estMirifici logarithmorum canonis descriptio.Nomenlogarithmusfinxit e verbis Graecis λόγος (logosvel ratio) et ἀριθμός (arithmosvel numerus). Tabulas logarithmorum fecit ut facilius producta et rationes computaret.

Henricus Briggs,eius collega etprofessorgeometriaeinUniversitate Oxoniensis,anno1617tabulas meliores fecit; qui librum ediditLogarithmorum chilias prima,in quo fuerunt logarithmi omnium numerorum integrorum de1ad1000.Anno1624librum cuius titulus estArithmetica logarithmicaedidit, ubi logarithmos numerorum de 1 ad 10 000 et de 90 000 ad 100 000 calculavit.

Logarithmus secundum Napier non idem fuit atque logarithmus hodiernus; Briggs autem definitionem hodiernam habuit, secundum basin 10. Napier scivit summam exponentium cum numerorum producto cohaerere: si vis multiplicare b^xet b^y,non opus est multiplicationi, quod productum est b^x+y.Napier, si poterat basin b invenire ut omnes numerus N sit b^x,multiplicare per additionem poterat. Et facilius esset si indicesxessent parvi numeri, proximi inter se. Elegit ergo basin b = 0.9999999 = 1 - 10^-7,sed nunc indices (exponentes)nimisproximae inter se fuerunt. Napier igitur omnia per 10⁷multiplicavit. SitNap(x)functio eius: tunc Nap(x) non re vera est$\log _{0.9999999}(x)$.Si$x=10^{7}\left(1-{\frac {1}{10^{7}}}\right)^{L}$(hoc est, b^L× 10⁷), Nap(x) = L. Ut faciliter videtur, Nap(10⁷) = 0, et$Nap\left(10^{7}\left(1-{\frac {1}{10^{7}}}\right)\right)=1$.

Multiplicatio ergo additio fit:$Nap(a)+Nap(b)=Nap\left({\frac {ab}{10^{7}}}\right)$.Non exacte idem regulus est atque regulus logarithmorum verorum, quod necesse est punctum decimale movere post additionem, id quod autem perfacile est.

Quod$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}$,functio Nap(x) similis est functioni$\log _{\frac {1}{e}}(x)$.

Briggs autem illum numerum 10⁷e regulo eicere voluit. Functionem similem Nap(x) definit, dicamus Br(x), ut Br(1) = 0, Br(10) = 1; tunc Br(√10) =.5 etc. Functio Br(x) est logarithmus decimalis.

Eodem fere tempore,Iobst BürgimathematicusHelveticusprincipia logarithmorum invenit, sed nihil ante anno1620edidit.

Bibliographia

• Aigner, Martin, et Günter M. Ziegler.2001.Proofs from THE BOOK,editio altera. Berolini: Springer.ISBN 3540678654
• Anglin, W. S., et J. Lambek.1995.The Heritage of Thales.Berolini et Novi Eboraci: Springer.ISBN 038794544X.
• Bourbaki, Nicolas.1976.Fonctions d'une variable réelle,editio nova, 2007. Berolini et Novi Eboraci: Springer.ISBN 978-3-540-34036-2.
• Boyer, Carl B.1968.A History of Mathematics.Novi Eboraci: John Wiley & Sons.ISBN 0471093742.
• Bridger, Mark.2007.Real Analysis: A Constructive Approach.Hoboken: Wiley Interscience.ISBN 9780471792307.
• Hardy, G. H.1952.A Course in Pure Mathematics,ed. 10 (1992). Cantabrigiae.ISBN 0521092272.
• Krantz, Steven G.2005.Real Analysis and Foundations.Boca Raton: Chapman & Hall.ISBN 1584884835.
• Rudin, Walter.1974.Real and Complex Analysis,editio altera. Novi Eboraci: McGraw-Hill.ISBN 0-07-054233-3.

Nexus interni

• Spiralis logarithmica

Nexus externi

• Powered by Google Text & Tabellenapud docs.googleArithmetica Logarithmica(Anglice,Latine)
• Logarithmiapud Wolfram MathWorld(Anglice)
• Logarithmiapud PurpleMath(Anglice)
• Logarithme-- approche, historique, définitions(Francogallice)
• Logarithmen und Logarithmusgesitzeapud Mathematik.net(Theodisce)