Haaptsaz vun der elementarer Zuelentheorie

DenHaaptsaz vun der (elementarer)Zuelentheorieseet, datt all natierlech Zuel$n>1$ëmmer op eng eendeiteg Weis als Produkt vuPrimzueleka geschriwwe ginn. Dëst Produkt gëtt och nach Primzuelzerleeung vun$n$genannt.

De Beweis vum Haaptsaz gëtt meeschtens mat vollstänneger Induktioun gefouert an ass dobäi eng Konsequenz aus dem sougenannteLemma vum Euklid.Dat beseet, datt all natierlech Zuel, déi méi grouss wéi 1 ass, vun enger Primzuelgedeeltgëtt. Den Detail vum Beweis:

D'Zuel$n=2$ass eng Primzuel an deemno seng eegen eendeiteg Primzuelzerleeung. Et sief also$n\geq 2$eng natierlech Zuel sou, datt fir all natierlech Zuel$m\leq n$eng eendeiteg Primzuelzerleeung existéiert. Dann ënnersiche mer d'Zuel$n+1$.Et gëtt genee zwou Méiglechkeeten: Entweeder$n+1$ass nees eng Primzuel an domat seng eegen eendeiteg Primzuelzerleeung, oder et ass eng zesummegesat Zuel an et gëtt nom Euklid deemno eng Primzuel$p\leq n$,déi$n+1$deelt. Dann ass awer de Quotient$r={\frac {n+1}{p}}\leq n$eng vun deenen natierlechen Zuelen, fir déi mir scho wëssen, datt s'eng eendeiteg Primzuelzerleeung hunn. Domat ass awer och d'Produkt$rp=n+1$eendeiteg mat Hëllef vu Primzuelen ausdréckbar.