Furjė transformacija

Furjė transformacija– tam tikrastiesinis operatorius,transformuojantisfunkcijasį dažnių dedamąsias, tai yradažnių spektras.Pavyzdžiui, muzikinioakordotransformacija yra matematinis kiekvienosnatos,kurios sudaro akordą,amplitudžių(irfazių) pavaizdavimas. Bangos forma priklauso nuo laiko, tai vadinama laiko srities pavaizdavimu. Dažnio spektras yra dažnio funkcija ir tai vadinama dažnio srities pavaizdavimu. Kiekviena funkcijos vertė yrakompleksinis skaičius(kompleksinė amplitudė), kuri koduoja ir gylį ir fazės komponentę. Furjė transformacija apima ir transformavimo operaciją ir kompleksinės reikšmės funkcijas, kurias sukuria. Tai užrašoma:

$F(\omega )={\mathcal {F}}(f)(t)$.

Egzistuoja keletas Furjė transformacijos variantų:

$X_{1}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\,dt\ ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{2}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,$

$X_{2}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(\omega )=X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,$

$X_{3}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(2\pi f)=X_{2}(2\pi f)\,$

Čia$i$–menamasis vienetas,o$\pi$–pi.Jei$t$reiškialaiką,tai$f$–dažnį,o$\omega =2\pi f$–kampinį dažnį.

Atitinkamai esama įvairių atvirkštinės Furjė transformacijos variantų:

$x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }X_{1}(\omega )\ e^{i\omega t}\,d\omega \$

$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X_{2}(\omega )\ e^{i\omega t}\ d\omega \$

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X_{3}(f)\ e^{i2\pi ft}\,df\$

Istorija

1821 m. prancūzų matematikasFurjėpareiškė, kad bet kuri funkcija, tiektolydi,tiek netolydi, gali būti išplėsta į sinusų eilutę.