Hiugenso ir Frenelio principas

Šiam straipsniui ar jo daliaitrūksta išnašų į patikimus šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdamitinkamas išnašassu šaltiniais.

Bangos lūžis,interpretuotas su Hiugenso ir Frenelio principo pagalba.

Bangos difrakcija, interpretuota su Hiugenso ir Frenelio principo pagalba.

Hiugenso ir Frenelio principas(pavadintas pagal olandų fizikąChristianą Hiugensąir prancūzų fizikąAugustiną Žan Frenelį) – fizikinis principas, taikomasbangųsklidimo uždavinių analizėje. Jis teigia, kad kiekvienas sklindančios bangos paviršiaus taškas yra antriniųkoherentiniųbangų voros šaltinis. Besiplečianti banga šioje interpretacijoje gali būti įsivaizduota kaip visų antrinių bangų, sklindančių iš ankstesnių taškų, interferencija.

Pavyzdžiui, jei du kambariai yra sujungti praėjimu ir viename iš kambarių sukuriamasgarsasnuo praėjimo nutolusiame kampe, asmuo, esantis antrame kambaryje, girdės šį garsą, lyg jis sklistų iš praėjimo. Kol nagrinėjamas garsas antrame kambaryje, jo šaltinis yra oro virpesiai praėjime tarp kambarių. Panašiu būdu vyksta ir šviesos bangųdifrakcija,kuomet šviesa sutinka kliūtį, tačiau tai sunkiai pastebima kasdienybėje dėl trumpų regimos šviesosbangos ilgių

Hiugenso ir Frenelio principas formaliai seka iš kvantinės elektrodinamikos fundamentinių postulatų, teigiančių, kad kiekvieno objektobanginė funkcijasklinda visais įmanomais keliais iš šaltinio į nagrinėjamą tašką. Tokiu būdu šis principas yra visųkontūrinio integralų,apibrėžiančių objekto banginės funkcijosamplitudęirfazęinterferencijos(sudėties) pasekmė bei apibrėžiatikimybęaptikti objektą (tarkimfotoną) nagrinėjamame taške. Ne tik šviesoskvantai(fotonai), bei irelektronai,neutronai,protonai,atomai,molekulėsbei kiti nepaminėti objektai paklūsta šiam paprastam principui.

Difrakcija pro plyšį

Tegu banga, sklindanti iš taškinio šaltinio turi amplitudę$\psi$taške r, tuomet amplitudė yrabangų lygtiesdažnių erdvėje sprendinys

$\nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta (\mathbf {r} )$

kur$\delta (\mathbf {r} )$yra trimatėDirako delta funkcija.Delta funkcija turi tik radialinę priklausomybę, todėlLaplaso operatorius(skaliarinis Laplasianas)sferinėse koordinatėsegali būti supaprastintas iki

$\nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )$

Tiesiogiai įstatę, galime įsitikinti, kad šios lygties sprendinys yra skaliarinėGryno funkcija,kuri sferinėse koordinatėse (bei naudojant "fizikinę" laikinę priklausomybę$e^{-i\omega t}$) užrašoma taip:

$\psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}$

Šis sprendinys teigia, kad delta funkcijos šaltinis yra koordinačių sistemos pradžioje. Kuomet šaltinio padėtis yra taškas, į kurį iš koordinačių sistemos pradžios eina vektorius$\mathbf {r} '$,o nagrinėjamas bangos taškas yra apibrėžiamas vektoriumi$\mathbf {r}$,tuomet mes galime užrašyti skaliarinę Gryno funkcija taip

$\psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$

Tokiu būdu, jei elektrinis laukas, E_inc(x,y) krenta į plyšį, elektrinis laukas už plyšio yra surandamas iš sekančio paviršinio integralo:

$\Psi (r)\propto \int \!\!\!\int _{\mathrm {aperture} }E_{inc}(x',y')~{\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dx'\,dy',$

kur šaltinio taškas plyšyje yra

$\mathbf {r} '=x'\mathbf {x} +y'\mathbf {y}$

Tolimoje srityje (tolimasis laukas), kuomet iš plyšio sklindantis spinduliai yra apytiksliai lygiagretūs, Gryno funkcija

$\psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$

gali būti supaprastintai užrašyta kaip

$\psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {r} )}$

Bangos amplitudės išraiška tolimajame lauke (arba Frauenhoferio difrakcijos srityje) tampa

$\Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\int \!\!\!\int _{\mathrm {aperture} }E_{inc}(x',y')e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {r} )}\,dx'\,dy',$

Kadangi

$\mathbf {r} '=x'\mathbf {x} +y'\mathbf {y}$

ir

$\mathbf {r} =\sin \theta \cos \phi \mathbf {x} +\sin \theta ~\sin \phi ~\mathbf {y} +\cos \theta \mathbf {z}$

bangos lauko toliamajame lauke išraiška galutinai užrašoma kaip

$\Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\int \!\!\!\int _{\mathrm {aperture} }E_{inc}(x',y')e^{-ik\sin \theta (\cos \phi x'+\sin \phi y')}\,dx'\,dy'$

Tolimesnis išraiškos supaprastinimas gali būti pasiektas pakeitus koordinačių sistema. Tarkim,

$k_{x}=k\sin \theta \cos \phi \,\!$

ir

$k_{y}=k\sin \theta \sin \phi \,\!$

Gauname, kad Frauenhoferio difrakcijos metu, plokščią plyšį apšvietusi šviesa, už plyšio yra aprašoma integralu, esančiu kritusios šviesosFurjė atvaizdu.

$\Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\int \!\!\!\int _{\mathrm {aperture} }E_{inc}(x',y')e^{-i(k_{x}x'+k_{y}y')}\,dx'\,dy',$

Tokiu būdu, toli nuo plyšio, pro plyšį praėjusios šviesos laukas yra erdvinis elektrinio lauko plyšyje Furjė atvaizdas. Hiugenso principas pritaikytas difrakcijai pro plyšį teigia, kad tolimasis bangos laukas neša savyje informaciją apie jį sukūrusį plyšį.