Pi

Kitos reikšmės –Pi (reikšmės).

Graikų abėcėlės raidėpi

π(tariamapi,išgr.περιφέρεια– „apskritimas “) –matematinė konstanta,išreiškianti apskritimo ilgio ir skersmens santykį:

$\pi \ =C/D$

$\pi \approx 3{,}141592654$

Plačiai naudojamamatematikojeirfizikoje.Jos žymėjimui naudojama graikiška raidė π. Skaičiavimams dažniausiai naudojamadešimtainė trupmena3,14.

Euklido geometrijojeπ įeina į apskritimo ilgio bei ploto skaičiavimo formules. Daugumoje naujesnių knygų πanalitiškaiapibrėžiamatrigonometrinėmis funkcijomis,t. y. kaip mažiausią teigiamąx,kuriam sin(x) = 0.

π yraIracionalusis skaičius,taip pat nenustatyta ar yra kokia nors seka jo užrašymui, apytikslė šio skaičiaus reikšmė yra:

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 3...

Keletas istorinių skaičiaus pi racionaliųjų artinių yra:Ptolemėjonaudotas$3{\frac {17}{120}}$,Albrechto Diurerio$3{\frac {1}{8}}$ir žinomesnisArchimedoartinys${\frac {22}{7}}$.

Tikslesnę π išraišką galima rasti – Pi reikšmė(100 000 skaitmenų). Pi reikšmė failaisArchyvuota kopija2011-10-03 išWayback Machineprojekto. (5 trilijonai skaitmenų).

Žymėjimas

Skaičiaus pi žymėjimasgraikiška raidepi kilęs išgraikiškožodžio περιφέρεια, reiškiančio periferiją ir περίμετρον - apskritimo perimetras.Pirmą kartą tokį žymėjimą panaudojo William Oughtred (1574-1660), o pasiūlė naudoti William Jones (1675-1749).Labiausiai išpopuliarėjo pasirodžiusLeonardo Oilerioveikalui „Introducción al cálculo infinitesimal “, 1748 m.

Savybės

Apskritimo ilgio ir skersmens santykis – π

Pi yrairacionalusis skaičius,tai yra negali būti užrašytas kaip dviejųsveikųjų skaičiųsantykis. Tai1761metais įrodė šveicarų matematikasJohanas Heinrichas Lambertas(Johann Heinrich Lambert).1882metais įrodyta, kad skaičius yra transcendentinis, tai yra neegzistuoja toks daugianaris su racionaliais koeficientais, kurio šaknis būtų π.

Tuo pačiu neįmanoma išreikšti π reikšmės naudojant baigtinį kiekį sveikų ir racionalių skaičių bei jų šaknų. Tai reiškia, kad neįmanoma naudojantliniuotęirskriestuvąnubrėžti kvadrato, kurio plotas būtų lygus duoto apskritimo plotui. Toks uždavinys vadinamasskritulio kvadratūra.

Formulės su π

Geometrija

Pi naudojama daugelyjegeometriniųformulių, susijusių su apskritimais ir sferomis.

Geometrinė figūra	Formulė
Apskritimo ilgis(spindulys –r)	$C=2\pi r\,\!$
Skritulio plotas (spindulys –r)	$S=\pi r^{2}\,\!$
Elipsėsplotas (pusašėsairb)	$S=\pi ab\,\!$
Rutuliotūris(spindulys –r)	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,\!$
Sferos paviršiaus plotas (spindulys –r)	$S=4\pi r^{2}\,\!$
Ritiniotūris (aukštish,spindulysr)	$V=\pi r^{2}h\,\!$
Ritinio paviršiaus plotas (aukštish,spindulysr)	$S=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!$
Kūgiotūris (aukštish,spindulysr)	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!$
Kūgio paviršiaus plotas (aukštish,spindulysr)	$S=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!$

Taip pat 180° (laipsniais) kampas yra lygus πradianų.

Analizė

Daugelismatematinės analizėsformulių naudoja π, įskaitant begalines progresijas (ir baigtines sandaugas),integralusir specialiąsias funkcijas.

• Fransua Vijetas,1593:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots$

• Leibnicoformulė:

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

Tai dažniau pasitaikantis užrašymas, bet formalesnis užrašymas yra:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)={\frac {\pi }{4}}$

• Valio sandauga:

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

Atviri klausimai

Svarbiausias su π susijęs neatsakytas klausimas – ar tai normalusis skaičius, t. y. ar egzistuoja kokia nors nuspėjama skaitmenų seka ar kiekvienas tolesnis skaitmuo visai „atsitiktinis “. Tai galiotų ne tik dešimtainei sistemai. Dabartinės žinios yra pakankamai mažos – net nežinoma, kuris iš skaitmenų pasitaiko be galo dažnai.

Taip pat nežinoma, ar π ireyra algebriškai nepriklausomos konstantos, t. y. ar egzistuoja polinominis ryšys tarp π iresu racionaliaisiais koeficientais.

π prigimtis

Neeuklidinėje geometrijojetrikampio kampų suma gali būti didesnė ar mažesnė už π radianų, taip pat apskritimo ilgio ir spindulio santykis gali būti nelygus π. Tačiau tai nekeičia π apibrėžimo, tik formules, kuriose naudojama π. Taigi, π reikšmei neturi įtakos visatos forma, ji nėra fizikinė, bet matematinė konstanta, apibrėžta nepriklausomai nuo bet kokių fizikinių matavimų. Ji naudojama ir fizikoje tik todėl, kad yra patogi daugumoje modelių.

π kultūroje

• „Pi “– amerikiečių psichologinistrileris(1998 m.).
• „Pi diena“– matematikos mėgėjų minima kasmetkovo 14-ąją.

Šaltiniai

Šis straipsnis yra tapęs savaitės straipsniu.