Polinoms
Polinomsirfunkcija,kas izsakāma kā viena vai vairākumonomusumma no viena vai vairākiem mainīgajiem. Piemēram, funkcijair vienargumenta polinoms, kura mainīgais ir.ir divargumentu polinoms, kura mainīgie irun.
Polinoma jēdziens
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]Vispārīgajā gadījumā par polinomu (grieķu izcelsmes vārds;polinozīmē "daudz",nomē- "daļa" ) sauc jebkurumonomualgebrisku summu, t.i., ar plusa vai mīnusa zīmēm savienotus monomus, kurus sauc par polinoma locekļiem. Ja polinomā ir tikai divi saskaitāmie, tad polinomu sauc parbinomu,ja trīs saskaitāmie, tad partrinomu.Polinomus saskaitot, atņemot vai sareizinot, vienmēr rezultātā iegūst polinomu.
3x + 5 (lineārs binoms) 4x2+ 7x - 8 (kvadrāttrinoms) x3- 4x2+ 6x + 2 (trešās pakāpes polinoms)
Vispārīgajā gadījumān-tās pakāpes polinomu pieraksta šādi (polinoma normālforma):
P(x) = anxn+ an-1xn-1+ an-3xn-3+... + a2x2+ a1x + a0.
an,an-1,an-2,..., a2,a1,a0- polinomakoeficienti
n- polinoma pakāpe (naturāls skaitlis)
anxn- polinoma augstākās pakāpes loceklis
Ja kāds no polinoma koeficientiem (izņemot an) ir nulle, tad polinomu sauc par nepilnu n-tās pakāpes polinomu. Ja an= 1, tad polinomu sauc parreducētupolinomu. Skaitli ar kuru polinoma vērtība ir nulle, sauc par polinoma sakni. Polinoma sakne var būt gan reāls skaitlis, gan arīkomplekss skaitlis.
Darbības ar polinomiem
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]Divus polinomus sauc parvienādiem,ja ir vienādas to pakāpes un ir vienādi visi šo polinomu koeficienti pie vienādām mainīgā lieluma pakāpēm, kā arī ir vienādibrīvie locekļi. Parnulles polinomusauc polinomu, kuram visi koeficienti ir vienādi ar nulli.
Polinomu saskaitīšana un atņemšana
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]Par divu polinomu summu (starpību) sauc polinomu, kuru iegūst saskaitot (atņemot) dot polinomu koeficientus pie vienādiem mainīgā lieluma pakāpēm,piemēram,(3x2- 4x + 1) - (x2+ 7x -4) = 2x2- 11x + 5.No piemēra redzams, ka saskaitīt (atņemt) var arī dažādu pakāpju polinomus; tad summā iegūtā polinoma pakāpe ir vienāda ar saskaitāmo polinomu lielāko pakāpi. Saskaitot (atņemot) vienādu pakāpju polinomus, iegūst polinomu ar tādu pašu (vai mazāku) pakāpi. Acīmredzami polinomu saskaitīšanai ir spēkā komutatīvā un asociatīvā īpašība.
Polinomu reizināšana
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]Par divu polinomuPn(x) = anxn+ an-1xn-1+ an-3xn-3+... + a2x2+ a1x + a0unQm(x) = amxm+ am-1xm-1+ am-3xm-3+... + a2x2+ a1x + a0reizinājumu sauc polinomu, kura koeficientus atrod šādi:
brīvais loceklisira0b0;
koeficients pie xira0b1+ a1b0;
koeficients pie x2ira0b2+ a1b1+ a2b0;
koeficients pie x3'ira0b3+ a1b2+ a2b1+ a3b0.
Praktiski divus polinomus reizina, pareizinot katru pirmā polinoma locekli ar katru otrā polinoma locekli un saskaitot iegūtos rezultātus. Reizinājumā iegūtā polinoma pakāpe ir vienāda ar doto polinomu pakāpju summu n + m. Polinomu reizināšanai ir spēkā komutatīvā, asociatīvā un distributīvā īpašība attiecībā pret polinomu summas reizināšanu ar polinomu.
Polinomu dalīšana
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]Par divu polinomu Pn(x) un Qm(x) dalījumu sauc tādu polinomu Sk(x), kuru reizinot ar Pn(x) iegūst polinomu Qm(x), t.i.,
Qm(x): Pn(x) = Sk(x), ja Pn(x) * Sk(x) = Qm(x).
Taču ne katriem diviem polinomiem dalījums eksistē. Acīmredzami dalīt polinomu Qm(x) ar Pn(x) var tikai tad, ja m ≥ n, t.i., ja dalāmā polinoma pakāpe m nav mazāka par dalītāja polinoma pakāpi n; pie tam k = m - n. No dalījuma definīcijas izriet polinomu dalīšanas algoritms.
Polinomu dalīšana ar binomux - a.Bezū teorēma.
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]Polinomu algebrā īpaši aplūko gadījumu, kad polinoms ir jādala ar binomux - a.Viegli pārliecināties, ka šādā gadījumā dalīšanas atlikums ir noxneatkarīgs lielums (skaitlis)r.Ja polinomu ar binomu var izdalīt bez atlikuma, tad atlikumsr = 0.
Bezū teorēma(Etjēns Bezū(1730 - 1783) - franču matemātiķis): Ja, dalot Q(x) ar binomux - a,iegūst atlikumur,tad r = Q(a), t.i., dalīšanas atlikums ir vienāds ar polinoma Q(x) vērtību punktāa.
Pierādījums.Apzīmēsim S(x) dalīšanas rezultātā iegūto polinomu. Tad ir spēkā vienībaQ(x) = S(x)(x - a) + r.Šī vienība ir pareiza ar visāmxvērtībām. Ievietojot vienādībāxvietā skaitlia,iegūstam, kaQ(a) = S(a)(a - a) + r,No kurienesQ(a) = r.Līdz ar to teorēma ir pierādīta.
Secinājums.PolinomuQ(x)var izdalīt bez atlikuma ar binomux - atad un tikai tad, ja skaitlisair šī polinoma sakne (Q(a) = 0).
Bezū teorēmas secinājumu lieto, sadalot polinomus reizinātājos, saīsinot algebriskās daļas, atrisinot dažādas augstāku pakāpju algebriskus vienādojumus, ja ir zināma viena vai vairākas saknes.
Binomi un trinomi
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]Polinomus var sīkāk iedalīt pēc tā saskaitāmo skaita, tas ir, pēc monomu skaita. Polinomu, kurš sastāv no diviemmonomiem,sauc par binomu. Piemēram,
- ir binoms.
Savukārt, polinomu, kurš sastāv no trim monomiem, sauc par trinomu. Piemēram,
- ir trinoms.
Polinomu īpašības
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]- Jebkura vienargumenta polinoma definīcijas apgabals ir visureālo skaitļukopaR.
- Jebkuru divu polinomu no viena mainīgāsumma, starpība un reizinājums arī ir polinoms no;
- Jebkurš no konstantes atšķirīgs polinoms ir neierobežota funkcija;
- Polinomus atvasinot un integrējot atkal iegūst polinomus.
Polinoma pakāpe
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]Par vienargumenta polinoma pakāpi sauc lielāko kāpinātāju kāds ir pie tā mainīgā. Piemēram,ir 2. pakāpes polinoms,ir 1. pakāpes polinoms utt. Parasti kāda polinomapakāpi apzīmē ar.
Skatīt arī
[labot šo sadaļu|labot pirmkodu]![]() | Šis armatemātikusaistītais raksts irnepilnīgs.Jūs varatdot savu ieguldījumuVikipēdijā,papildinot to. |
|