Квадратна функција

Поврзано:Квадратна равенка

Квадратна функција

Дефиниција и основни својства

Воматематика,квадратна функцијаефункцијачиј графикон е вертикалнапараболаворамнина,односно квадратна функција еполиномна функцијаод втор степен од еднанезависнo променливах.

Воексплицитен обликимаме:f(x)=ax²+bx+cилиу(x)=ax²+bx+cилиy=ax²+bx+c,каде штоа≠0.

Коефициентитеa,bиcсеконстанти,односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а остануваатxиyкакопроменливи.На пример:у(x) =x²-2x-3 е квадратна функција соa=1,b=-2 иc=-3. Множеството надопуштени вредностина секоја квадратна функција еR,т.е. сите реални броеви. Значи, било кој реален број може да „влези “во квадратна функција, односно да биде замената захво функцијата. Сликата, т.е. множеството на сите излезни вредности eподмножествонаR.На пример, сликата на квадратната функцијаf(x)=x²е множествотоR⁺=[0,∞), односно множеството на ненегативни реални броеви. Друг пример: сликата на квадратната функцијау(x) =x²-2x-3 еy∈[-4,∞) (види слика надесно).

Параболата која е графикон на квадратна функција има вертикална симетралаx=^-b⁄_2a(низ темето). Параболата се отвора нагоре акоa>0, а се отвори надолу акоa<0. Квадратна функција има точно еден пресек соу-оската во точката (0,с). Темето на параболата е точката: (^-b⁄_2a,y(^-b⁄_2a)).

Квадратна функција може да има 2, 1 или 0корени.Корените сереалнитерешенија (доколку има) наквадратната равенкаax²+bx+c=0 која може да се реши користејќи јаквадратната формулаx₁,x₂=^-b±D⁄_2a,D=√b²-4ac.Се потенцира дека само реални решенија на оваа равенка се корени. Ако D>0, функцијата има 2 корени. Ако D=0, функцијата има 1 корен. Ако D<0, Функцијата нема корен. Бројот на корените е еднаков на бројот на пресеците на параболата сох-оската.

Пример примена на квадратна равенка: Висинаhкако функција на времеtна предмет истрелен директно нагоре со почетна брзинаv₀и со почетна висинаh₀се опишува со квадратна функција: h(t)=^9.81⁄₂•t²+v₀•t+h₀.

$f(x)=x^{2}-2x$	$f(x)=-x^{2}+4x-4$	$f(x)={\frac {x^{2}}{2}}+x+1$
a=1,b=-2,c=0	a=-1,b=4,c=-4	a=0.5,b=1,c=1
y-пресек (0,0)	y-пресек (0,-4)	y-пресек (0,1)
D= (-2)2=4 >0	D= (-4)2-4•4 =0	D= (1)2-4•0.5•1 =-1 <0
x1=2 иx2=0	x1=x2=2	x1иx2не постојат!
два различни корени	еден единствен корен	нема корен
Теме: (-1,1)	Теме: (2,0)	Теме: (-1,0.5)