Реден број

Вотеоријата на множествата,реден бројилиординале поредочниот тип на еднодобро подредено множество.Ваквите броеви обично ги среќаваме кај наследнотранзитивнимножества.Ординалите се продолжение наприродните броевикои се поинакви одцелите броевиикардиналите.Како и другите видови броеви, редните броеви можат да се собираат, множат и степенуваат.

Претставување на редни броеви до ω^ω.Секој свиок на спиралата претставува една моќност на ω

Во формален контекст, редните броеви во математиката ги вовелГеорг Канторво 1897 година со намера да ги опфатибесконечнитенизи и да ги класификува множествата според извесни видови напоредочниструктури. Кантор впрочем ги открил сосем случајно, работејќи на проблем во тригонометриски низи.

Конечните редни броеви (и конечните кардинали) ги претставуваат природните броеви: 0, 1, 2,…, бидејќи било кои две подредувања на едно конечно множество се поредочно изоморфни. Најмалиот бесконечен реден број е ω, кој сеасоцирасо кардиналниот бројℵ₀.Меѓутоа во случајот натрансконечност,редните броеви по ω ординалите имаат поподробни својства од кардиналите бидејќи се носители на редослед. имаме само еден преброиво бесконечен кардинал, т.е. самиот ℵ₀,there are непреброиво многу преброиво бесконечни ординали, т.е.

ω, ω + 1, ω + 2,…, ω·2, ω·2 + 1,…, ω²,…, ω³,…, ω^ω,…, ω^ωω,…, ε₀,….

Тука собирањето и одземањето не се комутативни: поточно 1 + ω е ω наместо ω + 1 и така 2·ω е ω наместо ω·2. Множеството на сите преброиви ординали го сочинува првиот непреброив ординал ω₁,кој се асоцира соℵ₁(следниот кардинал по ℵ₀). Добро подредените кардинали се совпаѓаат со нивните првични ординали, т.е. најмалиот ординал со таа даденакардиналност.„Кардиналноста на редниот број “ја определува асоцијацијата „еден на повеќе “од ординали на кардинали.

Општо земено, секој ординал α е „поредочен тип на множеството редни броеви “без самиот ординал α. Ова својство овозможува секој ординал да се претстави како множество од сите ординали помали од него. Ординалите можеме да ги класификуваме како: нула, следбени ординали и гранични ординали (со разникоконечности). Ако имаме „класа на ординали “, можеме да го утврдиме α-тиот член на таа класа, т.е. можеме да ги наброиме. Ваквата класа е затворена и неограничена ако нејзината функцијата на редење енепрекинатаи не никогаш запира.Канторовиот нормален обликго претставува секој ординал засебно како конечен збир од ординалните степени на ω. Меѓутоа, ова не може да биде основа за универзално претставување на ординалите поради самоодносните претстави како ε₀= ω^ε₀.Можеме да дефинираме сè поголеми ординали, но така тие стануваат сè потешки за опишување. Секој реден број може да се претвори вотополошки простордавајќи мупоредочна топологија.Оваа топологија ќе бидедискретнаако и само акоординалот е преброив кардинал, т.е. највеќе ω. Едно подмножество на ω + 1 ќе биде отворено во поредончната топологија ако и само ако е коконечно или не го содржи ω какоелемент(не обете).

Поврзано

• Броење
• Алеф-број

Наводи

• Cantor, G., (1897),Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II(tr.: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II), Mathematische Annalen 49, 207-246превод на англиски.

Надворешни врски

• „Реден број“од Ерик В. Вајсштајн —MathWorld(англиски)

• Редни броеви- ProvenMath(англиски)