Matematika
Il-kelmaMatematikaġejja mill-Griegμάθημα (máthema), li tfisser "tgħalim", jew "xjenza"; μαθηματικός (mathematikós) tfisser "wieħed li jrid jitgħallem".
Fid-dixxiplina tal-Matematika nistudjaw problemi dwar il-kwantità, estensjoni u figuri spazjali, moviment tal-korpi, u l-istrutturi kollha fejn nistgħu neżaminaw dawn l-aspetti b'mod ġenerali.
Il-Matematikagħandha tradizzjoni qadima fil-ġnus kollha; kienet l-ewwel dixxiplina li adottat metodi rigorużi ħafna, u b'hekk laħqet l-istatus ta’xjenza;progressivament il-metodi tagħha żviluppaw u nfirxu ma ħafna oqsma fejn jistgħu ikunu ta’ għajnuna fil-komputazzjoni u l-immudellar.
Storja
[immodifika|immodifika s-sors]- Biex tapprofondixxi, ara l-artiklu:Kronoloġija tal-matematika.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/15px-Fairytale_warning.png)
Analisi Matematika
[immodifika|immodifika s-sors]L-analisi matematikabdiet mill-formulazzjoni rigoruża tal-kalkulu infiniteżmali.Hija fergħa tal-matematikali tikkonċentra fuq l-ideja tal-limitu:il-limitu ta’ suċċessjonijew il-limitu ta’ funzjoni.Tinkludi wkoll it-teoriji tad-differenzazzjoni,integrazzjoniumeżura,serji infiniti,ufunzjonijiet analitiċi.L-istudju ta’ dawn it-teoriji ħafna drabi jsir fil-kuntest tan-numri reali,numri komplessi,ufunzjonijietreali u komplessi. Madankollu, nistgħu niddefinixxu u nistudjaw dawn it-teoriji f’kullspazjuta’ oġġetti matematiċi li fih hu possibbli li nagħtu definizzjoni ta’ "distanza" (spazju metriku) jew iżjed ġenerali ta’ "qrubija" (spazju topoloġiku).
Għaliex l-Analisi Astratta?
[immodifika|immodifika s-sors]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Hilbert.jpg/200px-Hilbert.jpg)
Għandna nistudjaw l-analisi matematika fil-kuntest iżjed wiesa' ta’ l-ispazji topologiċi jew spazji metriċi għal żewġ raġunijiet:
- l-ewwel, għax l-istess metodi bażiċi ħafna drabi japplikaw għal klassi ta’ problemi li hi ħafna usa’ (pereżempju, l-istudju ta’spazji ta’ funzjonijiet).
- it-tieni, u mhux inqas importanti, għax meta nifhmu l-analisi fi spazji aktar astratti sikwit nsibu li nistgħu napplikawha direttament għal problemi klassiċi. Pereżempju, fl-analisi ta’ Fourier,nistgħu nesprimu kull funzjoni bħala ċerta serje infinita (ta’ funzjonijiet trigonometriċi jew esponenzjali komplessi). Fiżikament, b’din id-dekompożizzjoni nirriduċu mewġa (tal-ħoss) arbitrarja fil-frekwenzi li jikkomponuha. Il "piżijiet" jew koeffiċjenti tat-termini fl-espansjoni ta’ Fourier ta’ funzjoni, jistgħu jitqiesu bħala l-komponenti ta’ vettur fi spazju ta’ dimensjoni infinita li nsibuh bħalaspazju ta’ Hilbert.Mela l-istudju tal-funzjonijiet definiti f’dil-qagħda iżjed ġenerali jipprovdi metodu konvenjenti għad-derivazzjoni ta’ riżultati fuq kif il-funzjonijiet ivarjaw fl-ispazju u mal-ħin, jew f’termini aktar matematiċi fuq l-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali,fejn din it-teknika nafuha bħala separazzjoni tal-varjabbli.
Storja tal-Analisi Matematika
[immodifika|immodifika s-sors]Il-matematiċi GriegibħalEwdossuuArkimedemeta applikaw il-metodu ta’ l-eżawrimentbiex jikkalkulaw l-arja u l-volum ta’ xi reġjuni u solidi użaw il-kunċetti tal-limiti u l-konvergenza b’mod informali. Fl-Indja,il-matematiku tas-seklu 12,Bhaskaraġa kellu l-ideja tal-kalkulu differenzjaliu ta eżempji tad-derivata,flimkien mal-propożizzjoni ta’ dik li nsejħulu llum it-Teorema ta’ Rolle.
Fis-seklu 14,l-analisi matematika bdihaMadhava ta’ Sangamagrama,meqjus bħala l- "fundatur ta’l-analisi matematika".Hu żviluppa idejat fundamentali: l-iżvilupp ta’ funzjoni f’serje infinita,serje ta’ potenzi,is-serje ta’ Taylor,u l-approssimazzjoni razzjonali ta’ serje infinita. Żviluppa wkoll is-serje ta’ Taylor għall-funzjonijiet trigonometriċitas-senu,kosenu,tanġentiuarktanġenti,u stima l-iżbal li nagħmlu meta naqtgħu is-serje. Żviluppa l-frazzjonijiet kontinwatiinfiniti, l-integrazzjonib’termini wara termini, l-approssimazzjoni b’serje ta’ Taylor tas-senu u kosenu, u s-serje f’potenzi tar-raġġ,diametru,ċirkonferenza,π,π/4 u l-angluθ.Id-dixxipli tiegħu fl-iSkola ta’ Keralabaqgħu ikkabru x-xogħol tiegħu sas-seklu 16.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg/200px-Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg)
Fl-Ewropa, fit-tieni nofs tas-seklu 17,NewtonuLeibnizindependement minn xulxien żviluppaw il-kalkulu, li bl-istimulu ta’ l-applikazzjonijiet matul is-seklu 18rabba ħafna friegħi bħall-kalkulu tal-varjazzjonijiet,l-ekwazzjonijiet differenzjali ordinarjiuparzjaliu l-analisi ta’ Fourier.F’dal-perijodu, il-metodi tal-kalkulu ġew applikati biex japprossimawproblemi diskretib’oħrajn kontinwi.
Fis-seklu18,Eulerintroduċa il-kunċett ta’funzjoni matematika.Fis-seklu19,Cauchykien l-ewwel li stabbilixa l-kalkulu fuq pedament loġiku sod bl-introduzzjoni ta’ l-ideja tas-suċċessjoni ta’ Cauchy.Beda wkoll it-teorija formali ta’ l-analisi komplessa.Poisson,Liouville,Fourieru oħrajn studjaw l-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali u l-analisi armonika.
F’nofs is-sekluRiemannintroduċa t-teorija tiegħu tal-integrazzjoni.F’l-aħħar terz tas-seklu 19,Weierstrassli l-fehma tiegħu kienet li l-argumenti ġometriċi jistgħu iqarqu bina, daħħal l-aritmetizzazzjoni ta’ l-analisi u introduċa id-definizzjoni "epsilon-delta" tal-limitu.Wara, il-matematiċi bdew jinkwietaw li kienu qegħdin jassumu l-eżistenza tal-kontinwutan-numri realimingħajr prova.Dedekindimbagħad ta kostruzzjoni tan-numri reali bil-methodu tal-qtugħ ta’ Dedekind,li bih il-matematiċi jikkrejaw numri rrazzjonali li jimlew il- "vojt" bejn in-numri razzjonali, u hekk joħolqu settkomplet:il-kontinwu tan-numri reali. Madwar dak iż-żmien l-isforzi għar-raffinar tat-teoremita’ l-integrazzjoni ta’ Riemannwasslu għall-istudju tal- "qies" tas-sett tad-diskontinwitajiettal-funzjonijiet reali.
Fl-istess ħin, bdew jinħolqu "mostri"(funzjonijietmkien kontinwi,funzjonijiet kontinwi imma mkien differenzjabbli,kurvi li jimlew l-ispazju). F’dal-kuntest,Jordanżviluppa t-teorija tiegħu tal-meżura,Cantorżviluppa dik li daż-żmien insejħulha it-teorija sempliċi tas-settijiet,uBaireipprova it-teorema tal-kategoriji ta’ Baire.Fil-bidu tas-seklu 20,il-kalkulu ġie formalizzat b’l-użu tat-teorija assjomatika tas-settijiet.Lebesgueirriżolva l-problema tal-miżura, uHilbertintroduċa l-ispazji ta’ Hilbertbiex jirriżolvi l-ekwazzjonijiet integrali.L-ideja ta’ l-ispazji vettorjali normatikienet infirxet, u f’l-20ijiet tas-sekluBanachħoloq l-analisi funzjonali.
Oqsma ta' l-Analisi
[immodifika|immodifika s-sors]L-Analsi Matematika tinkludi dawn l-oqsma:
- Analisi Reali,l-istudjurigorużtad-derivatiu l-integralita’ funzjonijiet b’varjabbli reali. Dan jinkludi l-istudju tas-suċċessjonijietu l-limititagħhom, is-serji,u l-meżuri.
- Analisi Komplessa,l-istudju ta’ funzjonijiet mill-pjan komplessgħall-pjan kompless li huma komplessament differenzjabbli.
- Analisi Funzjonali,l-istudju ta’ spazji ta’ funzjonijiet b’l-użu ta’ kunċetti bħalspazji ta’ Banachuspazji ta’ Hilbert.
- Analisi Armonikal-istudju tas-serji ta' Fourieru l-astrazzjonijiet tagħhom..
- Ġometrija Differenzjali u Topoloġija,l-applicazzjoni tal-kalkulu għal spazji matematiċi astratti li għandhom struttura interna komplikata.
- Analisi Numerika,l-istudju ta’ l-algoritmi użati għall-approssimazzjoni ta’ problemi tal-matematika kontinwa.
Il-kelmaAnalisi Klassikas-soltu tfisser analisi mingħajr l-użu tal-metodi tal-analisi funzjonali. L-istudju tal-ekwazzjonijiet differenzjaliissa huwa mferrex ma friegħi oħra bħas-sistemi dinamiċi,imma ġħadu mportanti ħafna fl-analisi konvenzjonali.
Alġebra
[immodifika|immodifika s-sors]L-alġebrahi waħda mill-friegħi prinċipali tal-matematikau titratta l-istudju ta’strutturi alġebrin,relazzjonijietukwantità.
Il-kelma alġebra (mill-Għarbi الجبر,al-ġabrli tfisser "ġabra" ) ġejja mill-isem tal-ktieb tal-matematikuPersjanGħarbiMuħammad ibn Musa al-Khwariżmi,intitolatAl-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala( "Il-Ktieb tal-Ġabra u t-Tqabbil" ), li jittratta ir-riżoluzzjoni tal-ekwazzjonijiet linjariukwadratiċi.
L-alġebra elementarili normalment tifforma parti mill-kurrikulu ta’ l-iskejjel sekondarji, tintroduċi l-ideja ta’simbolijewvarjabblili jirrepreżentaw kwantitajiet mhux magħrufa. Nitgħalmu wkoll kif ngħoddu u nimmoltiplikaw dawn il varjabbli, fuq il-polinomji mibnija minnhom u l-fattorizzazzjoni u l-kalkulazzjoni tar-radiċi. Però, l-alġebra hi ħafn’ usa’ minn hekk. L-għadd u l-moltiplikazzjoni nistgħu nqisuhom bħalaoperazzjonietġenerali u d-definizzjoni eżatta tagħhom twassalna għal strutturi ġodda bħalgruppi,ċriekiukampi.
Klassifikazzjoni
[immodifika|immodifika s-sors]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/15px-Fairytale_warning.png)
L-Alġebra Elementari
[immodifika|immodifika s-sors]L-Alġebra elementarihija l-forma l-iżjed bażika ta’ l-alġebra. Jitgħalmuha l-istudenti li m’għandhomx tgħalim tal-mathematika iżjed avvanzat mill-prinċipji bażiċi ta’ l-aritmetika. Fl-aritmetika, nsibu biss in-numri u l-operazzjonijiet aritmetiċi fuqhom (bħal +, −, ×, ÷). Fl-alġebra, in-numri spiss nirripreżentawhom bis-simboli (bħala,x,y). Din ir-repreżentazzjoni għandha dawn il-vantaġġi:
- Biha nistgħu nagħtu formulazzjoni ġenerali tar-regoli aritmetiċi (pereżempjua+b=b+agħal kullaub), u hekk nistgħu nagħmlu l-ewwel pass fl-esplorazzjoni sistematika tal-propjetajiet tas-sistema tan-numri reali.
- Biha nistgħu nirreferu għan-numri "mhux magħrufin", nifformulaw ekwazzjonijiet u nistudjaw kif nirriżolvuhom (pereżempju, "Sib numruxsabiex 3x+ 1 = 10 ").
- Biha nistgħu nagħmlu formulazzjoni ta’ relazzjonijiet funzjonali (bħal "Jekk tbigħxbiljetti, jkollok qligħ ta’ 3x- 10 ewri, jewf(x) = 3x- 10, fejnfhija l-funzjoni uxhuwa n-numru li taġixxi fuqu l-funzjoni. ").
X'inhi l-Alġebra Astratta
[immodifika|immodifika s-sors]L-'alġebra astratta’testendi il-kunċetti li nsibu fl-alġebra elementari għal oħrajn iżjed ġenerali.
Settijiet:Minnflok nikkunsidraw biss it-tipi ta’numridifferenti, fl-alġebra astratta nqisu il-kunċett iżjed ġenerali ta’settli hu ġabra ta’ oġġetti (li jgħidulhomelementi) li għandhom ċerta propjetà speċifika għas-sett. Pereżempju in-numri reali jiffurmaw sett u n-numri komplessi sett ieħor. Eżempji oħra ta’ settijiet jinkludu is-sett tal-matriċita’ tnejn-bi-tnejn, is-sett tal-polinomjitat-tieni ordni (ax2+bx+c), is-sett tal-vetturibi-dimensjonali, ugruppi finitivarji bħall-gruppi ċikliċi,jiġifieri l-gruppi tan-numri interimodulon.It-Teorija tas-settijiethija fergħa tal-loġikau teknikament mhux fergħa ta’ l-alġebra.
Operazzjonijiet binarji:L-ideja ta’ l-għadd(+) nistgħu nagħmluha iżjed astratta biex ittinaoperazzjoni binarja,* ngħidu aħna. Il-kunċett ta’ operazzjoni binarja ma jfisser xejn jekk ma nagħtux is-sett li fuqu qed niddefinixxu l-operazzjoni. Għal żewġ elementiaubf’settSa*bittina element ieħor fis-sett, (dil-kundizzjoni ngħidulhagħeluqtaħt l-operazzjoni). L-Għad(+), it-Tnaqqis(-), il-moltiplikazzjoni(×), u d-diviżjoni(÷) huma operazzjonijiet binarji meta niddefinuhom fuq settijiet addattati, kif ukoll l-għadd u l-moltiplikazzjoni tal-matriċi, vetturi u polinomji.
Elementi ta’ l-identità:Il-kunċett ta’ l- “element ta’ l-identità” huwa l-astrazzjoni tan-numri żero u wieħed. Żero huwa l-element ta’ l-identità għall-għadd and u wieħed l-element ta’ l-identità għall-moltiplikazzjoni. Għal operazzjoni binarja ġenerali * l-element ta’ l-identitàeirid jissodisfaa*e=aue*a=a.Għall-għadd din hi sodisfatta billia+ 0 =au 0 +a=au għall-moltiplikazzjini wkoll għaxa× 1 =au 1 ×a=a.Imma, jekk nieħdu in-numri naturali pożitivi u l-operazzjoni ta’ l-għadd, m’hemmx element ta’ l-identità.
Elementi inversi:Minn-numri negattivi noħolqu l-kunċett ta’element inversjew sempliċiment l-invers.Għall-għadd, l-invers ta’ahuwa-a,u għall-moltiplikazzjoni l-invers hu 1/a.L-element invers ġeneralia-1jrid jissodifa r-relazzjonia*a-1=eua-1*a=e.
Assoċjattività:L-għadd tan-numri interi għandu propjetà li nsejħulha assoċjattività. Jiġifieri, l-kumbinazzjoni tan-numri li nkunu qed nogħdu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: (2+3)+4=2+(3+4). Fil-kuntest generali, din issir (a*b) *c=a* (b*c). Il-biċċa kbira ta’ l-operazzjonijiet binarji għandhom din il-propjetà imma t-tnaqqis u d-diviżjoni le.
Kommutattività:L-għadd tan-numri interi għandu wkoll propjetà oħra li ngħidulha kommutattività. Jiġifieri, l-ordni tan-numri li nkunu qed nogħdu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: 2+3=3+2. Fil-kuntest generali, din issira*b=b*a.Mhux l-operazzjonijiet binarji kollha għandhom din il-propjetà. L-għadd u l-moltiplikazzjoni tan-numri interi għandhom din il-propjetà imma l-moltiplikazzjoni tal-matriċile.
Gruppi—strutturi ta’ sett b’operazzjoni binarja waħda
[immodifika|immodifika s-sors]Meta niġbru flimkien il-kunċetti li rajna qabel, ikollna waħda mill-iżjed strutturi mportanti fil-matematika: il-grupp.Grupp jikkonsisti f’settSuoperazzjoni waħdali rridu, li niktbuha '*', imma li jrid ikolla dawn il-propjetajiet:
- Irid ikun hemm element ta’ l-identitàe,li għal kull membru ieħorata’S,e*aua*ehuma t-tnejn ugwali għala.
- Kull element irid ikollu invers: għal kull membru ieħorata’S,irid jeżisti membrua-1sabiexa*a-1ua-1*ahuma t-tnejn ugwali għall-element ta’ l-identità.
- L-operazzjoni hi assoċjattiva: għala,bucmembri ta’S,(a*b) *chija ugwali għala* (b*c).
Jekk grupp hu ankikommutattiv- jiġifieri, għal kull żewg membriaubta’S,a*bhija ugwali għalb*a– il-grupp ngħidu li huAbeljan.
Pereżempju, is-sett tan-numri interi bl-operazzjoni ta’ l-għadd huwa grupp. F’dal grupp, l-identità hija 0 u l-invers ta’ kull elementahuwa n-negativ tiegħu, -a.Il-kundizzjoni ta’ assoċjattività hi sodisfatta, għax għal kull tliet numri interia,buc,(a+b) +c=a+ (b+c).
Imma l-interi bl-operazzjoni tal-moltiplikazzjoni ma jiffurmawx grupp. Dan jiġri għax, in ġenerali, l-invers moltiplikattiv ta’ numru interu mhuwiex interu. Pereżempju, 4 huwa interu, imma l-invers moltiplikattiv tiegħu hu 1/4, li mhux interu.
L-istudju tal-gruppi jsir fit-teorija tal-gruppi.Wieħed mir-riżultati l-iżjed importanti f’din it-teorija kien il-klassifikazzjoni tal-gruppi finiti sempliċili l-ikbar parti tagħha ġiet ippublikata bejn xi l-1955 u l-1983. Din tqassam il-gruppi sempliċifinitif’xi 30 tip bażiku.
Eżempji(MA = Mhux Applikabbli, bż = bla żero) | ||||||||||
Sett: | Numri naturali | Numri interi | Numri razzjonali,Numri realiuNumri komplessi | Interi mod 3: {0,1,2} | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Operazzjoni | + | × (bż) | + | × (bż) | + | − | × (bż) | ÷ (bż) | + | × (bż) |
Magħluq | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva |
Identità | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | MA | 1 | MA | 0 | 1 |
Invers | MA | MA | -a | MA | -a | a | a | 0,2,1, respettivament | MA, 1, 2, respettivament | |
Assoċjattiv | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Le | Iva | Le | Iva | Iva |
Kommutativ | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Le | Iva | Le | Iva | Iva |
Struttura | monoid | monoid | grupp Abeljan | monoid | grupp Abeljan | kważigrupp | grupp Abeljan | kważigrupp | grupp Abeljan | grupp Abeljan () |
Semigruppi,kważigruppi,umonoidihuma strutturi simili għall-gruppi, imma iżjed ġenerali. Jikkonsistu f’sett u operazzjoni binarja magħluqa, imma ma jissodisfawx il-kondizzjonijiet l-oħra neċessarjament.Semigruppgħandu operazzjoni binarjaassoċjattiva,imma jista’ jkun li m’għandux element ta’ l-identità.Monoidhuwa semigrupp li għandu identità imma jista’ jkun li m’għandux invers għal kull element.Kważigruppgħandu l-propjetà li kull element jista’ jinbidel f’kull ieħor bi pre- jew post-operazzjoni unika; imma l-operazzjoni binarja jista’ jkun li mhux assoċjattiva.
Il-gruppi kollha huma monoidi, u l-monoidi kollha huma semigruppi.
Ċrieki u Kampi—strutturi ta’ sett b’żewġ operazzjonijiet binarji, (+) u (×)
[immodifika|immodifika s-sors]Il-gruppi għandhom operazzjoni binarja waħda biss. Biex nispjegaw il-mekkaniżmu tat-tipi ta’ numri differenti kompletament, hemm bżonn li nistudjaw strutturi b’żewġ operazzjonijiet. L-iżjed importanti fost dawn huma ċ-Ċrieki,u l-Kampi.
Id-Distributtivitàtiġġeneralizza l-liġi distributtivatan-numri u tiffissa f’liema ordni għandna napplikaw l-operazzjonijiet, (ngħidulha l-preċedenza). Għall-interi (a+b) × c =a×c+b×cuc× (a+b) =c×a+c×b,u ngħidu li × hijadistributtivafuq +.
Ċirkugħandu żewġ operazzjonijiet (+) u (×), fejn × hu distributtiv fuq +. Taħt l-ewwel operazzjoni (+) jifformagrupp Abeljan.Taħt it-tieni operazzjoni (×) hu assoċjattiv, imma m’hemmx bżonn ta' identità jew ta' invers, u allura ma nistgħux niddividu. L-element ta’ l-identità ta’ l-għadd (+) niktbuha bħala 0 u l-inverse ta’ l-għadd ta’ajinkiteb -a.
In-numri interi huma eżempju ta’ ċirku.
Kamphuċirkub’propjetà oħra miżjuda li l-elementi kollha barra 0 jiffurmawgrupp Abeljantaħt ×. L-identità moltiplikattiva (×) niktbuha bħala 1 u l-invers moltiplikattiv ta’ajinkiteba-1.
In-numri razzjonali, in-numri reali u n-numri komplessi huma kollha eżempji ta’ kampi.
Alġebriet
[immodifika|immodifika s-sors]Il-kelmaalġebranużawha wkoll għal xistrutturi alġebrin:
- Alġebra fuq kamp
- Alġebra fuq sett
- Alġebra Boolejana
- F-alġebrauF-koalġebrafit-teorija tal-kategoriji
- Sigma-alġebra
Storja ta' l-alġebra
[immodifika|immodifika s-sors]L-alġebra nistgħu nsibu l-oriġini tagħha fil-Babilonjaantika. Il-Babilonjani żviluppawsistema aritmetikuavvanzat li bih setgħu jagħmlu kalkulazzjonijiet b’metodu alġebri. Permezz ta’ dan is-sistema, setgħu japplikaw formoli u jikkalkulaw valuri mhux magħrufa għal klassi ta’ problemi li daż-żmien nirriżolvuhom bl-użu ta’ekwazzjonijiet linjari,ekwazzjonijiet kwadratiċiuekwazzjonijiet linjari indeterminati.Għall-kontrarju, il-biċċa kbira tal-matematiċiEġizzjanita’ dak iż-żmien, u l-biċċa kbira tal-matematiċiIndjani,GriegiuĊiniżif’l-ewwel millennju QK,is-soltu kienu jirriżolvu dawn il-problemi b’metodiġometriċi,bħal dawk imfissra fil-Papiru Matematiku ta’ Rhind,Sulba Sutras,L-Elementi ta’ Ewklidi,uId-Disgħa Kapitli fuq’ l-Arti Matematika.Ix-xogħol ġometriku tal-Griegi, li l-Elementi huwa eżempju tajjeb ħafna tiegħu, ipprovda s-sisien għall-ġeneralizzazzjoni tal-formuli mis-soluzzjoni ta’ problemi partikulari għal sistemi iżjed ġenerali li jistgħu jintużaw għall-formulazzjoni u s-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/Image-Al-Kit%C4%81b_al-mu%E1%B8%ABta%E1%B9%A3ar_f%C4%AB_%E1%B8%A5is%C4%81b_al-%C4%9Fabr_wa-l-muq%C4%81bala.jpg/200px-Image-Al-Kit%C4%81b_al-mu%E1%B8%ABta%E1%B9%A3ar_f%C4%AB_%E1%B8%A5is%C4%81b_al-%C4%9Fabr_wa-l-muq%C4%81bala.jpg)
Il-kelma "alġebra"ġejja mill-Għarbi"al-ġabr"fit-titlu tal-ktieb"al-Kitab al-muhtasar fi ħisab al-ġabr wa-l-muqabala",li jfisserIl-ktieb fil-qosor fi ħsib il-ġbir u tqassim.Dan kitbu il-matematiku PersjanMuħammad ibn Musa al-Khwariżmi(Għarbi: محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسيّ القطربّليّ) fit-820. Il-matematiku GriegDiofantu(Grieg: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς t. bejn200u214,m. bejn284u298AD) hu tradizzjonalment magħruf bħala “missier l-alġebra” imma hemm argument jekk Al-Khwariżmi għandux joħodlu dan it-titlu. Dawk li jżommu ma Al-Khwariżmi jsossnu li ħafna mix-xogħol tiegħu fuq “il-ġbir” jew riduzzjoni għadu użat sa llum u li hu ta spjegazzjoni kompleta fuq is-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjonijiet kwadratiċi. Dawk li jżommu maDiofantujgħidu li l-alġebra li nsibu f’Al-Ġabrhi iżjed elementari mill-alġebra fl-Aritmetikata’ Diofantu u li l-Aritmetikahi miktuba fi stil sinkopat waqt liAl-Ġabrhi kollha fi stil retoriku. Matematiku Persjan ieħor,Omar Khajjam(Persjan: غیاث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابوری t. 18 ta’ Mejju, 1048, m. 4 ta’ Diċembru, 1131), żviluppa l-ġometrija alġebrijau sab soluzzjoni ġenerali ġometrika ta’ l-ekwazzjonijiet kubiċi.Il-matematiċi IndjaniMaħavirauBaskara II,u l-matematiku ĊiniżŻu Xiġje,irriżolvew xi każi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi,kwartiċi,kwintiċiupolinomjalita’ ordni ogħla.
F’nofs is-seklu 16 kien hemm żvilupp importanti ieħor ta' l-alġebra. Dan kien is-soluzzjoni alġebrija ġenerali tal-ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi. L-ideja ta’determinantżviluppha l-matematiku ĠappuniżKowa Sekifis-seklu 17, u għaxar snin waraGottfried Leibnizuża d-determinanti biex jirriżolvi sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji premezz tal-matriċi.Fis-seklu 18,Gabriel Cramerukoll ħadem fuq il-matriċi u d-determinanti. L-iżvilupp ta’ l-Alġebra astrattasar fis-seklu 19. Fil-bidu dan ix-xogħol ikkonċentra fuq li daż-żmien insejħulha it-teorija ta’ Galoisu fuq kwistjonijiet tal-kostruttibbiltà.
L-istadji ta’ l-iżvilupp ta’ l-alġebra simbolika kienu bejn wieħed u ieħor dawn:
- Alġebra retorika, li żviluppawha l-Babilonjani u baqet dominanti sas-seklu 16;
- Alġebra ġometrika kostruttiva, li tawha ħafna mportanza il-matematiċi Indjani u l-matematiċi klassiċi Griegi;
- Alġebra sinkopata, li kienet żviluppata minnDiofantuu fil-Manuskritt Bakxali;
- Alġebra simbolika, li laħqet il-quċċata fix-xogħol ta’Leibniz.
Kronoloġija ta’ żviluppi kritiċi fl-alġebra:
- Ċirka 1800 QK: Fit-tavletta ta’ Strassburgil-Babilonjani jfittxu s-soluzzjoni ta’ ekwazzjoni ellittika kwadratika.
- Ċirka 1600 QK: It-tavletta ta’Plimpton 322tagħti tavola ta’trippli Pitagoriċifi skrittKuneiformiBabilonjan
- Ċirka 800 QK: Il-matematiku IndjanBawdajana,fix-xogħol tiegħuSulba Sutra,jiskopri trippli Pitagoriċi b’metodi alġebrin, jsib soluzzjonijiet ġometriċi ta’ ekwazzjonijiet linjari u ekwazzjonijiet kwadratiċi tal-forma ax2= c u ax2+ bx = c, u jsib żewġ settijiet ta’ soluzzjonijiet integrali pożittivi għal sett ta’ ekwazzjonijiet simultanji Diofantini.
- Ċirka 600 QK: Il-matematiku IndjanApastamba,fix-xogħol tiegħuApastamba Sulba Sutra,jirriżolvi l-ekwazzjoni linjari ġenerali u juża ekwazzjonijiet simultanji Diofantini b’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa.
- Ċirka 300 QK: Fit-tieni ktieb ta’ l-Elementi,Ewklidijagħti kostruzzjoni ġometrika b’metodi Ewklidej għas-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjoni kwadratika għal radiċi posittivi reali. Il-kostruzzjoni hi dovuta għall-iSkola Pitagorika tal-ġometrija.
- Ċirka 300 QK: Titfittex kostruzzjoni ġometrika għas-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjoni kubika. Issa nafu li bil-metodi Ewklidej ma nistgħux insibu soluzzjoni għall-ekwazzjoni kubika ġenerali.
- Ċirka 100 QK: Il-ktieb tal-matematika ĊiniżĠjużang Suwanxu(Id-Disgħa Kapitli fuq l-Arti Matematika), jittratta Ekwazzjonijiet alġebrin. Dal-ktieb fih soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet linjari bl-użu tar-regola tal-pożizzjoni falza doppja,soluzzjonijiet gometriċi ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ matriċi, ekwivalenti għall-metodi moderni, għas-soluzzjoni tas-sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji.
- Ċirka 100 QK: Il-Manuskritt ta’ Bakxali,miktub fl-Indja, juża forma ta’ notazzjoni alġebrija bl-ittri u sinjali oħra, u fih ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi, soluzzjonijiet alġebrin ta’ekwazzjonijiet linjarib’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa, il-formula alġebrija ġenerali għall-ekwazzjoni kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi indeterminati u ekwazzjonijiet simultanji.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Diophantus-cover.jpg/200px-Diophantus-cover.jpg)
- Ċirka 150 AD: Il-matematiku Eġizzjan EllenistikuEroni ta’ Lixandra,jittratta l-ekwazzjonijiet alġebrin fi tliet volumi tal-matematika.
- Ċirka 200: Il-matematiku Babilonjan Ellenistiku,Diofantuli għex fl-Eġittu u li ħafna jikkunsidrawh bħala "missier l-alġebra", jikteb l-opra famuża tiegħu, l-Aritmetika,li fiha soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet alġebrin u xogħol fuq it-teorija tan-numri.
- 499: Il-matematiku IndjanArjabata,fit-trattat tiegħuArjabatija,jsib soluzzjonijiet interi għal xi ekwazzjonijiet linjari b’metodu ekwivalenti għal dak li nużaw illum, jiddeskrivi s-soluzzjoni integrali ġenerali ta’ l-ekwazzjoni linjari indeterminata u jagħti soluzzjonijiet integrali ta’ xi ekwazzjonijiet linjari simultanji indeterminati.
- Ċirka 625: Il-matematiku Ċiniż, WangKsijaotong,jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi.
- 628: Il-matematiku Indjan,Brahmagupta,fit-trattat tiegħuBrahma Sputa Siddhanta,jivvinta l-metoduċakravalagħas-soluzzjoni ta’ xi ekwazzjonijiet kwadratiċi simultanji indeterminati, fosthom l-ekwazzjoni ta’ Pell, u jagħti regoli għas-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi.
- 820: Il-matematiku Persjan, Muhammad ibn Musaal-Khwariżmi,jikteb it-trattat intitolatAl-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala(li tfisser "Il-Ktieb tal-ġbir u t-tqabbil" ) fuq is-soluzzjoni sistematika ta’ l-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi. Il-kelmaalġebraġejja minnal-Ġabrfit-titlu ta’ dal-ktieb. Al-Khwariżmi hu kkunsidrat minn bosta bħala "missier l-alġebra" u ħafna mill-metodi tiegħu ta’ riduzzjoni jew ‘’ġbir’’ għadna nużawhom fl-alġebra sa llum.
- Ċirka 850: Il-matematiku Persjan,al-Maħani,jaħseb fl-ideja ta’ riduzzjoni ta’ problemi ġometriċi, bħad-duplikazzjoni tal-kubu, għal problemi fl-alġebra.
- Ċirka 850 Il-matematiku,Mahavira,jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kwadratiċi, kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni ogħla kif ukoll xi ekwazzjonijiet indeterminati. kwadratiċi, kubiċi u ta’ ordni ogħla.
- Ċirka 990: Il-PersjanAbu Bakr al-Karaġi,fit-trattat tiegħual-Fakhri,jiżviluppa l-alġebra iżjed billi jestendi l-metodoloġija ta’ Al-Khwariżmi biex tinkludi poteri integrali u radiċi integrali ta’ kwantitajiet mhux magħrufa. Jissostwixxi l-operazzjonijiet gometriċi ta’ l-alġebra b’operazzjonijiet aritmetiċi moderni, u jiddefinixxi il-monomjali x, x2,x3,... u 1/x, 1/x2,1/x3,... u jagħti l-prodott ta’ kull par minn dawn.
- Ċirka 1050: Il-matematiku Ċiniż,Ġija Ksijan,jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet polinomjali.
- 1072: Il-matematiku Persjan,Omar Khajjam,jiżviluppa l-ġometrija alġebrija, u fit-Trattat fuq Dimostrazzjoni ta’ Problemi fl-Alġebra,jagħti klassifikazzjoni ta’ ekwazzjonijiet kubiċi permezz ta’soluzzjonijiet ġometriċi ġenerali misjuba bis-sezzjonijiet koniċi ntlaqqin.
- 1114: Il-matematiku Indjan,Bhaskara,fil-Biġaganita(Alġebra), jinduna li numru pożittiv għandu radiċi kwadrata pożittiva u oħra negattiva, u jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni polinomjali, kif ukoll l-ekwazzjoni kwadratika ġenerali indeterminata.
- 1202: L-alġebra tidħol l-Ewropa l-iktar imħabba x-xogħol ta’Leonardo Fibonaccita’ Pisa fil-ktieb tiegħuLiber Abaci.
- Ċirka 1300: Il-matematiku Ċiniż,Żhu Xiġje,jittratta l-alġebra polinomjali, jirriżolvi ekwazzjonijiet kwadratiċi, ekwazzjonijiet simultanji u ekwazzjonijiet b’sa erbgħa kwantitajiet mhux magħrufa, u jirriżolvi numerikament xi ekwazzjonijiet kwartiċi, kwintiċi u polinomjali ta’ ordni ogħla.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Evariste_galois.jpg/200px-Evariste_galois.jpg)
- Ċirka 1400: Il-matematiku Indjan,Madhava ta’ Sangamagramma,jiskopri metodi iterattivi għas-soluzzjoni approssima ta’ ekwazzjonijiet mhux linjari.
- 1535: Nicolo FontanaTartagliau matematiċi oħra fl-Italja independentement jirriżolvu l-ekwazzjoni kubika ġenerali.
- 1545: GirolamoCardanojippublikaArs magna(L-Arti l-Kbira) fejn jagħti s-soluzzjoni ta’ Fontana għall-ekwazzjoni kwartika ġenerali.
- 1572: RafaelBombellijsib ir-radiċi komplessa tal-kubiku u jtejjeb in-notazzjoni kurrenti.
- 1591:François Viètejiżviluppa u jtejjeb in-notazzjoni simbolika għall-poteri fil-ktiebIn artem analyticam isagoge.
- 1682:Gottfried Wilhelm Leibnizjiżviluppa l-manipulazzjoni simbolika b’regoli formali li jgħidilhomcharacteristica generalis.
- 1680s: Il-matematiku Ġappuniż,Kowa Seki,fil-Metodu għas-soluzzjoni ta’ problemi dissimulati,jiskopri d-determinant u n-numri ta’ Bernoulli.
- 1750:Gabriel Cramer,fit-trattat tiegħuIntroduzzjoni għall-analisi ta’ kurvi alġebrin,jipproponi r-regola ta’ Crameru jistudja l-kurvi alġebrin, il-matriċi u d-determinanti.
- 1824:Niels Henrik Abeljipprova li ma nistgħux nirriżolvu l-ekwazzjoni kwintika ġenerali bir-radiċi.
- 1832: It-teorija ta’ Galois jiżvilupphaÉvariste Galoisfix-xogħol tiegħu fuq l-alġebra astratta.