Vloeistofmechanica

Vloeistofmechanicais hetwiskundigbeschrijven van het gedrag vanfluïda(vloeistoffenengassen). Zij valt onder decontinuümmechanicaen kan worden verdeeld in:

statische vloeistofmechanica(voor water:hydrostatica), het bestuderen van stilstaande fluïda, en
vloeistofdynamicaofstromingsleer(voor water:hydrodynamica;voor lucht:aerodynamica), het beschrijven van bewegende fluïda.

Vloeistofmechanica wordt gebruikt in uiteenlopende takken vanwetenschapalsmeteorologie,fysische geografieofvulkanologie.Voor de scheepsbouw zijn deweerstanden voortstuwing, het manoeuvreren en de beweging in golven van schepen van belang.

Aannames in de vloeistofmechanica

Zoals bij allewiskundige modelleringworden in de vloeistofmechanica een aantal aannames gedaan. Deze aannames worden invergelijkingenuitgedrukt die moeten kloppen om de aannames waar te maken. Deze aannames in de vloeistofmechanica gelden de volgende eigenschappen van vloeistoffen:

Aanname vanbehoud van massa
Aanname vanbehoud van impuls
Aanname vanbehoud van energie.Energie kan wel van de ene vorm in de andere omgezet worden (vb. energieverlies door wrijving is energieomzetting in warmte en geluid). Onder bepaalde voorwaarden geldt deBernoulli-vergelijking.
Soms wordt ook aangenomen dat dedichtheidvan de vloeistof niet verandert, oftewel de vloeistof kan niet samengedrukt worden. Deze aanname kan niet voor gassen gemaakt worden.
Soms wordt aangenomen dat deviscositeitvan een gas nul is. Bij vloeistoffen heeft de viscositeit altijd een bepaalde waarde, de stroom wordt omsloten door een rand, bijvoorbeeld in een geul of pijp. Aan de rand van een stromende vloeistof geldt dan dat destroomsnelheidnul is.
Een belangrijke aanname is dat de vloeistof of het gas zich gedraagt als eencontinuüm.Dat wil zeggen dat, hoewel de stof bestaat uit lossemoleculendie langs elkaar en door elkaar kunnen bewegen, wordt aangenomen dat het geheel zichcontinugedraagt. Dat betekent dat eigenschappen als dichtheid,druk,temperatuur,stroomsnelheid en viscositeit alleen continu kunnen variëren binnen de stof, ondanks dat de stof in werkelijkheid uitdiscretemoleculen bestaat. Deze aanname is een benadering, wat kan leiden tot van de werkelijkheid afwijkende voorspellingen in het model.

Als de aanname dat de stof zich als eencontinuümgedraagt, leidt tot de gewenste nauwkeurigheid van voorspellingen van het model, kancontinuümmechanicaworden gebruikt. Dan zijn de methodes uit de vloeistofmechanica toepasbaar. Om uit te maken of de aanname van een continuüm redelijk is, wordt hetgetal van Knudsengebruikt. Dit getal is wiskundig gedefinieerd als deratiotussen devrije weglengtevan de moleculen en een bepaalde karakteristieke lengte van de bestudeerde stroming, bijvoorbeeld de dikte van eenvliegtuigvleugelof dediametervan eenbloedvat,of eenhoutvatin eenboom.Als het getal van Knudsen veel groter is dan 1, dan is de aanname van een continuüm geschikt. Als het getal van Knudsen rond de 1 ligt, is continuümmechanica niet toepasbaar, maar kan wellichtstatistische mechanicaworden gebruikt.

Navier-Stokesvergelijkingen

De Navier-Stokesvergelijkingen zijn vergelijkingen die de beweging van vloeistoffen en gassen verklaren. De vergelijkingen zijn wiskundige beschrijvingen van de aanname dat deimpulsbinnen de stof alleen kan veranderen (versnelling) als gevolg van externe druk op de stof of interne viskeuze krachten (vergelijkbaar metwrijving) in de stof werken. Een Navier-Stokes vergelijking geeft het krachtenevenwicht op elk willekeurig punt in de stof.

De Navier-Stokesvergelijkingen zijndifferentiaalvergelijkingendie de beweging van een stof beschrijven. Ze geven de relaties tussen de snelheid van verandering in devariabelendie bestudeerd worden. Zo laten Navier-Stokesvergelijkingen voor eenideaal fluïdummet een viscositeit van nul zien dat de versnelling (de snelheid van verandering in snelheid)recht evenredigis met deafgeleidevan de interne druk.

Daardoor kunnen oplossingen van Navier-Stokesvergelijkingen voor een bepaald probleem worden gevonden door middel vanwiskundige analyse.In de praktijk kunnen alleen simpele gevallen opgelost worden op deze manier, zoals gevallen waarbij sprake is vanlaminaire stroming(stroming waarbij de snelheid constant is en hetgetal van Reynoldsklein).

Voor complexere situaties, zoals luchtstromingen bijEl Niñoofliftbij een vliegtuigvleugel, kunnen oplossingen van Navier-Stokesvergelijkingen alleen met behulp van eencomputergevonden worden. De tak van wetenschap die zich hiermee bezighoudt heetnumerieke vloeistofmechanica.

Algemene vorm van de vergelijkingen

Als uitgegaan wordt van behoud van impuls is de algemene vorm van de Navier-Stokesvergelijking:

\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=\nabla \cdot \mathbb {P} +\rho \mathbf {F}

waarin:

$\rho$ de dichtheid van de stof is;

{\frac {D}{Dt}}

is demateriële afgeleide(ook wel de lagrangeafgeleide);

$\mathbf {v}$ is de snelheid (eenvectorgrootheid);
$F$ is dekrachtop een lichaam in de stof (ook een vectorgrootheid); en
$\mathbb {P}$ is een weergave van demechanische spanningendie op een deeltje werken, de zogenaamdemeebewegende spanningstensor(eentensorgrootheid).

Tenzij devorticiteitvan de beweging in de stof per plek verschillend is, is $\mathbb {P}$ eensymmetrische tensor,en heeft in drie dimensies de volgende vorm:

\mathbb {P} ={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}

waarin:

$\sigma$ denormaalspanningenzijn; en
$\tau$ deschuifspanningen.

De tensor geeft een set van drie vergelijkingen, voor elke dimensie een. Op zichzelf kan hiermee geen oplossing gevonden worden, maar als behoud van massa en derandvoorwaardesvan het model worden toegevoegd, volgt een oplosbare set vergelijkingen.

Newtoniaanse en niet-Newtoniaanse vloeistoffen

EenNewtoniaanse vloeistofis een fluïdum waarvoor geldt dat deschuifspanning recht evenredigis met de snelheidsgradiëntin de richtingloodrechtop hetvlakwaarlangsschuifplaatsvindt. Een andere definitie is dat devloeiweerstandbij een klein voorwerp dat door de stof beweegt, evenredig is met de kracht die op het voorwerp wordt uitgeoefend (vergelijkbaar metwrijving).

Bij eenniet-Newtoniaanse vloeistofkan roeren zorgen voor een gat dat langzaam weer opvult. Zulk gedrag is bijvoorbeeld te zien in materialen alspuddingofjam.Als een niet-Newtoniaanse vloeistof wordt geroerd, kan in sommige gevallen de viscositeit afnemen, waardoor de stof "dunner" lijkt (bijvoorbeeld sommige soortenverf). Doordat een niet-Newtoniaanse vloeistof gedefinieerd is als iets dat zich niet op een bepaalde manier gedraagt, zijn er veel soorten niet-Newtoniaanse vloeistoffen. In wezen is de newtoniaanse vloeistof een idealisering, die nooit op alle tijds- en lengteschalen geldig is.

Rekenen met een Newtoniaanse vloeistof

De viscositeit is voor elke stof eenconstantedie de relatie tussen schuifspanning en de snelheidsgradiënt beschrijft. Het gedrag van een Newtoniaanse vloeistof kan beschreven worden met:

\tau =\mu {\frac {dv}{dx}}

waarbij:

\tau

de schuifspanning in de stof is (veroorzaakt door de "vloeiweerstand"tegen schuif);

\mu

de viscositeit van de stof is - een constante;

{\frac {dv}{dx}}

de gradiënt van de stroomsnelheid loodrecht op de schuifrichting is.

Bij een Newtoniaanse vloeistof hangt de viscositeit per definitie alleen af van temperatuur en druk, niet van de krachten die op de stof werken. Als de stof niet samengedrukt kan worden en de viscositeit door de stof heen gelijk blijft, kan de schuifspanning in eenCartesisch coördinatenstelselworden beschreven als:

\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)

waarbij:

\tau _{ij}

de schuifspanning is op het

i^{de}

vlak van een deeltje, werkend in de

j^{de}

richting;

v_{i}

de snelheid in de

i^{de}

richting is;

x_{j}

is decoördinaatin de

j^{de}

richting

Als een stof niet aan deze relatie voldoet, is het per definitie eenniet-Newtoniaanse vloeistof.

Geschiedenis van de vloeistofdynamica

D. Bernoulli
Hydrodynamica
1738

d'Alembert
Traité de l’équilibre et
du mouvement des fluides
1744

Clairaut
Théorie de la figure
de la terre
1743

J. Bernoulli
Hydraulica
1713

d'Alembert
Essai d'une nouvelle theorie
de la resistance des fluides
1749 (1752)

Euler
Principia motus fluidorum
1752

Euler
Mémoires
1755

Blaise Pascaldroeg bij tot een eerste theorie in dit domein in de17e eeuw.De termhydrodynamicawerd voor het eerst gebruikt doorDaniel Bernoullials titel van zijn werkHydrodynamica(1738). Bernoulli enLeonhard Eulerontwikkelden de algemene vergelijkingen van de hydrodynamica.

Het werk werd voortgezet doorJoseph-Louis Lagrange(1736-1813) met het Euler-Lagrange systeem enJean Le Rond d'Alembert(1717-1783) ontdekte deCauchy-Riemann-vergelijkingen. Pierre Simon Laplace(1749-1827) kwam met de naar hem genoemde vergelijking over depotentiaalstroming.Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz(1821-1894) bestudeerde maalstromen, en vond samen metLord Kelvin(1824-1907) deKelvin-Helmholtz-instabiliteit.

Zie ook

Literatuur

White, F.M.(2002):Fluid Mechanics,McGraw-Hill Companies, Inc.
Calero, J.S.(2008):The genesis of fluid mechanics, 1640-1780,Springer.

Zie de categorieFluid dynamicsvanWikimedia Commonsvoor mediabestanden over dit onderwerp.

Wikibooksheeft meer over dit onderwerp:Vloeistofmechanica.