Smithgetal

Een Smithgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 en geen priemgetal, waarvoor geldt dat de som van zijn cijfers in een gegeven basis gelijk is aan de som van de cijfers van alle getallen in zijn factorisatie. Zo is bijvoorbeeld 202 een Smithgetal in het decimale talstelsel, aangezien 2 + 0 + 2 = 4 en zijn factorisatie is 2 × 101, waarbij 2 + 1 + 0 + 1 = 4.

In het geval dat zo'n natuurlijk getal niet kwadraatvrij is, wordt de factorisatie geschreven zonder exponenten, waarbij de herhaalde factor zo vaak geschreven wordt als nodig. Bijvoorbeeld, 4937775 is een Smithgetal, aangezien 4+9+3+7+7+7+5 = 42 is en zijn factorisatie gelijk is aan 3 × 5² × 65837 = 3 × 5 × 5 × 65837 en 3+5+5+6+5+8+3+7 = 42. Zie hieronder voor de rol die het getal 4937775 zou hebben gespeeld bij de ontdekking van Smithgetallen.

Priemgetallen blijven buiten beschouwing, omdat het vanzelfsprekend is dat deze alle aan de hierboven vermelde voorwaarde voldoen, aangezien de factorisatie van een priemgetal gelijk is aan het getal zelf.

In basis 10 zijn de kleinste Smithgetallen:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086

W.L. McDaniel bewees in 1987 dat er oneindig veel Smithgetallen zijn. Er zijn 29.928 Smithgetallen kleiner dan een miljoen. Aangenomen wordt dat ongeveer 3% van iedere miljoen opeenvolgende natuurlijke getallen Smithgetallen zijn.

Er zijn oneindig veel palindroom-Smithgetallen.

Opeenvolgende Smithgetallen (bijvoorbeeld 728 en 729, 2964 en 2965) worden Smithbroers genoemd. Het is niet bekend hoeveel Smithbroers er zijn.

Etymologie

Smithgetallen zijn door Albert Wilansky van Lehigh University vernoemd naar zijn zwager Harold Smith, toen hij (Wilansky) in 1982 de bovenomschreven eigenschap opmerkte in het telefoonnummer 4937775 van zijn zwager.

Externe link

• Artikel over Smithgetallen op MathWorld

Referenties

• Martin Gardner (1988), Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, p. 299–300
• Albert Wilansky (1982), Smith Numbers; in Two-Year College Math Journal, vol 13(1), p. 21