Chebyshev-polynoom

De eerste vijf Chebyshev-polynomen

Dechebyshev-polynomenvan deeerste soort$T_{n}(x)$en van detweede soort$U_{n}(x)$zijn tweerijenorthogonale polynomen,genoemd naarPafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev(Chebyshevin de Engelsetransliteratie), met belangrijke toepassingen in onder andere defiltertechnieken denumerieke wiskundeom benaderingen van functies te vinden.

Chebyshev-polynomen van de eerste soort

Definitie

Dechebyshev-polynoomvan de eerste soort$T_{n}(x)$is voor$n=0,1,2,3,\ldots$gedefinieerd als:

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )$

Dezepolynoomis een oplossing van de chebyshev-differentiaalvergelijking(eensturm–liouville-differentiaalvergelijking):

$(1-x^{2}){{\rm {d}}^{2}y \over {\rm {d}}x^{2}}-x{{\rm {d}}y \over {\rm {d}}x}+n^{2}y=0$

Door desubstitutie

${\tilde {y}}(\theta )=y(\cos(\theta ))$

gaat deze differentiaalvergelijking over in:

${\tilde {y}}''+n^{2}{\tilde {y}}=0$,

waaruit eenvoudig te zien is dat

${\tilde {y}}(\theta )=\cos(n\theta )$

een oplossing is.

De eerste tien chebyshev-polynomen van de eerste soort zijn:

$T_{0}(x)=1$

$T_{1}(x)=x$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x$

Recursie

De chebyshev-polynomen van de eerste soort staan in de volgenderecursieverelatie:

$T_{0}(x)=1$

$T_{1}(x)=x$

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)$voor$n\geq 1$

Voortbrengende functie

Devoortbrengende functievoor de chebyshev-polynomen van de eerste soort is:

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}$

Orthogonaliteit

De chebyshev-polynomen van de eerste soort vormen op hetinterval[-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie

$w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Er geldt dus voor$n\neq m$:

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0$

Dit is het directe gevolg van de relatie (neem$x=\cos(\theta )$)

$\int _{0}^{\pi }\cos(n\theta )\cos(m\theta )\,{\rm {d}}\theta =0\quad {\mbox{als}}\ n\neq m$

Eigenschap

Uit de definitie van de polynomen alscosinusvolgt eenvoudig:

$T_{n}(x)T_{m}(x)={\tfrac {1}{2}}{\big (}T_{n+m}(x)+T_{|n-m|}(x){\big )}$

Chebyshev-polynomen van de tweede soort

Definitie

Dechebyshev-polynomenvan de tweede soort$(U_{n}(x))$zijn gedefinieerd door de recursieve betrekking:

$U_{0}(x)=1$

$U_{1}(x)=2x$

$U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)$voor$n\geq 1$

Deze recursie verschilt slechts in de startwaarde voor$n=1$van de recursierelaties voor de chebyshev-polynomen van de eerste soort.

Voor$\theta \neq k\pi,k\in \mathbb {Z}$geldt:

$U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }}$

Vanwege deophefbare singulariteitin$k\pi$geldt deze formule voor alle$\theta$.

De eerste acht chebyshev-polynomen van de tweede soort zijn:

$U_{0}(x)=1$

$U_{1}(x)=2x$

$U_{2}(x)=4x^{2}-1$

$U_{3}(x)=8x^{3}-4x$

$U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1$

$U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x$

$U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1$

$U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x$

Voortbrengende functie

De voortbrengende functie voor de chebyshev-polynomen van de tweede soort is:

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}$

Orthogonaliteit

De chebyshev-polynomen van de tweede soort vormen op het interval [-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie

$w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

Er geldt dus voor$n\neq m$:

$\int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,{\rm {d}}x=0$

Differentiaalvergelijking

De chebyshev-polynoom van de tweede soort is een oplossing van de chebyshev-differentiaalvergelijking:

$(1-x^{2})y''-3xy'+n(n+2)y=0$

die ook een sturm–liouville-differentiaalvergelijking is.