Gelijkmachtigheid

Tweeverzamelingen$A$en$B$worden in deverzamelingenleer,een deelgebied van dewiskunde,gelijkmachtiggenoemd als zij dezelfdekardinaliteithebben, dat wil zeggen als er eenbijectie$A\to B$bestaat. Dit wordt meestal aangegeven door

$|A|=|B|$

of ook wel door

$A\approx B$of$A\sim B$

Gelijkmachtigheid heeft de karakteristieke eigenschappen van eenequivalentierelatie.De kardinaliteit van een verzameling wordt door eenkardinaalgetalgegeven. Twee gelijkmachtige verzamelingen hebben, omdat zij dezelfde kardinaliteit hebben, hetzelfde kardinaalgetal.

Wanneer er tussen twee verzamelingen in beide richtingen eeninjectieis, bestaat er volgens destelling van Cantor-Bernstein-Schrödereen bijectie tussen de twee en zijn zij gelijkmachtig.

Wanneer een verzameling$A$een echtedeelverzameling$B$omvat, maar$A$en$B$toch gelijkmachtig zijn, heet$A$eenDedekind-oneindige verzameling.Derationale getallen$\mathbb {Q}$zijn daar een voorbeeld van. Neem$A=\mathbb {Q}$en$B=\mathbb {Z}$.Zowel$\mathbb {Q}$als$\mathbb {Z}$isaftelbaar,dus zijn ze gelijkmachtig, maar$\mathbb {Z}$is een echte deelverzameling van$\mathbb {Q}$.