Kwantumelektrodynamica

Kwantumelektrodynamica,of (QED:vanquantum electrodynamics) is een relativistischekwantumveldentheorievan hetelektromagnetisme.Deze theorie is een integratie van deWetten van Maxwellmet de relativistische versie van dekwantummechanica.QED is een deel van hetStandaardmodel van de deeltjesfysica.

QED beschrijft wiskundig allefenomenendie betrekking hebben op deelektrische ladingvan deeltjes die op elkaar inwerken door middel van de uitwisseling doorfotonen,tussen licht enmaterieof tussen geladen deeltjes. Het wordt "het juweel van denatuurkunde"genoemd voor de zeer nauwkeurige voorspelling van fysische 'hoeveelheden', zoals onder andere het magnetische moment van hetelektronen deLambverschuivingvan de energieniveaus vanwaterstof.

De elektromagnetische interacties zijn de meest belangrijke interacties omdat de andere interacties (desterke interactieen dezwakke interactie) alleen op het niveau van atoomkernen van belang zijn. Deze theorie kan alle elektrische, chemische en optische verschijnselen nauwkeurig voorspellen en verklaren. Door de ontwikkeling van deKwantumchromodynamicais de zwakke interactie verdwenen als aparte interactie en geïntegreerd met de elektomagnetische interactie met als resultaat deelektrozwakke interactie.

Geschiedenis

Werk aan kwantumelektrodynamica is begonnen door onder andereDirac,Pauli,WeisskopfenJordan.Voor de uiteindelijke theorie is het werk vanRichard Feynman,Julian Schwinger,Shinichiro TomonagaenFreeman Dysonbepalend geweest. De benadering van Swinger en Tomanaga verschilt van die van Feynman, maar Dyson toonde aan dat de beide benaderingen gelijkwaardig waren. De eerste drie hebben voor de ontwikkeling van de theorie in 1965 de Nobelprijs ontvangen. Voor een eenvoudige behandeling van het door Feynman geïntroduceerde begrippadintegraalzij verwezen naar hetFeynman-Kac-formalismeen ook de bekendeschrödingervergelijking.

Lagrangiaan

De hele theorie van QED kan (net zoals de meeste andere natuurkundige theorieën) op een bondige manier samengevat worden door het opgeven van eenLagrangiaan.In het geval van QED is deze gegeven door

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2})\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

.

Het is gebruikelijk in de deeltjesfysicarelativistische eenhedente gebruiken zodat $\hbar$ , $c$ en $\mu _{0}=1$ zijn. Dus

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

.

Degolffunctie $\psi$ beschrijft dekwantumtoestandvan het deeltje met lading $e$ en massa $m$ .In de niet-relativistische kwantummechanica is $\psi$ een scalar, maar in QED is het een kolom viervector. $\gamma ^{\mu }$ zijngamma-matrices.De rijvector ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ,met de Hermitisch geconjugeerde $\psi ^{\dagger }=(\psi ^{T})^{*}$ ,dat is decomplex geconjugeerdevan de getransponeerde van $\psi$ . $D_{\mu }=\partial _{\mu }+ieA_{\mu }$ is de ijk-covariante afgeleide en $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ is deelektromagnetische veldtensor. $A_{\mu }$ is de vierpotentiaal van het veld van het kwantumdeeltje zelf.

Er zijn verschillende representaties van de golffunctie en de gamma matrices mogelijk in QED. Als de componenten van $\psi$ scalars zijn, dan zijn de $\gamma ^{\mu }$ Dirac-matrices. In de chirale representatie die ook de spin van het deeltje beschrijft zijn de componenten van de kolomvector $\psi$ rij tweevectoren (spinoren), dus $\psi$ is een 4x2 matrix, en dan zijn de $\gamma ^{\mu }$ Weyl-matrices.

Bewegingsvergelijkingen

Substitutie van de afgeleideDin de Lagrangiaan geeft

{\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.\,

De Lagrangiaan wordt gesubstitueerd in deEuler-Lagrange-vergelijkingvan beweging van een kwantumveld $\psi$

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,

De twee termen van deze vergelijking zijn dan

\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right),\,

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }-m{\bar {\psi }}.\,

Substitutie van deze termen, terug in de Euler-Lagrange vergelijking, levert

i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }+e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }+m{\bar {\psi }}=0\,

We nemen de complex geconjugeerde van deze vergelijking en brengen deA^μterm naar de rechterkant.

i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =e\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi.\,

De linker kant is deDiracvergelijkingen de rechterkant is de interactie met het elektromagnetische veld.

Een verdere belangrijke vergelijking is te vinden door substitutie van de Lagrangiaan in een andere Euler-Lagrange vergelijking, ditmaal voor het veldA^μ.

\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0\,.

De twee termen zijn nu

\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right),\,

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,

en deze termen, terug gesubstitueerd in Euler-Lagrange, geven

\partial _{\nu }F^{\nu \mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,

Als we deLorenz-ijkopleggen, dat de divergentie van de vier-potentiaal nul is

\partial _{\mu }A^{\mu }=0

dan krijgen we

\Box A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \,

Dit is degolfvergelijkingvan de vier-potentiaal, de QED versie van de klassieke Maxwell vergelijkingen in deLorenz-ijk.De vierhoek in bovenstaande vergelijking is deD'Alembertiaan.

Zie ook