Vergelijking (wiskunde)

Oudst bekende vergelijking, doorRobert Recorde,in moderne typografie staat er$14x+15=71$.

Grafiekbehorende bij de vergelijking$y=1/(1+e^{-x})$.

Eenvergelijkingin dewiskundeis een betrekking waarintweeuitdrukkingen(het linker- en rechterlid van de vergelijking), waarinonbekendenvoorkomen, aan elkaargelijkworden gesteld. De gelijkstelling gebeurt met eengelijkheidsteken,(=), zoals in de vergelijking

$2x+3=5$

waarin de uitdrukking$2x+3$,met daarin de onbekende$x$,gelijkgesteld wordt aan de uitdrukking 5.

De onbekende grootheden worden vaak aangeduid metlettersdie aan het einde van hetalfabetvoorkomen, zoals$x,\,y$en$z$.Letters die in het begin van het alfabet voorkomen, bijvoorbeeld$a,\,b$en$c$,gebruikt men om decoëfficiëntenweer te geven.

Eenoplossing van een vergelijkingmet één onbekende is een waarde van de onbekende waarvoor het linker- en rechterlid gelijk zijn. Een vollediger vorm van oplossen is het bepalen van de verzameling van alle oplossingen. Het kunnen er nul, één, een ander eindig aantal of oneindig veel zijn.

Is er echter sprake van meer onbekenden, dan zijn veelal een aantal van die onbekenden op te vatten alsvariabeleofparameter,en behoort bij de vergelijking eengrafiek,eenkrommeof een andere (meerdimensionale)meetkundigevoorstelling. Een derde mogelijkheid is dat de vergelijking wordt gepresenteerd als algemeen geldige formule – de formule wordt dan eenidentiteitgenoemd. Zo wordt destelling van Pythagorasvaak aangeduid met de identiteit$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Algebraïsche vergelijkingen met één onbekende

Een algebraïsche vergelijking is een vergelijking, waarin eenpolynoomgelijk aan 0 is gesteld. De begrippen polynoom en vergelijking worden in dit geval soms door elkaar gebruikt. Volgens dehoofdstelling van de algebraheeft iedere vergelijking in éénvariabelein hetcomplexe vlakminstens éénnulpunt.De nulpunten van een polynoom, de oplossingen van de bijbehorende algebraïsche vergelijking heten ook dewortelsvan de vergelijking. Reële vergelijkingen hebben niet noodzakelijk eenreëlewortel, al hebben alle polynomen van oneven graad wel minstens één reële oplossing. Het maximale aantal oplossingen is dus gelijk aan de graad van de vergelijking.

In het algemeen noemt men eenlichaam, in België: veld$K$algebraïsch geslotenals elke algebraïsche vergelijking metcoëfficiëntenin$K$,minstens één oplossing in$K$heeft.

Indeling van de algebraïsche vergelijkingen

Algebraïsche vergelijkingen worden ingedeeld naar de hoogstemachtvan de voorkomende onbekenden. Deze macht noemt men de graad van de vergelijking. In hun algemene vorm zien ze er als volgt uit, met$a\neq 0$:

• lineaire vergelijking,1e graad

$ax+b=0$

• vierkantsvergelijking,2e graad

$ax^{2}+bx+c=0$

Defiguurvan een polynoom van de tweede graad is eenparabool.

• derdegraadsvergelijking,3e graad

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

• vierdegraadsvergelijking,4e graad

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

• vijfdegraadsvergelijking,5e graad

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

Deze lijst kan analoog worden verder gezet met vergelijkingen van een hogere graad. Algemeen heet

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}=0$,

met$a_{n}\neq 0$een$n$-de-graadsvergelijking.

Hogere-graadsvergelijkingen

Wiskundigenhebben gezocht naar de algemene oplossing van de vijfdegraadsvergelijking, totdatNiels Henrik Abelbewees dat een dergelijke oplossing niet in algebraïsche vorm, metoptellen,aftrekken, vermenigvuldigen en worteltrekking, bestaat. Moderne bewijzen van de stelling van Abel worden meestal gegeven aan de hand vangaloistheorie.

De stelling van Abel is niet in tegenspraak met de hoofdstelling van de algebra. Een polynoom van de vijfde graad heeft altijdnulpunten,maar die zijn niet altijd in een algebraïsche formule met wortels te schrijven. Het eenvoudigste voorbeeld is

$x^{5}+x+1=0$

Voorbeelden

Een van de eenvoudigste (algebraïsche) vergelijking is de lineaire met 1 als coëfficiënt van$x$:$x=a$

Dit betekent dat$x$dezelfde waarde heeft als$a$.Deze vergelijking is natuurlijk volledig equivalent met:$x-a=0$.

Een speciaal type vergelijking is delogaritmische vergelijking:

$^{3}\!\log(2x-4)+7=^{4}\!\log(9x)$

Het volgende voorbeeld is een goniometrische vergelijking. Het is een vergelijking waarbij een onbekende deel uitmaakt van hetargumentvan een of meergoniometrischefuncties:

$\sin(3x)=\cos ^{2}(x)-1$

Oplossing van vergelijkingen

ZieOplossen van vergelijkingenvoor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een vergelijking heeft een oplossing, als er een (toegelaten) waarde van de onbekende is waarvoor de vergelijking bij invulling in een gelijkheid overgaat. Zo heeft de vergelijking$x-2=4$als oplossing$x=6$.

Niet alle vergelijkingen hebben echter een oplossing. De vergelijking

${\frac {x-3}{2x-6}}=1$

bijvoorbeeld heeft geen oplossing, omdat geen enkele waarde van$x$de vergelijking tot een gelijkheid maakt. Daarentegen heeft de vergelijking

$x^{2}=4$

twee oplossingen, namelijk$x=2$en$x=-2$,en de vergelijking

$\sin x=1$

heeft zelfs oneindig veel oplossingen.

Stelsels vergelijkingen

Een stelsel vergelijkingen bestaat uit minstens twee vergelijkingen. Een oplossing van het stelsel is een stel waarden van de onbekenden zodat wordt voldaan alle vergelijkingen van dit stelsel. Als een stelsel geen oplossing heeft, zegt men dat de vergelijkingen van het stelsel strijdig zijn. Soms kan men aan een stelsel en de oplossingen ervan een meetkundige betekenis geven. Zo correspondeert met een stelsel van tweelineairevergelijkingen met twee onbekenden een paarlijnenin een tweedimensionaalassenstelsel.Een eventuele oplossing correspondeert met eensnijpuntvan de twee lijnen.

Zie ook:

• stelsel van lineaire vergelijkingen

Analytische meetkunde

In deanalytische meetkundespelen vergelijkingen omkrommenen andere figuren te beschrijven een grote rol. Deze vergelijkingen beschrijven dan de punten veelal in eencartesisch assenstelselvan de figuur. In het platte vlak gaat het dan om vergelijkingen van de vorm$f(x,y)=0$.De oplossingsparen$(x,y)$corresponderen met de punten die de figuur vormen.

Voorbeelden:

• De vergelijking$2x+3y-12=0$beschrijft eenrechte
• De vergelijking$x^{2}+y^{2}-1=0$beschrijft decirkelmet (0,0) alsmiddelpuntenstraal1.
• De vergelijking$(x/2)^{2}+(y/3)^{2}-1=0$beschrijft eenellips.
• De vergelijking$xy-4=0$beschrijft eenhyperbool.

In hogeredimensieswordt ook een hogerdimensionale deelruimte als oplossing beschreven, bijvoorbeeld in (gekromd) oppervlak in drie dimensies.

Een andere vorm van vergelijkingen in de analytische meetkunde zijn deparametervergelijkingen.Men kan bijvoorbeeld de$x$- en de$y$-coördinaat uitdrukken alsfunctievan een of meer parameters. Men definieert daarmee een verzameling punten die weer een kromme vormen. Zo kan de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 1 ook als volgt beschreven worden:

${\begin{cases}x=\cos(t)\\y=\sin(t)\end{cases}}$

Zie ook:Parametervergelijking.

Differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen

ZieDifferentievergelijkingvoor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Eendifferentievergelijkingwordt gebruikt om een elementen in eenrijte beschrijven. Een nieuw element wordt dan berekend uit het vorige element, of de vorige elementen. De rij van de positieve even getallen wordt bijvoorbeeld beschreven door

$u_{0}=2$

$u_{n}=u_{n-1}+2$,voor$n=1,2,\ldots$

Differentievergelijkingen zijn eendiscretevorm vandifferentiaalvergelijkingen.In deze laatste komen functies en hunafgeleidevoor.

Diofantische vergelijkingen

ZieDiofantische vergelijkingvoor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Eendiofantische vergelijkingis een vergelijking waarin gezocht wordt naar alleenheeltalligeoplossingen. Voorbeelden van diofantische vergelijkingen:

In de onderstaande diofantische vergelijkingen zijn,$x,\,y$en$z$onbekenden, de andere gegeven letters zijn constanten.
$x^{n}+y^{n}=z^{n}$	Voor$n=2$zijn de gehele oplossingen$(x,y,z)$depythagorese drietallen,hiervan zijn er oneindig veel, bijvoorbeeld (3, 4, 5), (5, 12, 13), enzovoort. Voor$n>2$zegt delaatste stelling van Fermatdat er geen gehele getallen$(x,y,z)$aan de vergelijking voldoen.
$x^{2}-ny^{2}=\pm 1$	Dezevergelijking van Pellwerd doorEulerten onrechte toegeschreven aan de Engelse wiskundigeJohn Pell(1611-1685), maar deze vergelijking werd reeds eeuwen eerder uitvoerig bestudeerd door Indiase wiskundigen.Fermatbewees dat deze vergelijking altijd een oplossing heeft, behalve wanneer$n$een kwadraat is. De oplossing is te vinden in een eindig aantal stappen door met behulp vankettingbreukeneen benadering van devierkantswortelvan$n$te zoeken.
${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$	Hetvermoeden van Erdős-Strausstelt dat er voor elk positief geheel getal$n\geq 2$,een oplossing bestaat, waar$x,\,y$en$z$alle positieve gehele getallen zijn.

Identiteiten

ZieIdentiteit (wiskunde)voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Vergelijkingen worden ook vaak gebruikt om algemeen geldige wiskundige, maar ook natuurkundige, wetten weer te geven. Een heel bekende, die het geschopt heeft totuitdrukking,is 1 + 1 = 2. Maar veel identiteiten verbergen diepere wiskundige kennis. Deidentiteit van Euleris daarvan een voorbeeld en stelt

$e^{i\pi }+1=0$.

Deze identiteit wordt als een van de meest bijzondere in de wiskunde beschouwd, doordat er vijf zeer fundamentelegetallenin worden samengebracht: 0, 1,$i$,$\pi$en$e$.

Eennatuurwetenschappelijkewetheeft vaak de vorm van een identiteit, zoals dealgemene gaswet$pV=nRT$.Met name als links één grootheid staat, zoals bij demassa-energierelatie$E=mc^{2}$,spreekt men ook van een formule.

Zie ook:Lijst van goniometrische gelijkheden

Zie ook

• Functionaalvergelijking
• Functie (wiskunde)

Externe links

• Microcursus formules herschrijven / Vergelijkingen oplossen voor beginners