Zevenhoek

Regelmatige zevenhoek

Eenzevenhoekofheptagonofheptagoonis eenveelhoekmetzevenhoekenen evenzoveelzijden."Hepta - έπτα" isGrieksvoorzeven,"gonia - γωνία" is Grieks voorhoek.Eenregelmatigezevenhoek heeft zeven gelijke zijden en zeven gelijke hoeken. De hoekpunten van de regelmatige zevenhoek liggen, zoals die van elke regelmatige veelhoek, op een cirkel, de dusgenaamdeomgeschreven cirkel.De middens van de zijden liggen op deingeschreven cirkel;ze zijn deraakpuntenvan de zijden aan de ingeschreven cirkel.

Eigenschappen

Hoekformules

De som van de binnenhoeken van een zevenhoek bedraagt altijd 900°, en volgt uit een algemene formule voor veelhoeken, waarin$n$het aantal hoekpunten aangeeft:

$\sum \alpha =(n-2)\cdot 180^{\circ }=5\times 180^{\circ }=900^{\circ }$

De hoek tussen twee naast elkaar gelegen zijden in een regelmatige zevenhoek bedraagt

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\tfrac {5}{7}}\times 180^{\circ }\approx 128{,}57^{\circ }$

Formule voor de oppervlakte A

De oppervlakte van een zevenhoek kan men berekenen door de zevenhoek te verdelen in driehoeken. In het geval van een regelmatige zevenhoek kan de oppervlakte met een eenduidige formule worden uitgedrukt in de lengte van de zijde$s$:

$A={\tfrac {7}{4}}\,s^{2}\,\cot {\frac {450^{\circ }}{7}}\approx 3{,}63391\,s^{2}$

Of uitgedrukt in destraal$R$van de omgeschreven cirkel:

$A={\tfrac {7}{2}}\,R^{2}\,\sin {\frac {360^{\circ }}{7}}\approx 2{,}73641\,R^{2}$

Formule voor de lengte van de zijde

Men kan de lengte$s$van de zijde van een regelmatige zevenhoek uitrekenen uit de straal$R$van de omgeschreven cirkel:

$s=2\,R\,\sin {\frac {180^{\circ }}{7}}\approx 0{,}868\,R$

Benaderingsconstructie regelmatige zevenhoek

De regelmatige zevenhoek is de regelmatige veelhoek met het kleinste aantal hoekpunten waarvoor geenconstructie met passer en liniaalbestaat. Dit komt doordat 7 geenFermat-priemgetalis.

Er zijn wel benaderingsconstructies die voor praktische toepassingen voldoende nauwkeurig zijn. Een zeer eenvoudig voorbeeld is de volgende, waarbij uitgegaan wordt van eencirkeldie dient als omgeschreven cirkel:

1. Vanuit hetmiddelpuntM trekt men een lijn die de cirkel snijdt in X;
2. Dan tekent men een cirkel met middelpunt X door M, die de cirkel weer snijdt in de punten A en Y;
3. AY en MX snijden elkaar in het midden H van AY;
4. Het rodelijnstukAH is een goede benadering van de lengte van de zijde van een regelmatige zevenhoek;
5. Door om te cirkelen vinden we vanuit A de hoekpunten B tot en met G van de zevenhoek.

Om te laten zien hoe goed de benadering is, leiden we af uit de rechthoekige driehoek AHM met destelling van Pythagoras:

$AH={\sqrt {MA^{2}-MH^{2}}}$

Met

$MA=R$;$MH={\tfrac {1}{2}}R$en$AH=s$

krijgt men

$s={\sqrt {R^{2}-\left({\tfrac {1}{2}}R\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\,R\approx 0{,}8660254\,R$

Bij de constructie bedraagt de fout dus:

$f={\frac {0{,}8660254-0{,}8677675}{0{,}8677675}}\approx -0{,}002$

De lengte van de zijde die we vinden is dus iets te kort, en bedraag ongeveer 99,8% van de werkelijke lengte. Pas vanaf een straal van zo'n 57,4centimeterbedraagt de fout meer dan eenmillimeter.

Zevenhoeken in het dagelijks leven

Munt van 50 peseta ter ere van deOlympische Spelen van 1992in Barcelona.

De munt van 20eurocentheeft zeven inkepingen, de hoekpunten van een regelmatige zevenhoek, om ze door blinden en slechtzienden makkelijker te laten onderscheiden van andere euromunten. OokBritsemunten van 20 en 50pencehebben een zevenhoeksvorm, evenals oudeSpaansemunten van 50 en 200peseta.

Mediabestanden

Zie de categorieHeptagonsvanWikimedia Commonsvoor mediabestanden over dit onderwerp.

··

Veelhoeken