Talteori

Talteorier ei grein avrein matematikk,og kan skildrast som læra om deinaturlege tala(1, 2, 3, 4, 5,...). Når vi snakkar omtali talteori er det altså dei naturlege tala vi meiner. Opp gjennom historia har menneske late seg fascinere av tala og dei ulike eigenskapane og samanhengane mellom tala. Mange av dei eigenskapane ved talene som ein studerer i moderne talteori går heilt tilbake til dei greske matematikarane iHellas i antikken.

Historia til talteorien

Grekarane gjorde store oppdagingar innanforgeometrien,men dei leverte òg viktige bidrag til talteorien.Elementav Euklidomhandlar i første rekkja geometri, men bok 7, 8 og 9 (av totalt 13) handlar om talteori. Her finn vi blant annaEuklids algoritme,som blir brukt for å finne den største felles faktoren til to tal. Dette blir rekna som ein av dei viktigaste grunnleggjande teorema i talteori. Her finn vi òg eit bevis for at det finst uendeleg mangeprimtal,ogEuklidpresenterer òg ein variant avaritmetikken sitt fundamentalteorem.

Den store talteoretikaren i det gamleHellasvar utvilsamtDiofant.Vi veit veldig lite om livet hans, men han levde truleg iAlexandriaomkring år 250 evt. Hovudverket var hansArithmetika,som er nesten fullt bevart (10 av 13 bøker er kjent).

IIndiafinn vi ein av dei store talteoretikarane imellomalderen,Bhaskara II(1114-1185). Slik tradisjonen var i India, vart alle bøkene hans utgjeve i poetisk form, og ei av dei viktigaste bøkene hans var tileigna til dottera Lilavati i form av eit matematisk problem.

Kinesisk matematikk var òg på høgda i mellomalderen, og her finn vi viktige talteoretiske resultat. Kinesiske matematikarar stod blant anna for klassifiseringa av allepythagoreiske triplar.Kongruensproblem var òg viktige i den kinesiske matematikken. Pascal-trekanten blir brukt innanfor ulike område av matematikken, og kinesarane var blant dei aller første som oppdaga denne. Kinesarane brukte blant anna trekanten i likningsteoriane sine. Òg arabarane var tidleg ute med studium av Pascals trekant, og dei var òg blant dei første som brukteinduksjon.Elles var ikkje arabiske matematikarar så oppteke av talteori.

På1600-taletmøter viPierre de Fermat,og arbeida hans markerer starten på den moderne talteorien. Han varjuristav yrke, men likevel blir han rekna som ein dei største matematikarane gjennom tidene. Han leverte viktige bidrag til fleire greiner av matematikken, og han blir rekna blant anna som ein av opphavsmennene tilanalytisk geometriogsannsynsrekning.Likevel var det først og fremst innanfor talteorien han leverte dei viktigaste bidraga sine. Dagens talteoretikarar arbeider stadig med dei ideane og problema han etterlét seg. Til dømes vart det såkallaFermats siste teoremførst endeleg bevist av matematikarenAndrew Wilesi1994.

Elementær talteori

Faktorisering

Alle naturlege tal som ikkje erprimtalkanfaktoriserasti to eller fleire faktorar. Til dømes så er 12 = 2 x 6 = 3 x 4 = 2 x 2 x 3. Dersom eit tal $a$ kan skrivast som eit produkt av to tal $b$ og $c$ slik: $a=bxc$ ,så seier vi at $b$ og $c$ erfaktoreri talet $a$ .

Dette kan òg seiast på andre måtar:

b går opp i a
b er en divisor i a
a er deleleg med b
a er eit multiplum av b

Vi kan òg skrive dette heilt kort, $b|a$

Primtal

Når eit tal ikkje har andre faktorar enn 1 og seg sjølv, seier vi at talet er eitprimtal.Desse tala har fascinert matematikarar i hundreår. Dei ti første primtala er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Det kan vere krevjande å finne ut om eit stort tal er primtal eller ikkje, og dette er noko av årsaka til at primtal i tida vår har vorte viktig innanforkryptering.

Primtala følgjer ikkje etter kvarandre i noko føreseieleg mønster slik sompartalogoddetalgjer. Eit avmatematikkensine uløyste problem er nettopp å finne noko mønster for når primtala dukkar opp i talrekka. Det er ein stadig pågåande konkurranse i å finne det største primtalet, og dette er ein aktivitet som aldri vil ta slutt. Ein av setningane i talteorien seier nemleg at det er uendeleg mange primtal.

Andre eigenskapar ved tala

Det er mange eigenskapar ved tala som talteoretikarar studerer, og mange av desse dreiar seg om faktorane til eit tal. Dersom vi summerer faktorane til eit tal (til dømes $1+2+3=6$ ,der $1$ , $2$ og $3$ er faktorar i talet $6$ ), og denne summen blir mindre enn talet sjølv, så seier vi at dette er eitfattig tal.Dersom summen av faktorane blir større enn talet sjølv, så seier vi at talet er eitrikt tal.Eit tal der summen av faktorane er lik talet sjølv - slik som for talet $6$ - vert kalla eitperfekt tal.

Analytisk talteori

Analytisk talteori tek i bruk metodar frå analysen for å handsame problem som gjeld tal.Primtalsteoremetog den relaterteRiemann-hypotesener døme på dette. Warings problem (representere eit gjeve tal som ein sum av potensar), hypotesen om tvilling-primtal (finne uendeleg mange par av primtal med differanse 2) og Goldbachs hypotese (skrive partal som sum av to primtal) er døme på problem innanfor talteorien kor ein òg har brukt analytiske metodar for å kome nærare ei løysing.

Algebraisk talteori

I algebraisk talteori blir talomgrepet utvida tilalgebraiske tal(tal som er røter av polynom med rasjonale koeffisientar). I ein slik setting er ikkje naudsynleg dei kjende eigenskapane til tala lenger gyldige. Ein brukar her metodar fråalgebraen(Galois-teori,teoriar omgrupperepresentasjonarog L-funksjonar osb) for å kome nærare ei løysing

Mange problem frå talteorien blir freista løyst ved å studere deimodulo $p$ for alle primtal $p$ .Dette vert kalla lokalisering eller lokal analyse, og er eit felt som går ut frå den algebraiske talteorien.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Tallteori» fråWikipedia på bokmål,den 15. september 2011.

Bakgrunnsstoff

Nettstader

Number Theory Web
Math Archives - Number theory Arkivert2011-09-05 vedWayback Machine.
Algebraic number theory archives Arkivert2007-02-02 vedWayback Machine.

Bøker

Breiteig, Trygve og Venheim, Rolf (2005).Matematikk for lærere 1.(4. utgåve utg.). Oslo: Universitetsforlaget.ISBN 82-15-00761-9.

Lindstrøm, Tom (1995).Kalkulus.Oslo: Universitetsforlaget.ISBN 82-00-22823-1.

Burton, D.M. (1980).Elementary number theory.(2 utg.). Allyn and Bacon.

Schroeder, M.R. (2006).Number theory in science and communication.(5 utg.). Springer.