Flatevidd

Det samle arealet til desse tre formene er mellom 15 og 16kvadrat.

Flateviddellerarealer ord som vert brukte for å uttrykka utstrekkinga av eit område.

Eininganeein bruker til å måle flatevidd har to dimensjonar, lengde og breidde. Einkvadratmeterer til dømes einmeterlang og ein meter brei, medan einkvadratkilometerer einkilometeri kvar retning. Andre einingar ein ofte brukar for å snakka om flatevidd ermålogdekar,som begge er definert som 1000 kvadratmeter.

Det er fleire kjende formlar for enkle former somtrekantar,rektangelogsirklar.Ved å nytte desse formlane kan ein finne arealet til allepolygonved å dele dei inn i trekantar.For former som består av kurver, må ein som regel nyttedifferensialrekningfor å finne arealet. Faktisk var problemet med å finne arealet til forskjellige figurar ein stor motivasjonsfaktor for utviklinga av differensialrekning.

For former somkuler,kjeglerogsylindrar,vert arealet av overflata kallaoverflatearealet.Formlar for overflateareal av enkle former vart rekna ut avgreske matematikarar i antikken.

Formell definisjon

Ei tilnærming til å definere kva ein meiner med areal finn ein gjennomaksioma.Til dømes kan ein definere eit areal som ein funksjonafrå ei samlnigMav ei særskild plan figur i ei mengd reelle tal som tilfredsstiller følgjande eigenskapar:

• For alleSiM,$a(S)\geq 0$.
• OmSogTer iMså er òg$S\cup T$og$S\cap T$det,$a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)$.
• OmSogTer iMmed$S\subset T$så erT−SiMoga(T−S) =a(T) −a(S).
• Om ei mengdSer iMogSer kongruent tilTså erTòg iMoga(S) =a(T).
• Alle rektangelRer iM.Om rektangelet har lengdahog breiddakså era(R) =hk.
• LaQvere ei mengd lukka mellom to stegvise regionarSgoT.Ein stegregion er danna av ein endeleg union av tilstøytande rekangel som kviler på same grunnlinje, til dømes$S\subset Q\subset T$.Om det finst eit unikt talcslik at$a(S)\leq c\leq a(T)$for alle slike stegregionarSogT,så era(Q) =c.

Einingar

Ein kvadratmeter.

Kvarlengdeeininghar ein tilsvarande eining for areal, nemleg arealet til eit kvadrat med den lengda ein har nytta. Areal kan derfor målast ikvadratmeter(m²), kvadratcentimeter (cm²), kvadratmillimeter (mm²),kvadratkilometer(km²),kvadratfot(ft²),kvadratyard(yd²),kvadratmile(mi²), og så vidare. Algebraisk kan ein tenkje på desse einingane som kvadrat av dei samsvarande lengdeeiningane.

SI-einingafor areal er kvadratmeter.

Omrekningar

Sjølv om det er 10 mm i 1 cm, er der 100 mm²i 1 cm².

Omrekninga mellom to arealeiningar erkvadratetav omrekninga mellom dei tilsvarande lengdeeiningane. Til dømes sidan

1fot= 12tommer,

så er forholdet mellom kvadratfot og kvadrattomme

1 kvadratfot = 144 kvadrattommar

der 144 = 12²= 12 × 12. På liknande vis:

• 1 kvadratkilometer =1 000 000kvadratmeter
• 1 kvadratmeter =10 000kvadratcentimeter = 1 000 000 kvadratmillimeter
• 1 kvadratcentimeter =100kvadratmillimeter
• 1 kvadratyard =9kvadratfot
• 1 kvadratmile = 3 097 600 kvadratyard = 27 878 400 kvadratfot

I tillegg,

• 1 kvadrattomme = 6,4516 kvadratcentimeter
• 1 kvadratfot =0.09290304kvadratmeter
• 1 kvadratyard =0.83612736kvadratmeter
• 1 kvadratmile =2.589988110336kvadratkilometer

Andre einingar

Det finst òg fleire andre einingar for areal.

Hektareller mål vert ofte framleis nytta for å måle landområde

• 1 hektar = 10 000 kvadratmeter = 0.01 kvadratkilometer

I somme land nyttar ein ògacreder

• 1 acre = 4 840 kvadratyard = 43 560 kvadratfot

Ein acre er om lag 40 % av ein hektar.

Arealformlar

Rektangel

Arealet til dette rektangelet erlw.

Den mest grunnleggande arealformelen er formelen for arealet til eitrektangel.Eit rektangel med lengdalog breiddab,har arealformelen:

A=lb(rektangel).

Altså arealet er lengda multiplisert med breidda. Eit spesialtilfelle er eit kvadrat med lengdassom er gjeven av formelen

A=s²(kvadrat).

Like arealfigurar.

Oppdelingsformlar

Dei fleste andre enkle formlar for areal går ut på å dele opp problemet. Dette vil sei å dele formene inn i bitar som ein kan rekne ut arealet for, og så summere arealet for å få arealet til den originale forma.

Til dømes kan eitparallellogramdelast inn i eittrapesog einrettvinkla trekant,som vist i figuren til venstre. Om trekanten vert flytta til den andre sida av trapeset får ein eit rektangel. Dermed vil arealet til parallellogrammet vere det same som arealet til rektangelet:

A=bh(parallellogram).

To like trekantar.

Det same parallellogrammet kan kuttast inn i eindiagonalog delast inn i tokongruentetriangel, som synt i figuren til høgre. Det følgjer at arealet kvart triangel er halvparten av arealet til parallellogrammet:

$A={\frac {1}{2}}bh$(trekant).

Liknande argument kan nyttast til å finne arealformlar fortrapesogrombe,samt meir komplisertepolygon.

Sirklar

Ein sirkel kan delast inn isektorarsom kan omarrangerast slik at dei tilnærma formar eitparallellogram.

Formelen for arealet til einsirkeler basert på ein liknande metode. Om ein har ein sirkel med radiusr,er det mogeleg å dele sirkelen inn isektorar,som vist i figuren til høgre. Kvar sektor er tilnærma trekantforma og kan omarrangerast og forme eit tilnræma parallellogram. Høgda på dette parallellogrammet err,og breidda er halveomkrinssentil sirkelen ellerπr.Dermed er det totale arealet til sirkelenr×πr,ellerπr²:

A=πr²(sirkel).

Sjølv om oppdelinga nytta i denne formelen berre er ei tilnærming, vert feilen mindre og mindre etter fleire og fleire sektorar ein deler sirkelen inn i. Grensa til arealet for det tilnærma parallellogrammet er nøyaktigπr²,som er arealet for ein sirkel.

Denne metoden er faktisk eit enkelt døme på ideane idifferensialrekning.

Overflateareal

Arkimedessynte at overflatearealet og volumet til eikuleer nøyaktig 2/3 av arealet og volumet til ei omliggandesylinderflate.

Dei mest grunnleggande formlane foroverflatearealkan ein få ved å kutte overflata opp og flate dei ut. Til dømes om overflata til einsylinder(eller eitprisme) vert kutta på langs, så kan ein brette ut overflata til eit rektangel. På liknande vis kan ein kutte langs sida på eikjegleog få einsektorav ein sirkel, som så kan reknast ut.

Formelen for overflatearealet til ei kule er vanskelegare, fordi overflate har ei eigaussisk krummingsom ikkje er lik null, og dermed ikkje kan flatast ut. Formelen for overflate arealet til ei kule var detArkimedessom først kom fram til i verketOn the Sphere and Cylinder.Formelen er

A= 4πr²(kule).

derrer radiusen til kula. Som med formelen for arealet til ein sirkel kan ein kome fram til denne formelen med liknande metodar som vert nytta idifferensialrekning.

Formlar

Vanlegformelfor areal:

Form	Formel	Variablar
Likesida trekant	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$er lengda til ei side i trekanten.
Trekant	${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s$er halve omkrinsen,$a$,$b$og$c$er lengda på kvar side.
Trekant	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!$	$a$og$b$er to vilkårlege sider og$C$ervinkelenmellom dei.
Trekant	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$og$h$er høvesvis grunnlinja og høgda (målt vinkelrett på grunnlinja).
Kvadrat	$s^{2}\,\!$	$s$er lengda til ei side av kvadratet.
Rektangel	$lb\,\!$	$l$og$b$er lengdene til sidene i rektangelet (lengda og breidda).
Rombe	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$og$b$er lengda til dei todiagonalanei romben.
Parallellogram	$bh\,\!$	$b$er lengda til grunnlinja og$h$er høgda som står vinkelrett på grunnlinja.
Trapes	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$og$b$er lengda til dei parallelle sidene og$h$er avstanden (høgda) mellom parallellane.
Likesidasekskant	${\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$er lengda til ei av sidene i sekskanten.
Likesidaåttekant	$2\left(1+{\sqrt {2}}\right)s^{2}\,\!$	$s$er lengda til ei av sidene i åttekanten.
Likesida polygon	${\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!$	$l$er lengda til ei side og$n$er mengda sider.
Likesida polygon	${\frac {1}{4n}}p^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!$	$p$er omkrinsen og$n$er mengda sider
Likesida polygon	${\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \sin(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)\,\!$	$R$er radiusen til ein omskriven sirkel,$r$er radiusen til ein innskriven sirkel og$n$mengda sider.
Likesida polygon	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$erradiusen til ein innskriven sirkelog$p$er omkrinsen til polygonet.
Sirkel	$\pi r^{2}\ {\text{eller}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$er radiusen og$d$erdiameteren.
Sirkelsektor	${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!$	$r$og$\theta$er høvesvis radiusen og vinkelen (iradianar).
Ellipse	$\pi ab\,\!$	$a$og$b$er høvesvis lengda på den vesle og den store aksen.
Totalt overflatearealet av einsylinder	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$og$h$er høvesvis radius og høgd.
Overflatearealet til ei sylinderside.	$2\pi rh\,\!$	$r$og$h$er høvesvis radius og høgd.
Det totale overflatearealet til eikjegle	$\pi r(r+l)\,\!$	$r$og$l$er høvesvis radius ogskråhøgda.
Overflate til ei kjegleside	$\pi rl\,\!$	$r$og$l$er høvesvis radius og skråhøgda.
Overflatearealet til eikule	$4\pi r^{2}\ {\text{eller}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$og$d$er høvesvis radius og diameter.
Det totale overflatearealet til einellipsoide		Sjå artikkelen.
Det totale overflatearealet til einpyramide	$B+{\frac {PL}{2}}\,\!$	$B$er grunnarealet,$P$er omkrinsen til grunnflata og$L$er skråhøgda.
Omforming fråkvadratisktil sirkulært areal.	${\frac {4}{\pi }}A\,\!$	$A$er arealet til kvadratet i kvadrateiningar.
Omforming frå sirkel til kvadratareal	${\frac {1}{4}}C\pi \,\!$	$C$er arealet tilsirkeleni sirkeleiningar.

Andre formlar

Areal i differensialrekning

Arealet mellom to grafar kan reknast ut ved skilnaden mellom integrala til dei to funksjonane som dannar grafane.

• arealet mellomgrafanetil to funksjonar er lik integralet til den einefunksjonen,f(x), minus integralet til den andre funksjonen,g(x).
• eit areal avgrensa av ein funksjonr=r(θ) uttrykt ipolarkoordinatarer${1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }r^{2}\,d\theta$.
• arealet lukka av eiparametrisk kurve${\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))$med endepunkt${\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})$er gjeven avlinjeintegrala

$\oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt$

ellerz-komponenten av

${1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.$

Generell formel for overflateareal

Den generelle formelen for overflatearealet av grafen til ein kontinuerleg differensierbar funksjon$z=f(x,y),$der$(x,y)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}$og$D$er ein region i xy-planet med glatte grenser:

$A=\iint _{D}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy.$

Ein enno meir generell formel for arealet til ein graf av eiparametrisk flatepå vektorforma$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),$der$\mathbf {r}$er ein kontinuerleg differensierbar vektorfunksjon av$(u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}$:

$A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.$

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Area» fråWikipedia på engelsk,den 29. oktober 2011.
  • Wikipedia på engelskoppgav desse kjeldene:

Bakgrunnsstoff

• Weisstein, Eric W., «Area» fråMathWorld.
• Arealformlar