Folding i signalhandsaming

Foldingein matematiskbilineæroperasjon på tofunksjonar,ellersignal, $u(t)$ og $h(t)$ som resulterer i ein tredje funksjon $y(t)$ ,som syner korleis dei to funksjonane påverkar kvarandre. Folding kan utførast mellom kontinuerlege ellerdiskrete funksjonar,og kan sjåast på som ei generalisering av eitglidande gjennomsnitt.

Folding av tids-kontinerlege signal

Folding av to kontinuerlegeLebesgue-integrerbarefunksjonar $u(t)$ og $h(t)$ vert utført som

y(t)=u(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)h(t-\tau )d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(t)u(t-\tau )d\tau,

der*,som vert kalla «foldingsoperatoren», er ein kompakt notasjon for folding. «Folding» kjem frå den tyske nemninga «Faltung», og syner til at den eine funksjonen vert folda (bretta), slik at slutten kjem fyrst og starten til slutt, vist med notasjonen $h(t-\tau )$ .Folding er einkommutativ operasjon,så det spelar inga rolle kva for funksjon som vert snudd (folda). Dei to funksjonane kan verareelleellerkomplekse.

Om $h(t)$ erimpulsresponsentil eitlineært system(eitfilter), er utgangssignalt $y(t)$ frå systemet gitt som foldinga av impulsresponsen $h(t)$ og inngangssignalet $u(t)$ .Ein kan difor måla impulsresponsen til eit lineært system ved å senda ein impuls gjennom det.

Folding av tids-diskrete signal (sekvensar)

Folding av relle eller komplekse diskrete sekvensar vert utført som eitCauchy-produkt:

y(n)=h(n)*h(n)=\Sigma _{m=-\infty }^{\infty }u(m)h(n-m)=\Sigma _{m=-\infty }^{\infty }h(m)u(n-m).

Her er Lebesgue-målet bytta ut med eitkardinalitetsmål.

Linjealmetoden

Folding av to diskrete sekvensar kan illustrerast med den sokalla linjealmetoden. Fyrst blir den eine av dei to sekvensane reversert. Ein startar så med å overlappa sekvensane med ein sampel og så blir verdiane multipliserte med kvarandre. Dette gir den fyrste verdien til $y(0)$ .Deretter forskyv ein den reverserte sekvensen $h(n)$ med eit sampelinterval, slik at dei to sekvensane overlappar med to sample, finn produkta av dei to overlappande sampelpara og summerer for å finna $y(1)$ .Så forskyv ein sekvensen enda eit sampelinterval, multipliserer dei overlappande tre sampelpara og summerer, for å finna $y(2)$ .Ein held fram på dette viset til sekvensane ikkje lengre overlappar. Lengda av den resulterande sekvensen $y(n)$ blir lik summen av lengda til sekvensane $u(n)$ og $h(n)$ ,minus 1.