Fourier-transformasjon

Fourier-transformasjon(ofte forkorta tilFT) er eilineæravbildingsomtransformererein funksjon avreelle variablarmedkomplekseverdiar til ein annan.I applikasjonar somsignalhandsamingtransformerer ein typisk fråtidsplanettilfrekvensplanet.Dette kan samanliknast med at ein akkord i musikk kan skildrast av notane som vert spelt. Så i praksis så dekomponerer fouriertransformasjonen ein funksjon, eller eit signal, i ein sum avoscillerandefunksjonar, som kan uttrykkast som$\cos$- og$\sin$-funksjonar, eller som ein sum aveksponentialfunksjonar.

Fourier-transformasjon og generaliseringane er emne iFourier-analyse.Det er mogeleg å definere Fourier-transformasjonen til ein funksjon av fleire variablar, noko som til dømes er viktig i det fysiske studiet avbølgjerogbiletehandsaming.Det er òg mogleg å generalisere Fourier-transformasjonen pådiskretestrukturar somendelege grupper.

Definisjon

Det finst fleire vanlege måtar å definere fouriertransformasjonen av einintegrerbarfunksjon. Denne artikkelen nyttar definisjonen:

$X(\ Omega ):=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\ Omega t}\,dt,$for$t$∈$[-\infty,\infty ]$,

der$j={\sqrt {-1}}$.Når variabelen$x(t)$representerertid(medSI-einingasekund), representerer transformasjonsvariabelen$X(\ Omega )$vinkelfrekvens,som kan konverterast til temporalfrekvens$f=\ Omega /(2\pi )$(iHz). Etter som Fourier-transformasjonen dekomponerer signalet$x(t)$i frekvenskomponentar$X(\ Omega )$,med ulik frekvens og amplitude, vert ho kallaanalyselikninga.

Invers Fourier-transformasjon

Invers transformasjon, som typisk transformerer frå frekvensplanet til tidsplanet, vert definert som

$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\ Omega )\ e^{j\ Omega t}d\ Omega,$for alle reellet.

Faktoren$1/(2\pi )$er ein skaleringskonstant, som syter for at energien er den same i tids- og frekvensplanet; sjåParsevals teorem.Etter som den inverse Fourier-transformasjonen syntiserer eit signalet$x(t)$i tidsplanet, som ein sum av ulike oscillerande bølgjer (frekvenskomponentar)$X(\ Omega )$,med ulik frekvens og amplitude, vert ho kallasymteseselikninga.

Samanhengen med Laplace-transformasjonen

Fourier-transformasjonen kan sjåast på som eit spesialtilfelle av den to-sidigeLaplace-transformasjonen.Laplace-transformasjonen transformerer eit signal til det komplekse$s$-planet, der$s=\sigma +j\ Omega$er ein kompleks frekvensvariabel. I samband med Fourier-transfroma er realdelen$\sigma$sett til null. slik at ein ender ein opp med den imaginære delen av frekvensvariabelen$j\ Omega$,som ligg på den imaginære aksen i$s$-planet. At dei ulike Fouirer-komponentane (frekvens-komponentane) ligg på den imaginære aksen betyr at dei er periodiske. Fourier-transformasjonen er med andre ord eit speialtilfelle av Laplace-transformasjonen, som vert nytta når signalet$x(t)$er periodiskt.

Eigenskapar

Linearitet

Fouriertransformasjonen er eilineæravbilding:

${\mathcal {F}}\left[af(t)+bg(t)\right]=a{\mathcal {F}}[f(t)]+b{\mathcal {F}}[g(t)]=aF(\ Omega )+bG(\ Omega )$

Funksjonsprodukt og folding

For produkt av funksjonar gjeld

${\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t)*g(t)]&=F(\ Omega )G(\ Omega )\\{\mathcal {F}}[f(t)g(t)]&={\frac {1}{2\pi }}F(\ Omega )*G(\ Omega ),\\\end{alignedat}}$

her markerer$*$einfoldingsoperator(konvolusjon).

Tids- og frekvensforskyving

${\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t-T)]&=e^{-i\ Omega T}F(\ Omega )\\{\mathcal {F}}[e^{i\Omega t}f(t)]&=F(\ Omega -\Omega ).\\\end{alignedat}}$

Derivasjon

Forderiverteav funksjonar gjeld

${\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}\left[{\frac {d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}}\right]&=(i\ Omega )^{(n)}F(\ Omega )\\{\mathcal {F}}[(-it)^{n}f(t)]&={\frac {d^{(n)}F(\ Omega )}{d\ Omega ^{(n)}}}.\\\end{alignedat}}$