Fourier-transformasjon
Fourier-transformasjon(ofte forkorta tilFT) er eilineæravbildingsomtransformererein funksjon avreelle variablarmedkomplekseverdiar til ein annan[1][2].I applikasjonar somsignalhandsamingtransformerer ein typisk fråtidsplanettilfrekvensplanet.Dette kan samanliknast med at ein akkord i musikk kan skildrast av notane som vert spelt. Så i praksis så dekomponerer fouriertransformasjonen ein funksjon, eller eit signal, i ein sum avoscillerandefunksjonar, som kan uttrykkast som- og-funksjonar, eller som ein sum aveksponentialfunksjonar.
Fourier-transformasjon og generaliseringane er emne iFourier-analyse.Det er mogeleg å definere Fourier-transformasjonen til ein funksjon av fleire variablar, noko som til dømes er viktig i det fysiske studiet avbølgjerogbiletehandsaming.Det er òg mogleg å generalisere Fourier-transformasjonen pådiskretestrukturar somendelege grupper.
Definisjon
[endre|endre wikiteksten]Det finst fleire vanlege måtar å definere fouriertransformasjonen av einintegrerbarfunksjon. Denne artikkelen nyttar definisjonen:
- for∈,
der.Når variabelenrepresenterertid(medSI-einingasekund), representerer transformasjonsvariabelenvinkelfrekvens,som kan konverterast til temporalfrekvens(iHz). Etter som Fourier-transformasjonen dekomponerer signaleti frekvenskomponentar,med ulik frekvens og amplitude, vert ho kallaanalyselikninga.
Invers Fourier-transformasjon
[endre|endre wikiteksten]Invers transformasjon, som typisk transformerer frå frekvensplanet til tidsplanet, vert definert som[3]
- for alle reellet.
Faktorener ein skaleringskonstant, som syter for at energien er den same i tids- og frekvensplanet; sjåParsevals teorem.Etter som den inverse Fourier-transformasjonen syntiserer eit signaleti tidsplanet, som ein sum av ulike oscillerande bølgjer (frekvenskomponentar),med ulik frekvens og amplitude, vert ho kallasymteseselikninga.
Samanhengen med Laplace-transformasjonen
[endre|endre wikiteksten]Fourier-transformasjonen kan sjåast på som eit spesialtilfelle av den to-sidigeLaplace-transformasjonen.Laplace-transformasjonen transformerer eit signal til det komplekse-planet, derer ein kompleks frekvensvariabel. I samband med Fourier-transfroma er realdelensett til null. slik at ein ender ein opp med den imaginære delen av frekvensvariabelen,som ligg på den imaginære aksen i-planet. At dei ulike Fouirer-komponentane (frekvens-komponentane) ligg på den imaginære aksen betyr at dei er periodiske. Fourier-transformasjonen er med andre ord eit speialtilfelle av Laplace-transformasjonen, som vert nytta når signaleter periodiskt.
Eigenskapar
[endre|endre wikiteksten]Linearitet
[endre|endre wikiteksten]Fouriertransformasjonen er eilineæravbilding:
Funksjonsprodukt og folding
[endre|endre wikiteksten]For produkt av funksjonar gjeld
her markerereinfoldingsoperator(konvolusjon).
Tids- og frekvensforskyving
[endre|endre wikiteksten]Derivasjon
[endre|endre wikiteksten]Forderiverteav funksjonar gjeld