Reelle tal

Dei reelle talaer eikompletteringavdei rasjonelle tala.Alle reelle tal har eindesimaltalrepresentasjonsom$n.d_{1}d_{2}d_{3}\dots$eller$n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{10^{2}}}+\dots +{\frac {d_{m}}{10^{m}}}+\dots$,der$n$er eitnaturleg talog alle$d_{i}$ersifferi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Reelle tal omfattarrasjonelle talsom 1, 5 og 21/7, men ogsåirrasjonelle talsom${\sqrt {2}}$og$\pi$.Dei reelle tala er eidelmengdavdei komplekse tala.

Eit reelt tal kan ha opptil to ulike desimaltaltalrepresentasjonar. Til dømes er 0.9999... og 1.000... representasjonar av det same reelle talet. At nokre reelle tal har to representasjonar og andre berre eitt skuldast at ein desimaltalrepresentasjonen er ein konvensjon basert påtitalssystemet;det er ikkje sjølve essensen til dei reelle tala.

Cantor-Dedekinds aksiomseier at dei reelle tala erordensisomorfemed det lineærekontinuumetigeometrien.Det vil seia at det finst einbijeksjonmellom reelle tal og punkt på ei line. Dette er ikkje eitaksiomi ordinær forstand.

Definisjon og konstruksjon

Dei reelle tala er den unike,komplette,ordnakroppen$(\mathbb {R},+,\cdot,<)$som hardei rasjonelle tala$\mathbb {Q}$som einunderkropp:

• Dersom$x,y\in \mathbb {R}$,så gjeld éin av$x<y$,$x=y$og$x>y$.
• Dersom$x,y,z\in \mathbb {R}$,$x<y$og$y<z$,så er også$x<z$.
• Dersom$E\subset \mathbb {R}$er ikkje-tom og bunden ovanfrå, så finst$M=\sup {E}$(komplettleiksprinsippet).
• $(\mathbb {R},+)$er eiabelsk gruppemed identitet 0:
  • Dersom$x,y\in \mathbb {R}$,så er$x+y\in \mathbb {R}$.
  • Dersom$x,y\in \mathbb {R}$,så er$x+y=y+x$(kommutativitet).
  • Dersom$x,y,z\in \mathbb {R}$,så er$(x+y)+z=x+(y+z)$(assosiativitet).
  • Det finst$0\in \mathbb {R}$slik at$0+x=x$for alle$x\in \mathbb {R}$(identitetselement).
  • Dersom$x\in \mathbb {R}$,så finst$-x\in \mathbb {R}$slik at$-x+x=0$(inverse element).
• $(\mathbb {R} -\{0\},\cdot )$er ei abelsk gruppe med identitet 1:
  • Dersom$x,y\in \mathbb {R} -\{0\}$,så er$x\cdot y\in \mathbb {R}$.
  • Dersom$x,y\in \mathbb {R} -\{0\}$,så er$x\cdot y=y\cdot x$(kommutativitet).
  • Dersom$x,y,z\in \mathbb {R} -\{0\}$,så er$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$(assosiativitet).
  • Det finst$1\in \mathbb {R} -\{0\}$slik at$1\cdot x=x$for alle$x\in \mathbb {R}$(identitetselement).
  • Dersom$x\in \mathbb {R} -\{0\}$,så finst${\frac {1}{x}}\in \mathbb {R}$slik at${\frac {1}{x}}\cdot x=1$(inverse element).
• Multiplikasjondistribuerer overaddisjon:Dersom$x,y,z\in \mathbb {R}$,så er$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
• $\mathbb {Q} =\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z},n\in \mathbb {N} \}$er ein underkropp:
  • $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$
  • Ordenen til$\mathbb {Q}$samenfell med ordenen til$\mathbb {R}$når brukt på rasjonelle tal.
  • Addisjon i$\mathbb {Q}$samenfell med addisjon$\mathbb {R}$når brukt på rasjonelle tal.
  • Multiplikasjon i$\mathbb {Q}$samenfell med multiplikasjon i$\mathbb {R}$når brukt på rasjonelle tal.

Denne definisjonen gjev i seg sjølv ikkje ei sikring av at dei reelle tala finst eller at dei er unikt definerte; me må følgja definisjonen opp med ein konstruksjon av dei reelle tala frå dei rasjonelle tala. Det finst i alle fall tre ulike, men på eit vis ekvivalente framgangsmåtar:

Dei reelle tala som Dedekindkutt

Ei delmengd$E\subset \mathbb {Q}$er eitDedekindkuttdersom

• $E\neq \emptyset$og$E\neq \mathbb {Q}$.
• Dersom$p\in E$,$q\in \mathbb {Q}$og$q<p$,så$q\in E$(Einneheld alle rasjonelle tal lågare ennpdersomper iE).
• Dersom$p\in E$,så finst$r\in E$slik at$p<r$(Ehar ingen største element).

Dei reelle tala er mengda av Dedekindkutt;

• $E<F$dersom E er eiekte delmengdav F.
• $E+F$er mengda av alle$r+s$,der$r\in E$og$s\in F$.0* er Dedekindkuttet av negative rasjonelle tal.
• Dersom$E>0*$og$F>0*$,så er$E\cdot F$mengda av alle$p\leq rs$,der$r\in E$og$s\in F$er ikkje-negative.
• $E\cdot 0*=0*\cdot E=0*$.
• $E\cdot F=(-E)\cdot (-F)$for$E<0*$og$F<0*$.
• $E\cdot F=-((-E)\cdot F)$for$E<0*$og$F>0*$.
• $E\cdot F=-(E\cdot (-F))$for$E>0*$og$F<0*$.

Denne konstruksjonen vart gjennomført avDedekindi 1872.

Dei reelle tala som Cauchyfølgjer

EiCauchyfølgjeblant dei rasjonelle tala er eifølgje$\{x_{n}\}_{n\geq 0}$slik at for alleomegnUom 0 finst eit naturleg talNslik at$x_{n}-x_{m}\in U$for alle$m,n\geq N$.To Cauchyfølgjer$\{x_{n}\}_{n\geq 0}$og$\{y_{n}\}_{n\geq 0}$er ekvivalente dersom$x_{n}-v_{n}\to 0$i$\mathbb {Q}$med den vanlegetopologienindusert avmetrikken$d(x,y)=|x-y|$.Dei reelle tala er då mengda avekvivalensklassaneog erkompletteringaav dei rasjonelle tala. Ei alternativ formulering er at$\mathbb {R} =F/N$,derNeridealetav nullfølgjer iringenFav cauchyfølgjer i$\mathbb {Q}$.Denne konstruksjonen vart gjennomført avCauchyi 1871.

Dei reelle tala som nøsta intervall

La$I_{1},I_{2},I_{3},\dots$vera ei følgje av lukka, avgrensa intervall i$\mathbb {Q}$,slik at$I_{n+1}\subseteq I_{n}$.Dersom lengda av intervalla går mot null, så er eit bestemt reelt tal det unike talet som finst i alle desse mengdene. Dette argumentet vart gjort i detalj avBachmanni 1892 (intervallinnkapslingsmetoden).

Tarski si aksiomatisering

Eit alternativt aksiomsystem for dei reelle tala er:

• < er einasymmetriskbinær operasjon som erDedekindkomplettogtetti mengda$\mathbb {R}$.
• + er einassosiativoperasjon på$\mathbb {R}$og for allexogyfinstzslik at x + z = y.
• Dersom$x+y<z+w$,så er anten$x<z$eller$y<w$og det finst eit element 1 i$\mathbb {R}$slik at 1 < 1 + 1.

SjåTarski si aksiomatisering av dei reelle tala.