Sampling

For andre tydingar av oppslagsordet, sjåmusikksampling.

Sampling,tasting,ellerpunktprøving,er ein operasjon der ein måler amplituden til eit analogt signal ved (vanlegvis) faste tidspunkt. Sampling diskretiserer tidsaksen, slik at ein endar opp med ein sekvens av analoge måleverdiar. Med analoge måleverdiane meiner ein at amplituden ikkje er diskretisert. I praksis vil amplituden som oftast verta diskretisert (kvantisert) av ein etterfylgjandeAD-omformar.

Grunngjeving for å sampla

Fig. 1 Blokkdiagram for digital signalhandsaming.

Når eit tidskontinuerleg signal skal handsamast eller lagrast på digital form må det først konverterast til ein sekvens avbinære ord.Fig. 1 syner korleis eit system forsanntidsdigital signalhandsaminger bygt opp. Den grøne blokka til venstre konverterer eit analogt signalu(t) til ein sekvens av binære ordu(n). Den gule blokka i midten utfører ei eller anna form for filtrering, eller annan operasjon, av sekvensenu(n). Resultatet av denne prosesseringa er den binære sekvenseny(n), som vert konvertert til eit tidskontinuerleg analogt signal av den blå blokka til høgre i Fig. 1. Dette vert kalla rekonstruksjon. Om målet er å analysera signaletu(t) trengst ikkje rekonstruksjonsblokka til høgre i Fig. 1.

Kvantisering i tid og amplitude

Fig. 2 To alternativ for kvantisering av amplitude- og tidsaksane.

Det analoge signaletu(t) er kontinuerleg både i tid og amplitude. At signalet er tidskontinuerleg tyder at verdienu(t) er definert for alle tidsverdiart.At signalet eranalogttyder at at alle verdiar, innan gitte minimum- og maksimumverdiar, er definerte, slik at signalet har ein kontinerleg varierande amplitude. Når eit slikt analogt signal skal konverterast til ein sekvens av binære ord må det kvantiserast både i tid og amplitude. Det er vanleg å kalla kvantiseringa langs tidsaksen for sampling, tasting, eller punktprøving. Ein tek med andre ord prøvar av amplituden med faste tidsinterval, kalla sampelintervalT.Denne operasjonen vert utført av blokka merkaSampleri Fig. 1. Kvantiseringa av amplituden vert tradisjonelt kallakvantisering.På det viset held ein kvantisering av tid og amplitude frå kvarandre.

I prinsippet spelar det inga rolle om ein samplar (kvantiserer tidsaksen) først, eller om ein kvantiserer amplitudeaksen fyrst, Fig. 2. Men på grunn av atAD-omformarentreng litt tid til å konvertera frå det analoge signalet på inngangen til eit binært ord vert samplinga utført fyrst, slik som i Fig. 1. Spenninga på inngangen av AD-omformaren vert halden konstant medan konverteringa foregår. I praksis skjer dette ved at inngangsspenninga vert lagra i einkondensator.Kombinasjonen av brytaren i sampleren og haldeelementet (kondensatoren) vert kalla einsample og hald-krins, ofte forkorta til S/H-krins.

Modellering av sampling i tidsplanet

Fig. 3 Sampelkrins.
a)Brytarmodell
b)PAM-modell.

Fig. 4 Sampling sett i tidsplanet.
a)Analogt inngangssignalu(t)
b)Sampelsekvenss(t)
c)Sampla sekvensu(n)

Punktprøvinga kan modellerast som ein brytar, som vert opna og stengd av impulssekvenss(t), som illustrert i Fig. 3 a). Men krinsen kan òg modellerast som multiplikasjon mellom inngangssignaletu(t) og impulssekvensens(t), ofte kalla sampelfunksjonen, som vist i Fig. 3 b). Sampelsekvensen kan uttrykkast

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$

derTer sampelintervalet. Denne impulssekvensen er illustrert i Fig. 4 b), derTsampelintervallet. Operasjonen i Fig. 3 b) erPuls Amplitude Modulasjon(PAM). I tidsplanet kan vi uttrykkje det sampla signalet us(t) som:

$u_{s}(t)=u(t)s(t)$.

Denne multiplikasjonen, eller PAM-modulasjonen, fører til at det tidskontinuerlege analoge inngangssignaletu(t), Fig 3 a), vert sampla (spenninga vert målt) ved sampelpunkta

$t=nT$,forn=..., -2, -1, 0, 1, 2,...

Denne diskretiseringa kan modellerast som

$u(n)=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{t=nT-\epsilon }^{nT+\epsilon }u(t)s(t)dt$.

Ein står da att med den tidsdiskrete sekvensen i Fig. 3 c), som er definert berre ved sampelpunktat=nT.

Etter som sampelintervaletTer konstant kan ein forenkla notasjonen og skriva berreni staden fornTogu(n) i staden foru(nT).

Modellering av sampling i frekvensplanet

Fig. 5 Amplitudespekteret til eit sampla signal.
a)$U(\ Omega )$
b)$S(\ Omega )$
c)$U_{s}(\ Omega )$når$\ Omega _{M}<2\ Omega _{a}$
d)$U_{s}(\ Omega )$når$\ Omega _{M}>2\ Omega _{a}$.

For å få betre innsikt i samplingprosessen er det naudsynt å studera han i frekvensplanet. Ein finn frekvensresponsen tilu(t) ved å tafouriertransformasjonenavu(t). Ettersomu(t) er eit tidskontinuerleg signal må vi nytta ein kontinuerleg fouriertransformasjon:

$U(\ Omega )=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{-j\ Omega t}dt$.

Fouriertransformasjon av impulssekvensens(t) resulterer i

$S(\ Omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-j\ Omega t}dt=\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)e^{-j\ Omega t}dt$.

$={\frac {2\pi }{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\ Omega -{\frac {2\pi k}{T}})$,

som syner at ein impulssekvens itidsplanetresulterer i ein impulssekvens ifrekvensplanet.

Etter som multiplikasjon i tidsplanet svarar tilfoldingi frekvensplanet (multiplisert med$1/(2\pi )$) kan frekvensresponssen tilu(t) uttrykkjast som

$U_{s}(\ Omega )={\frac {1}{2\pi }}U(\ Omega )*S(\ Omega )={\frac {1}{2\pi }}U(\ Omega )*{\frac {2\pi }{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\ Omega -{\frac {2\pi k}{T}})$

$={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }U(\ Omega -k\ Omega _{s})$,

der * er foldningsoperatoren. Dette syner at sampling resulterer i at spekteret til det sampla signalet vert periodiskt repetert; dvs. spekteret til det opphavlege signaletU(k), Fig. 5 a), vert repetert for kvar harmoniske av sampelfrekvensen, Fig. 5 c).

Samplingsteoremet

I Fig. 5 c) og 5 d) er$\ Omega _{M}=2\pi f_{M}$frekvenskomponenten med høgaste frekvens i inngangssignaletu(t). I Fig. 5 c) er$\ Omega _{M}<\ Omega _{s}/2$og det er ikkje overlapp mellom dei periodisk repeterte spektrum$U(\ Omega -k\ Omega _{s})$.I Fig. 5 d), derimot, er$\ Omega _{M}>\ Omega _{s}/2$,noko som medfører at det vert overlapp mellom dei periodisk repeterte spektera$U(\ Omega -k\ Omega _{s})$.Dette fenomenet vert kalla frekvensaliasing (eller berre aliasing). Aliasing fører til at dei periodisk repeterte spektruma vert overlagra kvarandre, noko som betyr at det ikkje lengre vert mogleg å skapa att det opphavlege signaletu(t) frå sampelpunkta. Det opphavlege signalet kan berre skapast att når dei periodisk repeterte spektruma ikkje overlappar kvarandre, noko som krev at$\ Omega _{M}<2\pi f_{M}$.

Dette er Nyquist–Kotelnikov-Shannon sitt samplingsteorem:

Eit tidskontinuerleg signalu(t) som berre inneheld frekvenskomponentar under$f_{s}/2$kan rekonstruerast eksakt frå den sampla sekvensenu(n) =u(nT).

Samplingsteoremet seier berre at signaletkanskapast att, det seier ingen ting om korleis rekonstruksjonen skal utførast. For ei gitt bandbreidd$f_{M}$på signaletu(t) krev samplingsteoremet at sampelfrekvensen$f_{s}>2f_{M}$.For å unngå aliasing er det, for en gitt sampelfrekvens$f_{s}$,nødvendig å avgrensa bandbreidda til signaletu(t)førdet vert sampla. Dette gjer ein ved å plassera eitlågpassfilterførsample og hald-krinsen, som illustrert i Fig. 1. På grunn av at dette filteret har som oppgåve å hindra aliasing, vert det kalla eitantialiasingfilter.

Samplingsteoremet vert ofte kalla Nyquist sitt samplingsteorem, etterHarry Nyquist,som publiserte det i1924.Vladimir Kotelnikov publiserte liknande resultat i1933ogClaude Shannoni1949.

Etter som altialiasingfilteret må vera eitanalogt filterhar det ulineærfaserespons.I somme samanhengar kan den ulineære fasen vera problematisk, men han kan alltids rettast opp med ein faseequialiser realisert på diskret form (som eitdigitalt filter) i den etterfylgjande prosesseringa.