Affint rom

Hvert punkt i det affine rommet er forbundet med et annet punkt ved envektor.

Etaffint romimatematikkener en utvidelse av etvektorromhvor punkter ogvektorerer mer uavhengige av hverandre. Alle punktene i rommet har samme betydning, og det har derfor ikke noeorigo.Punktene kan derfor heller ikke angis ved bruk avposisjonsvektorersom ved bruk avkartesiske koordinater.

Men to vilkårlige punkter kan alltid knyttes sammen med envektorog definerer en linje. Denne kan parallellforskyves omkring i rommet og på den måten giekvivalentevektorer. I motsetning til eteuklidsk romer lengden og vinkler mellom vektorer i et affint rom ikke definerte. Kun forhold mellom avstandene til punkt på samme linje kan bestemmes. Parallellforskyving er den basale operasjon man kan utføre og gir opphav tilaffin geometrisom kan generaliseres tilprojektiv geometri.Disse geometriene er mer generelle enneuklidsk geometriidet to avEuklidsfemaksiomerikke lenger er gyldige.

Affine relasjoner mellom punkt og vektorer ble først diskutert avLeonhard Eulerpå midten av1700-tallet, men vakte liten interesse. Først knapt hundre år senere gjennom arbeidene tilAugust Möbiusble disse tankene tatt opp av andre og videreført. Det affine rom fikk et mer veldefinert fundament spesielt etter atFelix Kleinpåviste at dets egenskaper kunne utledes matematisk direkte fra egenskaper ved den tilsvarendesymmetrigruppensom en del av hansErlangen-program.

Punkt og vektorer

En addisjon av to vektorer er ekvivalent med differansen mellom to punkt.

I to dimensjoner ser et affint rom ut som et blankt ark hvor man kan tegne inn punkt og rette linjer. Der er ikke noe origo eller koordinatsystem, men hver rett linje man kan tegne inn, angir samtidig retningen til en muligvektor.De kan parallellforskyves omkring, og mellom to punkt kan det alltid legges en rett linje. Dette rommet har to dimensjoner og betegnes vanligvis somA².

Likedan kan man generelt definere etn-dimensjonalt, affint romAⁿbestående av enmengdepunkt og retninger som kan parallellforskyves. To vilkårlige punktPogQ  kan alltid forbindes med en vektorv  og uttrykkes ved sammenhengenv=Q - P.Dette kan visualiseres som et rettetlinjestykkesom starter i punktetPog går til punktetQ.Man kan tegne dette som en pil med halen iPog spissen iQsom vist i figuren.

Omvendt kan man skrive atQ=P+v.Det betyr at punktetQfinnes ved å først gå tilP  hvorfra man forskyver seg et rettet stykkev.PunktetP+ 2v ville bety at man forflyttet seg dobbelt så langt fraPi samme retning. Dette kan lett generaliseres da hver vektor kan multipliseres med et reelt tall som i allevektorromRⁿ.Dette tallet kan være positivt, negativt eller null. Er detreelletalleta= 0,vila v=0 hvor0  ernullvektoren.Det betyr at vektorenP - P=0 og tilsvarende for forskyvningen mellom andre, identiske punkt

Tre punkt kan forbindes med vektorer som tilfredsstiller loven for vanlig vektoraddisjon.

Vektorer kan man regne med som i normalevektorrom.I tillegg kan man addere et punkt til en vektor som gir et nytt punkt. Derimot kan man ikke uten videre addere to punkt som man kan i eteuklidsk rommed posisjonsvektorer. Klare regneregler må formuleres somaksiom,selv om de kan se selvinnlysende ut. For eksempel, fra definisjonenv= (Q - P)må man ha at(P - Q) = - (Q - P)da den motsatte vektoren-ver allerede antatt å eksistere. Derfor må ogsåQ=P+ (Q - P).På samme måte må derfor(Q - P) +u= (Q+u) -P for to vilkårlige punktP ogQ hvorunå er en eller annen vektor. Begge sider av relasjonen er her vektorer som vist i figuren. Derfor må også(P+u) +v=P+ (u+v)definere samme punkt for vilkårlige vektoreruogv.

Disse antagelsene følger som om parentesene ikke fantes. For eksempel, med et tredje punktR=Q+ (R - Q)hvorQ=P+ (Q - P),vil man ha atR=P+ (Q - P) + (R - Q)slik at(R - Q) + (Q - P) = (R - P).Begge sidene av ligningen definerer en vektor, og den er i overensstemmelse med loven for vanligvektoraddisjonsom illustrert i figuren.

Med denne direkte sammenhengen mellom differanser av punkt og ekvivalent vektorer, kan man gjennomføre noen entydige beregninger. Derimot kan vilkårlige punkter ikke uten videre adderes. Det kan kun gjøres når de vektes på en spesiell måte som kalles enaffin kombinasjonav punktene. På den måten kan man foreta mye mer generelle beregninger i det affine rommet.

Linjer og affine kombinasjoner

Har man to gitt to punktPogQ kan man trekke en linje gjennom disse punktene. Et punktXpå linjen vil da være gitt ved å starte i punktetPog så bevege seg et stykke langs vektoren (Q - P) som forbinder de to gitte punktene som vist i figuren. Matematisk betyr det at linjen kan parametriseres somX=P+t (Q - P).Har parameterent verdien null, gir dette utgangspunktetP,mens fort= 1finner man punktetQ.Er derimott> 1,ligger punktetXutenforQ,mens fort< 0 ligger det utenforP.

To punkt kan adderes sammen ved en affin kombinasjon. Ved å velge et origo, er dette ekvivalent til bruk av posisjonsvektorer for punktene.

Denne konstruksjonen av en linje gjør det nå naturlig å definere en ny operasjon som virker på punkt. Det skjer ved å skrive

$X=P+t(Q-P)=(1-t)P+tQ$

hvor høyresiden angir en tillatt addisjon av to punkt i et affint rom. Man kan også angi punkt på denne linjen ved en tilsvarende relasjon mellom vektorer basert på et felles referansepunktO.PunktetPer forskjøvet fra dette med en vektorr_P= (P - O) som er detsposisjonsvektor.Den tilsvarer atP=O+r_P.Defineres på samme måte posisjonsvektorener_Q  ogr_X,kan punkter på linjen gjennomPogQ nå også skrives som

$\mathbf {r} _{X}=(1-t)\mathbf {r} _{P}+t\mathbf {r} _{Q}$

PunktetO fungerer som et origo, og resultatet er i overensstemmelse med hva man ville skrive for punkter på linjen i et vanligvektorrom.

Affine kombinasjoner

Utfra denne betraktningen kan man mer generelt for to punktP₁ogP₂ definere denaffine kombinasjonenav disse to punktene som

$P=\lambda _{1}P_{1}+\lambda _{2}P_{2}$

når koeffisienteneλ₁ogλ₂ oppfyller betingelsenλ₁+ λ₂= 1.Da erP = P₁+ λ₂(P₂- P₁) som er veldefinert ut fra tidligere antagelser. Med denne definisjonen kan man altså addere punkt.

Denne nye operasjonen kan lett utvides til å gjelde for addisjon av et vilkårlig antall punktP₁,P₂ ,..., P_k i det affine rommet. Da er en affine kombinasjonλ₁P₁+ λ₂P₂+... + λ_kP_k tillatt når betingelsen

$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{k}=1$

er oppfylt. Koeffisienteneλ₁,λ₂ ,..., λ_k kan i her i prinsippet anta alle positive eller negative verdier eller være null.

Et punktP₀ på linjen mellom punkteneP₁ogP₂ må oppfylle ligningenP₀= λ₁P₁+ λ₂P₂.Dermed er den affine kombinasjonena₀P₀+ a₁P₁+ a₂P₂= 0 daa₀+ a₁+ a₂= 0 meda₀= 1,a₁= - λ₁ oga₂= - λ₂.De tre punkteneP₀,P₁ogP₂ sies da å væreaffint avhengigeav hverandre. De ligger på samme linje.

Mer generelt sies dek + 1 punkteneP₀,P₁,P₂ ,..., P_k å være affint avhengige av hverandre hvis

$a_{0}P_{0}+a_{1}P_{1}+a_{2}P_{2}+\dots +a_{k}P_{k}=0$

når koeffisientene oppfyller betingelsen

$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k}=0$

uten at de samtidig alle er lik null. Setter man herfra inn fora₀,gir ligningen mellom punktene det ekvivalente resultatet

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\ldots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0}$

hvorv_i= P_i- P₀ .Dissek vektorene må derfor værelineært avhengigeav hverandre når de tilsvarende punktene er affint avhengige. Det er lett å innse for punkt på en linje. Når alle vektorer refererer seg til et fast punkt somP₀ her, går det affine rommetAⁿover til å bli likvektorrommetRⁿ.

Barysentriske koordinater

Midtpunktet på linjen på linjenX= (1 -t )P+t Q er gitt ved punktetX= (P + Q)/2som tilsvarert= 1/2.Dette punktet tilsvarermassesenteretellerbarysenteretfor de to punkteneP ogQnår de antas å ha den samme massen. I det mer generelle tilfellet kan man tenke seg at punktet P har massen 1 -tog punktetP har massent.Massesenteret vil nå være gitt somX= (1 -t )P+t Q eller i vektornotasjonr_X= (1 -t )r_P+t r_Q.Koeffisienteneλ₁= 1 -t, ogλ₂=t, blir kalt for affine eller normaliserte,barysentriske koordinater(λ₁,λ₂)  langs linjen da de oppfyllerλ₁+λ₂= 1.Midtpunktet mellom punktene har derfor koordinateneλ₁=λ₂= 1/2,mens de gitte punkteneP ogQer gitt ved henholdsvis (1,0)  og (0,1).

Barysentriske koordinater for noen punkter innen entrekant.De er uavhengige av den nøyaktige formen til denne.

Mer interessant er å angi punkt i et affint plan på samme måte. Gitt tre affint uavhengige punktP₁,P₂  ogP₃,så er hvert punkt i planet gitt som

$P=\lambda _{1}P_{1}+\lambda _{2}P_{2}+\lambda _{3}P_{3}$

hvor de barysentriske koordinatene (λ₁,λ₂,λ₃) oppfyller betingelsenλ₁+λ₂+λ₃= 1.For gitte verdier av koordinatene kan det tilsvarende punktet finnes ved å beregne massesentrumet for de tre gitte punktene med disse massene. Punkter innentrekantensom har de tre punktene som hjørner, har alle tre koordinatene postive. For punkter utenfor er minst en av dem negativ. De tre hjørnene har henholdsvis koordinatene (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1). Punkter på siden av trekanten som ligger motsatt punktetP₁,har alleλ₁= 0. Mer generelt har punkter som ligger på linjer parallelle til sidekanten motsattP₁,samme verdi for koordinatenλ₁.Tilsvarende gjelder for de andre hjørnene i trekanten og linjer parallelle med deres motsatte sider.

Hvis man tenker seg at de tre hjørnepunktene er bevegelige og flyttes omkring i planet, vil formen til trekanten forandres. Punkter gitt som skjæringspunkt mellom forskjellige linjer forankret i trekantens sider, vil dermed også forskyves. Men deres barysentriske koordinater forblir uforandret. Slike deformasjoner av trekanten kallesaffine transformasjoner.

Mange geometriske beregningsoppgaver kan løses enklere ved bruk av slike koordinater. Blant annet finner de en utstrakt bruk innendatagrafikk.I rom med høyere dimensjoner defineres barysentriske koordinater på tilsvarende måte.

Origo og koordinatisering

Komponenentene til forskyvningsvektorenv  er uavhengig av noeorigo.Den sier kun hvor langt man skal bevege seg og i hvilken retning. Hvis vektoren fremstilles som en pil, kan denne plasseres hvor som helst i rommet uten at komponentene forandres. Disse vektorene er såkaltefrie vektorer.

Noe annet er det å angi koordinatene til et punktP.Disse må alltid bestemmes i forhold til et annet punktO .Man kan da foreta enkoordinatiseringav rommet medO somorigo.Har rommetndimensjoner, velger man i tilleggnaffint uavhengige punktP₁,P₂,...,P_n  slik at man kan skrive

$P=O+x_{1}(P_{1}-O)+x_{2}(P_{2}-O)+\ldots +x_{n}(P_{n}-O)$

for et passende valg av koeffisienterx₁,x₂,...,x_n.Vektorenee_I= (P_I- O)  danner nå et sett medn lineært uavhengigebasisvektorer.For dette valget av referansepunkt erposisjonsvektorentil punktetP nåx=P - O= ∑_i x_i e_i.Alternativt kan hvert slikt punkt også angis ved koordinater somP= (x₀,x₁,x₂,...,x_n) hvor den første koordinatenx₀henviser til origo og oppfyllerx₀+ ∑_i x_i= 1.

Med dette valget av basisvektorer kan nå en vilkårlig vektorv  skrives som

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +v_{n}\mathbf {e} _{n}$

hvor koeffisientenev₁,v₂,...,v_n   er denskomponenteri denne basisen.

Affine transformasjoner

Hvis man ved koordinatiseringen av et affint rom velger et annet origo, vil koordinatene til hvert punkt forandres. Dette vil være enkoordinattransformasjon.Denne kan gjøres mer generell ved også å velge et nyttbasissystemfor vektorene etter flytting av origo. Man har da valgt et nyttreferansesystem.

Kalles det nye origo forO' ,vil et vilkårlig punktP  i forhold til dette ha koordinater gitt ved vektoren(P - O') = (P - O) - (O' - O).Den siste vektoren her representerer en forskyvning ellertranslasjonav origo som kan skrives somb= ∑_j b_j e_j.Med dette nye origo kan man også benytte et nyttbasissystem

$\mathbf {e} '_{j}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij}\mathbf {e} _{i}$

hvor koeffisienteneA_ijdanner enn×n invertibelmatriseA.Hvert slik matriseelement kan betraktes somi- te komponent av vektorene'_j.De nye koordinatene til punktetP  følger nå fra vektoren(P - O' ) = ∑_I x'_i e'_I som gir

$x_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}x'_{j}+b_{i}$

Det er den mest generelle formen for enaffin transformasjon.Mer kompakt kan den skrives på matriseform somx=A x' +b.Den inverse transformasjonen er dax' =A^-1(x-b) hvorA⁻¹  erden inverse matrisentilA.

Aktive transformasjoner

Den røde trekanten transformeres til den blå trekanten under den affine transforma-sjonenx' = y -100, y' = 2x + y - 100.

I denne utledningen er den affine transformasjonen funnet ved å betrakte hvordan koordinatene til et og samme punkt forandrer seg ved valg av referansesystem. Dette kalles for enpassiv affin transformasjon.Punkter og linjer forblir uforandret, de beskrives bare ved andre koordinater.

Ved enaktiv affin transformasjonbenytter man samme referansesystem, men transformerer hvert punkt i det affine rommet over til et annet punkt i det samme rommet med uforandret koordinatisering. Transformasjonen må være slik at linjer forblir linjer og affine kombinasjoner av punkt må forbli affine. Derved vil ikke de barysentriske koordinatene forandres. Og parallelle linjer forblir parallelle. Men vinkler og lengder av linjesegment vil forandres. Betrakter man et punktP med posisjonsvektorx,vil det gå over i et nytt punktP' med posisjonsvektorx'.På samme måte som for de passive transformasjonene, vil dette transformerte punktet få nye koordinater som kan skrives som

$x'_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}x_{j}+b_{i}$

Her er igjenAer enn×n invertibelmatriseogb_i er komponentene til en translasjonsvektorb.På matriseform kan transformasjonen skrives somx'= A x+b.Mer kompakt kan den angis som(A,b).Den virker på posisjonsvektorer som her tenkes å værekolonnematriser.

To påfølgende transformasjoner(A₁,b₁) og(A₂,b₂) gir opphav til en transformasjon x'= A₂(A₁x+b₁) +b₂.Da dette er en ny, affin transformasjon(A₂A₁,b₂+ A₂b₁),danner de tilsammen enmatematisk gruppe.I det spesielle tilfellet at matrisenAer lik medenhetsmatrisen,er transformasjonen en ren translasjon. Enhver geometrisk figur vil da ganske enkelt forflyttes uforandret i planet eller rommet.

Som et eksempel i to dimensjoner kan man betrakte den affine transformasjonen

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+100{\begin{bmatrix}-1\\-1\end{bmatrix}}$

Origo i punktet (0,0) blir transformert til punktet (-100,-100), punktet (0,100) går til origo, mens punktet (200,0) går til (-100,300). Disse tre punktene definerer en trekant. Som vist i figuren, vil trekanten etter transformasjonen få en ny form.

Homogene koordinater

Affine transformasjoner blir mye benyttet idatagrafikkogrobotikk.For å kunne gjøre beregningene så raskt som mulig, er det en stor fordel å kunne utføre dem som rene matrisetransformasjoner i stedet for å benytte den inhomogene formenx'= A x+b.Det muliggjøres ved å gi posisjonsvektorene en ekstra komponent som kan settes lik en. Da tar transformasjonen formen

${\begin{bmatrix}\mathbf {x} '\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&\mathbf {b} \ \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}$

hvor0^T er dentransponerteav nullvektoren i rommet. Den inngår iden utvidete transformasjonsmatrisen.To påfølgende transformasjoner er nå gitt direkte vedmatriseproduktet

${\begin{bmatrix}A_{2}&\mathbf {b_{2}} \ \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{1}&\mathbf {b_{1}} \ \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{2}A_{1}&A_{2}\mathbf {b_{1}} +\mathbf {b} _{2}\ \\\mathbf {0} ^{T}&1\end{bmatrix}}$

Her går det tydelig frem at resultatet er en ny, utvidet transformasjonsmatrise av nøyaktig den formen som tilsier at den representerer en affin transformasjon.

Gis en posisjonsvektor en slik ekstra komponent ved tilordningen

$\mathbf {x} \rightarrow {\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}$

kalles den + 1komponentene forhomogene koordinater.For en ren translasjonsvektor vil den ekstra koordinaten ha verdien null slik at den representeres som

$\mathbf {v} \rightarrow {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \\0\end{bmatrix}}$

Når den utvidete transformasjonsmatrisen virker på denne, er resultatet da ganske enkelt atv'= Avda dens komponenter ikke påvirkes av translasjonene.

De homogene koordinatene har sin naturlige plass iprojektiv geometrihvor en affin transformasjon er en spesiell,projektiv transformasjon.Den ekstra koordinaten opptrer da naturlig fordi at det affine rommet blir utvidet med ekstra punkt i det uendelige.

Geometrisk bilde

Kort sagt er et affint rom etvektorromuten etorigo.Derfor er for eksempel enhver linje i planetR²  gjennom origo(0,0) ikke noe affint rom, men punktene på en linje utenom ligger i det affine rommetA¹.Alle punktP = (x,y)på denne linjen kan angis somP = P₀+ λv hvorP₀= (a,b)er et vilkårlig punkt ogv= (1,k)er en vektor iR²  hvis tilsvarende pil har en helning gitt vedk.Denne affine linjen har ligningeny = k(x - a) + b og hvilket som helst punkt på den kan velges som origo. Differansen mellom to punkt i dette rommet er nå en ren vektor,P₁- P₂= (λ₁- λ₂)v .

I det tredimensjonale vektorrommetR³  er på tilsvarende vis hvert plan som går utenom origo(0,0,0),et affint romA².Velges dette å værez = 1 som er parallelt medxy - planet og går gjennom punktet (0,0,1), kan alle punktP i dette planet angis somP = (x₁,x₂,1).Differansen mellom to punkt blir da av formenv= (v₁,v₂,0),og man har en koordinatisering som ved bruk av homogene koordinater. I dette bildet befinner de affine punktene seg i planetz = 1 ,mens vektorene ligger i planetz = 0 .

Løsningsrom for lineære ligninger

Affine rom oppstår som løsningsmengden for et inhomogent,lineært ligningssystem.For to lineære ligninger med tre ukjente vil hver ligning beskrive et plan i det tredimensjonale rommetR³.Løsningene ligger da på skjæringslinjen mellom disse to planene såfremt de ikke er parallelle til hverandre. Denne linjen er da det endimensjonale, affine rommetA¹.

Mer generelt kan man betraktem lineære ligningen i detn-dimensjonale rommetAⁿ.Dette ligningssystemet kan skrives kompakt somAx=b hvorAerm×n matrise med koffesientene til den ukjente som inngår ikolonnevektorenx.De inhomogene leddene i ligningssettet inngår i kolonnevektorenb.

Løsningsrommet til det inhomogene ligningssystemet er tett forbundet mednullrommettilmatrisenA.Det kan bestemmes fra det homogene ligningssettetAx=0 som i alminnelighet vil hap lineært uavhengige løsningerv₁,v₂,...,v_p.De utspenner etvektorrommed dimensjonp = n - r  som ernullrommettil matrisenA som antas å harangenr.

For å finne de generelle løsningene til de opprinnelige ligningene, behøver man i tillegg en spesiell ellerpartikular løsningx₀ til det inhomogene ligningssystemetAx=b.Den kan finnes ved standard bruk av for eksempelGauss-eliminasjoneller andre systematiske metoder. Den generelle løsningen kan da skrives på formen

$\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\ldots +\lambda _{p}\mathbf {v} _{p}$

hvorλ_i er vilkårlige koeffisienter. Løsningene angir derfor punkt i etp - dimensjonalt, affint rom hvor de ubestemte konstanteneλ_i spiller rollen som koordinater.

Litteratur

• G. Fischer,Analytische Geometrie,Vieweg Verlag, Wiesbaden (2001).ISBN 978-3-528-67235-5.
• D.J. Struik,Lectures on Analytic and Projective Geometry,Dover Publications, Inc., New York (2011).ISBN 0-486-48595-1.

Eksterne lenker

• J. O'Connor,Geometry and Topology,forelesninger ved St. Andrews University.
• J. Gallier,Basics of Affine Geometry,forelesning i Computer Science ved University of Pennsylvania.