Assosiativ lov

Enassosiative lover imatematikketteoremeller etaksiomsier at enbinær operasjoner assosiativ.Enassosiativoperasjon tillater atparenteserkan plasseres fritt i et uttrykk der operasjonen utføres flere ganger i en sekvens.Addisjonavreelle taller et eksempel på en assosiativ operasjon, der ( 2 + 3 ) + 7 = 2 + ( 3 + 7 ).Subtraksjoner derimot ikke assosiativ, siden ( 7 - 2 ) - 3 ikke er lik 7 - ( 2 - 3 ).

Generelt vil parenteser bestemme rekkefølgen som ledd i en sammensatt operasjon skal utføres i. For å regne ut uttrykket

$(3+2)+(7+3)\,$

skal en først legge sammen (3 + 2), deretter (7 + 3) og så til slutt summere resultatene for de to parentesene. I sammensetninger av en assosiativ operasjon kan en utføre operasjonene i vilkårlig rekkefølge, så lenge rekkefølgen til leddene ikke endres. Endring av rekkefølgen er knyttet til egenskapenkommutativitet,som ikke må forveksles med assosiativitet.

Enalgebraisk struktursom inneholder en assosiativ operasjon kan omtales som enassosiativ struktur.

Assosiativitet er en fundamental egenskap til mange operasjoner, og egenskapen blir ofte postulert i aksiomer som definerer operasjonen. Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon ogmultiplikasjonav reelle tall.

Formell definisjon

En binær operasjon$*$på enmengdeSerassosiativdersom

$(x*y)*z=x*(y*z)\qquad {\mbox{for all }}x,y,z\in S.$

Dersom en binære operasjonen uttrykkes som en funksjonf(x,y),så vil operasjonen være assosiativ hvis og bare hvis funksjonen har egenskapenf(f(x,y),z)=f(x,f(y,z)).Operasjonen multiplikasjon kan for eksempel skrives som funksjonenf(x,y) = xy.

Eksempler

Aritmetikk

• Addisjon og multiplikasjon av reelle ogkomplekse taller assosiativ.

• Divisjon ogsubtraksjoner ikke assosiative operasjoner.

Matematikk generelt

• Operasjonen å taunionenav to mengder er assosiativ. Det samme gjelder forsnittet:

$\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{for alle set }}A,B,C.$

• Kryssproduktetav tovektoreriR³er ikke assosiativt. Generelt vil

$(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} \neq \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ),$

nåru,vogwer vektorer iR³.

Assosiativitet i matematiske strukturer

• Gruppeoperasjonen i engruppeer assosiativ.

• I enkropper både addisjon og multiplikasjon assosiative. Det samme gjelder for enring.

• I enalgebraer multiplikasjonen ikke nødvendigvis assosiativ.

• Vektoraddisjon i etvektorromer assosiativ.

Se også

• Distributiv lov
• Kommutativ lov

Litteratur

• E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989).Dictionary of mathematics.Glasgow: Collins.ISBN0-00-434347-6.

• Walter Rudin (1953).Principles of mathematical analysis.Singapore: McGraw-Hill International Book Co.ISBN0-07-085613-3.