Eudoksos fra Knidos
| Eudoksos fra Knidos | |||
|---|---|---|---|
| Født | ca.408 f.Kr.[1][2] Knidos | ||
| Død | ca.355 f.Kr.[1][2] Knidos | ||
| Beskjeftigelse | Matematiker,skribent,filosof,geograf | ||
| Nasjonalitet | Det doriske hexapolis | ||
Eudoksos fra Knidos(gresk: Εὔδοξος; født 410 eller 408 f.Kr., død 355 eller 347 f.Kr.) var en greskastronomogmatematiker.Ingen av hans verker har overlevd slik at det er kun gjennom andres omtale at disse er kjent.
Innen matematikken etablerte han læren omproporsjonersom danner grunnlaget for bruk avreelle talli dag. Dette gjorde det mulig å etablere resultat for areal og volum av forskjellige, geometriske objekt vedutfyllingsmetoden.Den representerer det første forsøk påbestemt integrasjonved slike utregninger. Som astronom konstruerte han den første modellen for bevegelsene tilhimmellegemeneog organiserte stjerner i bestemtekonstellasjonerpå en himmelglobus.
Kratere både påMånenog påMarser oppkalt etter Eudoksos.
Biografi
[rediger|rediger kilde]Etter å ha vokst opp i den idoriskebyenKnidospå en halvøy nærRhodos,Der ble han noen ganger av sine venner kaltEndoksossom betyr «den berømte». Sin utdannelse fikk han hospytagoreerenArkhytasiTarentumi Syd-Italia. Her ble han kjent med det teoretiske grunnlaget fortallogmusikksamt problemet rundtkubens fordobling.Etter et besøk påSicilia,kom han som 23-åring tilAthenhvor han studerte vedPlatons akademi.Han var så ubemidlet at han måtte bo iPireus.Det tok han to timer å gå til fots hver vei.[3]
Fra Athen returnerte Eudoksos til hjembyen Knidos. Flere år senere foretok han en reise til Egypt og tilbragte seksten måneder iHeliopolishvor han studerteastronomi. Denne interessen beholdt han da han var tilbake i Hellas og bygget etterhvert opp en stor skole rundt seg med et eget observatorium i Kyzikos vedMarmarahavet.I året 368 f.Kr. forflyttet han seg sammen med flere av sine elever til Athen og Akademiet. Han var nå høyt ansett og ble en viktig person i de filosofiske aktivitetene der.[4]
Eudoxos var en rasjonell tenker som hadde lite interesse av overtro og okkulte spekulasjoner. Han hadde derfor ingen tro påastrologiog var mer opptatt av hva som kan observeres og måles. For å finne ut hva Solen består av, ville han heller dra dit og brennes opp, enn å hengi seg til nytteløse gjetninger. Denne holdningen kan kanskje også være grunnen til at forholdet til Platon ikke var helt enkelt. Han var sannsynligvis også klar over at han var en større matematiker enn Platon.[4]
Matematikk
[rediger|rediger kilde]I motsetning tilgeometrivararitmetikklite utviklet før Eudoksos' og basert pånaturlige tallog deresbrøker.En rasjonell brøk er etforholdmellom toheltall,men kunne ikke benyttes til å uttrykke relasjoner mellom vilkårlige lengder eller arealer i geometrien. Etter atpytagoreernehadde oppdaget at det finnesirrasjonale tallsom √2, var det ikke lenger klart hva slags egenskaper disse tallene hadde og hvordan de kunne benyttes.
Rent geometrisk var dette ikke noe problem da de kunnekonstrueressom lengden avdiagonaleni etkvadrat.Hvis siden har lengdesog diagonalen har lengded,er da forholdetd:s= √2. Eudoksos generaliserte slike forhold mellom to generelle størrelser, men av samme sort. Det kunne gjelde forholdet mellom to lengder, mellom to flater eller mellom to tall. Derimot kan man ikke ha noe forhold mellom en linje og et areal eller mellom en linje og et tall.
Hver slik størrelseAi et slikt forhold kan multipliseres medheltall.Det følger av at de kan adderes slik at man kan skriveA+A= 2Aog så videre.Euklidgjorde bruk av slike forhold i sitt stor verkElementer.I Bind V sies det at et forhold mellom to størrelser eksisterer når et heltalls multiplum av den ene kan gjøres større enn den andre. En slik størrelse kan derfor ikke være null. For eksempel vil 1 og √2 dermed ha et forhold da 1 × √2 > 1 og 2 × 1 > √2. Denne antagelsen kalles ofte forArkimedes' aksiomdaArkimedessenere gjorde bruk av den, men han ga Eudoksos æren for definisjonen.[5]
Enproporsjoner en likhet mellom to forhold og kan generelt skrives somA : B=a : b.Her er størrelseneAogBav samme sort på samme måte somaogber det, men ikke nødvendigvis av samme sort somAogB.De kunne for eksempel være heltall slik at deres forhold kan skrives som den rasjonellebrøkena : b=a/b.
ProporsjonenA : B=a : beksisterer når man for vilkårlige heltallmognhar atnAer større, lik eller mindre ennmBnårnaer større, lik eller mindre ennmb.Alternativt kan man dermed si at forholdetA : Ber større, likt eller mindre ennm/nnåra : ber større, likt eller mindre ennm/n.Denne behandlingen av irrasjonale forhold ble diskutert i Bind X avElementer.Dette ligger tett opp til den moderne definisjonen av irrasjonale tall som grensen av sekvenser med rasjonale tall og som ble etablert avRichard Dedekindover to tusen år senere.
Eudoksos kunne på denne måten bevise at arealet til ensirkelmåte øke kvadratisk med dens diameter. Likedan fant han at volumet av enkjegleeller pyramide er 1/3 av volumet til en tilsvarende sylinder eller prisme med samme grunnflate og høyde. Han gjorde da bruk avutfyllingsmetodensom Arkimedes videreførte.[3]
Navnet til Eudoksos forbindes noen ganger også med en spesiellkurvesom kunne anvendes i forbindelse medkubens fordobling.I moderne notasjon kan den skrives somx4=a2(x2+y2)og kalles enkampyle.Hans lærer Arkhytas var kjent for å være opptatt med dette problemet.[6]
Astronomi
[rediger|rediger kilde]
Eudoksos ble betraktet som datidens største astronom. Det skyldes hovedsakelig hans formulering av en matematisk modell for himmellegemenes bevegelse. Den representerer det første forsøk på å gi ikke bare en kvalitativ forklaring av en lang rekke forskjellige observasjoner på himmelhvelvingen, men også en kvantitativ beskrivelse som kunne gi praktiske prediksjoner av fenomen someklipserogheliakisk oppgangav stjerner og planeter.
Gresk astronomipå den tiden var på den tiden basert på Platons argumentasjon for at kuleflaten ellersfærenvar den mest symmetriske og derfor måtte danne grunnlaget til en forklaring av observasjonene. Men spesielt denretrogradebevegelsen tilplanetenehadde gjort denne overbevisningen vanskelig å akseptere. Eudoksos' modell viste likevel at dette langt på vei kunne være mulig.[7]
Jordenvar akseptert å være enkule.Lengst fra den befinnerfiksstjerneneseg som man tenkte seg sittende fast på en himmelsk sfære med Jorden som sentrum. Den roterer jevnt rundt fra øst til vest i løpet av 24 timer som gir dendaglige bevegelsentil stjernene. Nærmest Jorden befinnerMånenseg. Eudoksos antok at dens bevegelse kan forklares ved å legge til to nye sfærer konsentrisk med Jorden. På den innerste av disse sitter Månen fast, mens den roterer om en diameter som er festet til den andre. Denne igjen roterer om en diameter som er festet til fiksstjernesfæren. Dermed får også Månen en daglig bevegelse gjennom etdøgn,men denne er noe mer komplisert enn for stjernene på grunn av de to indre sfærene.[8]
Utenfor Månen tenkte man segSolensom også ble tilordnet to ekstra sfærer slik som for Månen. Det skyltes at man på den tiden ikke visste at Solen beveget seg langsekliptikken,men fulgte en noe mer komplisert bane langsdyrekretsen.Ekliptikkens rolle ble først klarlagt avHipparkhosomtrent hundre år senere. For Solen hadde derfor Eudoksos bare behøvd to sfærer i alt. Den ene er sfæren med fiksstjernene, mens den andre hvor Solen sitter fast, roterer rundt en diameter fra vest mot øst i løpet ett år. Denne diameteren er festet til fiksstjernesfæren slik at de to rotasjonsaksen danner omtrent 23° med hverandre. På den måten kan de fireårstideneforklares.
Bevegelsen til de fem planeteneMerkurogVenusmellom Månen ogSolensamtMars,JupiterogSaturnlenger ut var mer komplisert på grunn av at de noen ganger så ut til å stoppe opp i banen og gå litt tilbake før de fortsatte i samme retning østover. For å forklare dette fenomenet innførte Eudoksos tre sfærer for hver av dem i tillegg til fiksstjernesfæren. Planeten selv var festet til den innerste eller fjerde sfæren.
Denne var koblet til den tredje sfæren slik at når denne roterte om sin diameter, beskrev planeten en lukketkurvemed samme form som enlemniskateeller 8-tall. Under den videre rotasjon av de to ytre sfærene vil denne kurven trekkes med langs dyrekretsen og gi en lignende bevegelse som observert for de forskjellige planetene. Det er ikke klart om alle disse sfærene var tenkt å bestå av noe materiale eller at de bare var ment som mentale konstruksjoner.[7]
Ingen konkrete resultat fra denne sinnrike modellen er kjent. Men det er klart atKallippossom var elev av Eudoksos, studerte dens konsekvenser nærmere. Han fant det nødvendig å innføre enda flere sfærer for å finne en tilfredsstillende overensstemmelse med observasjonene. Et av de vanskeligste problemene var å forstå hvorfor de forskjelligeårstideneikke inneholdt like mange dager. Det bleHipparkhossom noe senere kunne gi en tilfredsstillende forklaring av dette viktige fenomenet. Hans modell var enklere og var basert på antagelsen at Solen går i en sirkel med sentrum litt utenfor Jorden. Da den kunne lett utvides ved å innføreepisyklerog dermed også forklare planetenes retrograde bevegelse, ble modellen til Eudoksos med alle sine konsentriske sfærer snart av mindre betydning.[8]
Referanser
[rediger|rediger kilde]- ^abMacTutor History of Mathematics archive[Hentet fra Wikidata]
- ^abA Short History of Astronomy[Hentet fra Wikidata]
- ^abA. Holme,Matematikkens historie,Bind 1, Fagbokforlaget, Bergen (2002).ISBN 82-7674-678-0.
- ^abT. Heath,A History of Mathematics,Dover Publications, Volume I, New York (1981).ISBN 0-48624073-8.
- ^C.B. Boyer,A History of Mathematics,Princeton University Press, New Jersey (1985).ISBN 0-691-02391-3.
- ^J.D. Lawrence,A catalog of special plane curves,Dover Publications, New York (1972).ISBN 0-486-60288-5.
- ^abH. Thurston,Early Astronomy,Springer-Verlag, New York (1994).ISBN 0-387-94822-8.
- ^abC.M. Linton,From Eudoxus to Einstein,Cambridge University Press, Cambridge (2004).ISBN 0-511-21646-7.
Eksterne lenker
[rediger|rediger kilde]- MacTutor,Eudoxus,University of St. Andrews, Scotland.
- N. Wildberger,Euclid and Proportions,Youtube video