Følge (matematikk)

Områder ianalyse

Differensialligninger

Funksjonalanalyse

Funksjoner av flere variable

Matematisk analyse

Kontinuitet Grenseverdier Følger Rekker Derivasjon Integrasjon

Komplekse funksjoner

Enfølgeer imatematikken ordnet liste avobjekteri enmengde.Antall objekter eller ledd i følgen kan være endelig ellertellbart uendelig,og det vil si at objektene kan nummereres ved hjelp av denaturlige tallene.

Dersom detn-te leddet i en uendelig følge i etmetrisk romnærmer seg engrenseverdinårnøker, sies følgen å værekonvergent.En følge som ikke er konvergent er divergent. Følger opptrer i alle områder av matematikk, og studiet av følger er en viktig del avmatematisk analyse.Konvergente følger spiller en spesielt viktig rolle, blant annet i definisjonen avirrasjonale tall.

Følger der elementene erreelleellerkomplekse tallkallestallfølger.Tilsvarende er enfunksjonsfølgeen følge der elementene erfunksjoner.On-Line Encyclopedia of Integer Sequenceser en database overheltallsfølger.

Enrekkeer definert som summen av en endelig eller uendelig følge.

Formell definisjon

En uendelig følge er enfunksjonfra mengden av de naturlige talleneN:

$f(n)=x_{n}\ \ n\in \mathbb {N} \.$

Følgen sies å være definert i mengdenV,derVerverdiområdettil funksjonen. Funksjonsverdiene$x_{n}$kallesleddenei følgen.

Alle de følgende eksemplene viser vanlig notasjon for en følge:

$\{x_{n}\}\qquad \quad \{x^{n}\}\qquad \quad \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\qquad \quad \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\qquad \quad x_{1},x_{2},x_{3},\dots$

For en endelig følge brukes en endelig delmengde avNsom indeksmengde istedenforN.Vanligvis brukes mengden$\{1,\ldots,n\}$eller mengden$\{0,\ldots,n-1\}$for en følge mednelementer.

Grenseverdi og konvergens

En følge$\{x_{n}\}$i et metrisk romkonvergermot en grenseverdixdersom det for en hver verdi av epsilon$\epsilon$eksisterer et heltallNslik at

$n>N\Rightarrow d(x_{n},x)<\epsilon \,$

derdermetrikken.For tallfølger er metrikken som regel definert ved hjelp avabsoluttverdien:

$d(x_{n},x)=|x_{n}-x|\.$

Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\.$.

«lim» er en forkortelse for det latinske ordetlimes,med betydning «grense». Den første kjente bruken av denne notasjonen er fraSimon Antoine Jean L'Huilieri 1786. I tidlig bruk ble likhetstegn benyttet istedenfor en pil:$n=\infty$.

Definisjonen av grenseverdien kan kompakt skrives som

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\iff (\forall \epsilon >0)(\exists N\in \mathbb {N} )(n>N\Rightarrow d(x_{n},x)<\epsilon )\.$

Cauchyfølger

EnCauchyfølgeeller enfundamentalfølgeer en følge i etmetrisk romder avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg:

$(\forall \epsilon >0)(\exists N\in \mathbb {N} )(m,n>N\Rightarrow d(x_{m},x_{n})<\epsilon )\.$

En hver konvergent følge er en Cauchyfølge, men en Cauchyfølge trenger ikke å ha en grense i den verdimengden en studerer. Et metrisk rom sies å værekomplettdersom enhver Cauchyfølge i rommet konvergerer mot en grenseverdi som er inneholdt i rommet. Mengden avreelle taller komplett, mens mengden avrasjonale tallikke er det. En følge av rasjonale tall kan konvergere mot et irrasjonalt tall, som for eksempel${\sqrt {2}}$.Dette kan brukes til å definere de irrasjonale tallene.Ved hjelp av en følge av rasjonale tall kan en tilnærme et irrasjonalt tall med så stor nøyaktighet som en måtte ønske.

Begrensede følger

En følge$\{x_{n}\}$i et metrisk rom erbegrensetdersom verdiområdet er begrenset.Det vil si at det eksisterer et elementxi det metriske rommet og en konstantMslik at

$d(x,x_{n})<M\,$.

Alle konvergente følger er begrenset.

Monotone følger

En følge av reelle tall$\{x_{n}\}$ermonotondersom den er opptil eller nedtil monoton:

${\begin{array}{lll}x_{n}&\leq x_{n+1}&{\mbox{Opptil monoton}}\\x_{n}&<x_{n+1}&{\mbox{Strengt opptil monoton}}\\x_{n}&\geq x_{n+1}&{\mbox{Nedtil monoton}}\\x_{n}&>x_{n+1}&{\mbox{Strengt nedtil monoton}}\\\end{array}}$

En opptil monoton følge kalles også monotont voksende. En monotont avtagende følge er det samme som en nedtil monoton følge.

En monoton følge er konvergent hvis og bare hvis den er begrenset.

Delfølger

Endelfølgeer avledet fra en følge$\{x_{n}\}$ved å velge ut en delmengde av leddene, men beholde rekkefølgen. La$\{n_{k}\}$være en monoton voksende følge av naturlige tall. En delfølge kan da skrives som

$\{x_{n_{k}}\}$

Som eksempel er$\{1/(2n)\}$en delfølge av følgen$\{1/n\}$.

Dersom delfølgen er konvergent med grenseverdix,sier en atxogså er endelfølgegrensefor følgen$\{x_{n}\}$.

Bolzano-Weierstrass' teoremkan formuleres som at en hver begrenset følge av reelle tall inneholder en konvergent delfølge.

Regneregler for konvergente følger

Gitt to konvergente følger$s_{n}$og$t_{n}$av komplekse tall, med grenseverdier henholdsvis$s$og$t$.Da gjelder regnereglene

${\begin{alignedat}{2}\lim _{n\to \infty }(s_{n}+t_{n})&=s+t\\\lim _{n\to \infty }(s_{n}t_{n})&=st\\\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{s_{n}}})&={\frac {1}{s}}\end{alignedat}}$

Den siste regelen krever at alle leddene og grensen er ulik null.

Cauchyprodukt

Cauchyproduktetav to følger$\{a_{n}\}$og$\{b_{n}\}$er definert som en ny følge$\{c_{n}\}$der hvert ledd er definert ved summasjonen

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\.$

Dette er endiskret konvolusjonssum.

Eksempler på tallfølger

Eksempel 1: Aritmetiske følger

Enaritmetisk følgeer en tallfølge der differensen mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

$a_{n}=a_{n-1}+d\.$

Aritmetiske følger er divergente for alle verdier av konstantendulik null.

Eksempel 2: Geometriske følger

Engeometrisk følgeer en tallfølge der forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

$a_{n}=ka_{n-1}\.$

Følgene konvergerer mot null dersom absoluttverdien av konstantenker mindre enn 1.

Eksempel 3: Harmoniske følger

I enharmonisk følgeer leddene definert som inversen av leddene i en aritmetisk følge. Dersom følgen$\{b_{n}\}$er en aritmetisk følge med ledd ulik null, så vil$\{a_{n}\}=\{1/b_{n}\}$være en harmonisk følge. Leddene i en harmonisk følge kan defineres ved

$a_{n}={a_{0} \over 1+nd}\,$

der$d$er en konstant slik at$(-1/d)$ikke er et naturlig tall.

Eksempel 4: Fibonaccifølge

Enfibonaccifølgeer definert rekursivt ved

$a_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{hvis }}n=0\\1&{\mbox{hvis }}n=1\\a_{n-1}+a_{n-2}&{\mbox{ellers}}\end{cases}}$

Fibonaccifølgen er divergent.

Eksempel 5: Følge for Eulertallet

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right)^{n}=e$

Grenseverdien erEulertallet e.

Eksempel 6

$\lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1\.$

Eksempel 7

$\lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ hvis }}a>0\.$

Eksempel 8

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{a}}{(1+p)^{n}}}=1\quad {\hbox{ hvis }}p>0{\hbox{ og }}a{\hbox{ er reell.}}$

Funksjonsfølger

Konvergens

En følge av funksjoner$f_{n}(x)$som for hvert argument$x$i definisjonsmengden konvergerer mot en grense$f(x)$sies å konvergerepunktvis.Punktvis konvergens trenger ikke medføre konvergens med hensyn på metrikken. For eksempel konvergerer følgen

$f_{n}(x)=n^{2}x(1-x)^{n}\qquad x\in [0,1]$

punktvis mot null, men følgen er ikke konvergent i metrikken definert ved

$d_{\infty }(f_{1},f_{2})=\max |f_{1}-f_{2}|\.$

Generelt er konvergens med hensyn på metrikken$d_{\infty }$ekvivalent meduniform konvergens.

Egenskaper til grensefunksjonen

Et generelt problem i matematisk analyse er å studere om egenskaper til funksjonene$f_{n}(x)$overføres til grensefunksjonen$f(x)$.For eksempel, vil funksjonen$f(x)$værekontinuerligdersom alle funksjonene$f_{n}(x)$er det? Svaret på dette spørsmålet er generelt «nei», det eksisterer følger av kontinuerlige funksjoner som konvergerer mot funksjoner som ikke er kontinuerlig overalt i definisjonsmengden. Hvis følgen konvergerer uniformt, da er imidlertid svaret «ja» - grensefunksjonen vil være kontinuerlig.

Polynomfølger

For en kompleks kontinuerlig funksjon$f(x)$definert i et intervall$[a,b]$gjelderWeierstrass' approksimasjonsteorem.Dette sier at det eksisterer en uendelig følge avpolynomfunksjoner$p_{n}(x)$,slik at

$f(x)=\lim _{n\to \infty }p_{n}(x)\qquad x\in [a,b]\.$

Konvergensen er uniform. En generalisering av dette teoremet kalles Stone-Weierstrass' teorem. Teoremet medfører at en kan tilnærme en kontinuerlig funksjon så nøyaktig en måtte ønske ved hjelp av et polynom.

Se også

• Primtallsørken

Litteratur

• Adams, Robert (2003).Calculus: a complete course(på english). Toronto, Ont. Addison-Wesley.ISBN0-201-79131-5.
• Lindstrøm, T. (2006).Kalkulus(på norsk). Universitetsforlaget.ISBN978-82-15-00977-3.
• Milne, Ronald Douglas (1980).Applied functional analysis, an introductory treatment.London: Pitman Publishing Limited.ISBN0-273-08404-6.
• Rudin, Walter (1976).Principles of mathematical analysis.Singapore: McGraw-Hill International Book Co.ISBN0-07-085613-3.
• Aas, Hans Fredrik (1974).Forelesningsnotater i matematisk analyse.I. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen.

Eksterne lenker

• «The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences»(på engelsk). The OEIS Foundation.Besøkt 5. april 2021.