Impedans

Impedans,også kaltvekselstrømsmotstand,er forholdet mellom vekselspenning over og vekselstrøm gjennom entopolved en gitt frekvens. Impedansens størrelse er (matematisk)kompleks.

Begrepet impedans er en utvidelse av begrepetresistans,og trengs når betraktningen utvides til å inkluderereaktanseri tillegg til resistanser, det vil si når likestrømsbetraktninger utvides til vekselstrømsbetraktninger. Reaktanser, og derfor også impedanser, har frekvensavhengig motstand for strømledning.

Impedansen erstatter resistansen i formelenR = U/I,ogUogIer nå vekselspenning og -strøm. Impedansen får bokstavenZsom symbol i stedet forR,og måles også iOhm,eller$\Omega$.

Z = u/i,der små bokstaver gjelder vekselstørrelser.

• Enimpedanser satt sammen som en seriekopling av to komponenter, enreaktansog enresistans.
• Enreaktanskan være enten enkapasitanseller eninduktans,som uttrykk for virkningene av henholdsvis enkondensatoreller enspole.

For hver frekvens finnes alltidénreaktansverdi ogénresistansverdi for topolen, og vektorsummen deres utgjør impedansen ved denne frekvensen. Dette gjelder for alle tenkelige (linjære) nettverk mellom polene, uten begrensning av antall resistanser og reaktanser som den består av. Reaktansens fortegn bestemmer typen; en negativ reaktans er kapasitiv og en positiv reaktans er induktiv. Ved frekvensendring er det særlig reaktansenXsom endrer sin verdi, verdien avRer i forhold langt mer konstant.

Vektorfremstilling av resistansR,reaktansX(her: induktans) og resulterende impedansZ.Her ses impedansens verdi som lengden|Z|,samt dens fasevinkelθ.Aksene kalles den reelle (Re,horisontal) og den imaginære aksen (Im,vertikal).

Impedansen,seriekoplingen av resistansen og reaktansen blir:

$\mathbb {Z} =R+jX$

hvor

• Zer impedansen
• Xer reaktansen
• Rer resistansen

alle målt iOhm[$\Omega$].

• jer den imaginære enheten fra komplekse tall i matematikken.

Siden resistanser og reaktanser erortogonaletil hverandre i tid (derfor "j",se senere i artikkelen), kan ikke Ohmverdiene deres bare adderes. Impedansen er vektorsummen.

Resistansen står for energitapet i topolen. De reaktive komponentene, reaktansene, opptar og avgir elektrisk energi i løpet av signalets periode, men de avgir aldri energi i form av varme.

Reaktanser for komponentene kapasitet og induktivitet

For en gitt, fast verdi av komponentenkondensatorellerspoleblir den tilhørende reaktansen frekvensavhengig. Sammenhengene er som følger, hvorXer størrelsen av reaktansen.

$X_{C}={1 \over {j\cdot 2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}={1 \over {j\cdot \omega \cdot C}}$for enkondensator,

som helst uttrykkes som$X_{C}={-j \over {2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}={-j \over {\omega \cdot C}}$fordi nevneren da er reell.

Tallverdien blir$|X_{C}|={1 \over {2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}={1 \over {\omega \cdot C}}$

og for enspole:

$X_{L}={j\cdot 2\cdot \pi \cdot f\cdot L}={j\cdot \omega \cdot L}$

Tallverdien blir$|X_{L}|={2\cdot \pi \cdot f\cdot L}={\omega \cdot L}$

hvor

• C er kapasitansen iFarad
• L er induktiviteten iHenry
• f er frekvensen iHzeller [perioder/sek]
• $\omega$er vinkelfrekvensen i [radianer/sek]
• 1radian= 360 grader/$\ 2\pi$
• jplassererXpå den imaginære aksen, og her ses hvorfor kapasitansenX_Calltid er negativ.

Tallverdien for reaktansen til en spole er proporsjonal med frekvensen, mens tallverdien for kondensatorens reaktans er omvendt proporsjonal med frekvensen.

Komponenter er ikke perfekte; kondensatorer og (særlig) spoler er i praksis beheftet med noeenergitap,som gjerne er frekvensavhengig. Det føyes en serieresistans til komponentens symbol for å beskrive dette.

Inverse verdier, ledningsevner

For parallellkopling blir matematikken mye enklere ved bruk av de inverse verdiene av resistansen og reaktansen i formlene. De inverse størrelsene kalles

Suseptans,B = 1/Xsom den inverse av reaktansX.Måles iSiemens[S] ellerMho

Admittans,Y =1/Zsom den inverse av impedansZ.Måles i Siemens [S] ellerMho

En positiv suseptans er kapasitiv og en negativ suseptans er induktiv (!).

Admittansen, parallellkoplingen av konduktansenG = 1/Rog suseptansenB=1/XblirY=G+jB

hvor

Yer admittansen

Ber suseptansen

Ger konduktansen

alle målt i Siemens (S), ellerMho.

Se ellersmotstandfor videre formler.

Topoler med resistanser og reaktanser

Det er ved frekvenser som frembringer de samme absoluttverdier for reaktans og resistans (som ved lav- og høypassfiltre, sepol), eller like absoluttverdier for induktivitet og kapasitet (som ved resonans), at grense- eller resonansfrekvenser for den tiltenkte funksjonen finnes. I det videre gjelder altså$\ |X_{C}|=R$(pol) eller$\ |X_{L}|=R$(pol) eller$\ |X_{C}|=|X_{L}|$(resonans, som har en dobbelt pol). Lave og høye frekvenser i forhold til den frekvensen som oppfyller likheten kommenteres også nedenfor.

R og C i serie

Lav f: Z går mot X_C,går mot uendelig

Grense:$\ |Z|={\sqrt {2}}\cdot R={\sqrt {2}}\cdot |X_{C}|$

Høy f: Z går mot R

R og C i parallell

Lav f: Z går mot R

Grense:$\ |Z|={R \over {\sqrt {2}}}={|X_{C}| \over {\sqrt {2}}}$

Høy f: Z går mot X_C,som går mot null

R og L i serie

Lav f: Z går mot R

Grense:$\ |Z|={\sqrt {2}}\cdot R={\sqrt {2}}\cdot |X_{C}|$

Høy f: Z går mot X_L,som går mot uendelig

R og L i parallell

Lav f: Z går mot X_L,går mot null

Grense:$\ |Z|={R \over {\sqrt {2}}}={|X_{C}| \over {\sqrt {2}}}$

Høy f: Z går mot R

C og L i serie

Lav f: C dominerer, |Z| høy, går mot uendelig

Z går mot X_L+X_C,som går mot null siden Xc er negativ (serieresonans)

Høy f: L dominerer, |Z| høy, går mot uendelig

C og L i parallell

Lav f: L dominerer, |Z| lav, går mot null

Z går mot X_L*X_C/(X_L+X_C) som går mot uendelig (Xc er negativ, nevneren går mot null, parallellresonans)

Høy f: C dominerer, |Z| lav, går mot null

Vedresonanser begge reaktansene like store, altså er

$\ {1 \over \omega C}={\omega L}$og fra dette finner vi

$\ \omega ^{2}={1 \over {LC}}$og

${2\pi f}={\omega }={1 \over {\sqrt {LC}}}$og

resonansfrekvensen blir$\ f={1 \over {2\pi {\sqrt {LC}}}}$

Analogier

Det er ofte lettere å få begrep om kompliserte forhold hvis vi bruker analogier til mer dagligdagse ting som vi alt har en brukbar forestilling om. Her assosieres den elektriske spenningen med kraft og strømmen med hastighet. Analogien her er god fordi matematisk behandling av begge systemene frembringer de samme løsningene på differensialligningene. Energibetraktninger erikkegyldige i denne anlogien.

• Kapasitanskan assosieres med enspiralfjær.Kondensatoren lades = fjæra trekkes ut (positiv spenning) eller stuves sammen (negativ spenning). En høy kapasitet tilsvarer en slapp fjær. Når fjæra går tilbake gis energien tilbake; bevegelsen frem og tilbake koster ikke energi.
• Induktanskan betraktes som enmasse,eksempelvis målt ikg.Massen tilføres energi ved flytting høyere opp i rommet. En høy induktivitet tilsvarer en stor masse. Det er ikke energiforbruk ved å flytte massen opp og så ned igjen; når massen senkes gis energien tilbake.
• Resistanstilsvarer friksjon. Det er bare ved friksjon at omgivelsene tilføres varme, noe som koster energi.
• Resonansfrekvensenved induktans og kapasitans tilsvarer resonansfrekvensen som ses ved at massen henges i fjæra (som på den andre siden er fast til en referanse, eksempelvis et tak eller en bjelke) og så eksitere massen med en dult i retning langs fjæra. Det er ved svingningene som oppstår at kraft og hastighet skifter periodisk på, ved resonansfrekvensen. Frekvensen øker for mindre masser og stivere fjærer, altså for mindre induktiviteter og mindre kapasiteter.

Matematisk grunnlag

• Kapasitansenkoplet til en spenningskilde fører størst strøm når spenningen stiger hurtigst. Uttrykt matematisk: Strømmen er proporsjonal til den deriverte av spenningen, du/dt.
• Induktansenkoplet til en strømkilde oppviser størst spenning når strømmen økes hurtigst. Tilsvarende er spenningen proporsjonal til den deriverte av strømmen, dI/dt.

Med formler:

${I}={C\cdot {dU \over dt}}$for kapasitet

${U}={L\cdot {dI \over dt}}$for induktivitet

Regneeksempel: Vi bruker en motstand på 150 Ohm koplet i serie med en kondensator på 1.2 µF og en spole på 3.3 mH. Impedansen blir generelt:

$\ {Z=}150-{j \over {\omega C}}+{j\omega L}$

• Ved2kHzer$\ \omega$ca. 12566 rad/sek og

• $\ Z=150-j66.3+j41.5[\Omega ]$

  $\ Z=150-j24.8[\Omega ]$

• Impedansen domineres av resistansen og er ellers kapasitiv

• $\ {\phi }={{\tan ^{-1}}\left({X \over R}\right)}={\tan ^{-1}-0.1653}=-9.39\mathrm {\ grader}$

• Impedansens størrelse blir:

  $\ |Z|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}={\sqrt {22500+615}}=\mathrm {\ ca.\ } 152[\Omega ]$

• Ved20kHzer$\ \omega$ca. 125663 rad/sek og

• $\ Z=150-j6.63+j415[\Omega ]$

  $\ Z=150+j408[\Omega ]$

• Impedansen domineres av induktiviteten og er derfor induktiv

• $\ {\phi }={{\tan ^{-1}}\left({X \over R}\right)}={\tan ^{-1}2.72}=69.8\mathrm {\ grader}$

• Impedansens størrelse blir:

  $\ |Z|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}={\sqrt {22500+166464}}=\mathrm {\ ca.\ } 435[\Omega ]$

Beskrivelse med kompleks matematikk

Impedanser kan beskrives ved hjelp av vektorer, men det er nokså tungvint.

Impedansbeskrivelser og kompleks matematikk har det til felles at begge bruker to størrelser som er ortogonale til hverandre, altså alltid står 90 grader på hverandre. Av den grunn passer denne grenen av matematikken ypperlig som verktøy for beskrivelse av og operasjoner med, impedanser. Begreper som imaginær og reell kommer fra matematikken som vi benytter, men det er ingenting som er imaginært med fysikken som vi betrakter.

Ved å definere reaktansen som imaginær, kan hele regelverket fra den komplekse matematikken brukes for å beskrive eller behandle kompliserte impedanser.

En impedans beskrives som

$\mathbb {Z} =R+jX$

Impedansens tallverdi blir da:

$|Z|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}$

Fasevinkelen mellom R og X er

$\phi ={\tan ^{-1}\left({X \over R}\right)}$

Beskrivelse av Z kan også gjøres med formelen

$\ Z=|Z|(\cos \phi +j\sin \phi )$

Beregning for parallellkopling av reaktans og resistans

Først finnes admittansen ved addisjon:

$\ Y_{p}={1 \over R}+{1 \over {jX}}={{jX} \over {jXR}}+{R \over {jXR}}={{R+jX} \over {jXR}}$

Impedansen er den inverse av admittansen:

$Z_{p}={{jXR} \over {R+jX}}$

Nå ganges både teller og nevner med den kompleks konjugerte$\ (R-jX)$.

$Z_{p}={{jXR\cdot (R-jX)} \over {(R+jX)\cdot (R-jX)}}={{jXR^{2}-j^{2}X^{2}R} \over {R^{2}-j^{2}X^{2}}}={{jXR^{2}+X^{2}R} \over {R^{2}+X^{2}}}$

Grunnen til denne multiplikasjonen ses over; nevneren er blitt reell.

$Z_{p}={{(X+jR)\cdot RX} \over {R^{2}+X^{2}}}$