Kapasitans

Elektriskefeltlinjeri en oppladet platekondensator.

Kapasitanstil enelektrisk ledersier hvor myeelektrisk ladningQden kan ta opp når den pålegges en visselektrisk spenningVi forhold til omgivelsene. Lederen kalles i dette tilfellet for enkapasitetellerkondensator.Dens kapasitans betegnes vanligvis ved bokstavenCog er definert ved sammenhengen

$Q=CV$

Ved bruk avSI-systemetmåles den i enheter avFaradhvor 1 F = 1 Coulomb/1 Volt.Dens størrelse avhenger av lederens geometriske form og hva slags materiale den befinner seg i.

Den mest kjente kapasitet består av to parallelle, metalliske plater som har mye større utstrekning enn deres gjensidige avstand. LadningenQer da like stor og med motsatt fortegn på hver plate, mens spenningenVer forskjellen ielektrisk potensialmellom dem. Dette er en videreutvikling og forenkling avLeidnerflaskensom ble brukt til å lagre elektrisk ladning i begynnelsen av forrige århundre. Den kan ha en kapasitans av størrelsesorden μF ellermicrofarad.I moderneelektronikkbenyttes kondensatorer som har en utstrekning som er mye mindre ennmikrometerog nærmer seg størelsen til enkelteatomer.Deres kapasitans varierer fra noen pF ellerpicofaradtil enda mindre verdier.

Kondensatorer

En platekondensator består av to parallelle, metalliske plater med gjensidig avstandd.Når den er mye mindre enn utstrekningen til platene, kan detelektriske feltetEmellom dem betraktes som tilnærmet konstant. Når hver plate har arealetA,kan det beregnes ved bruk avGauss' lovsom gir

$E={Q \over \varepsilon _{0}A}$

når det er luft mellom platene meddielektrisitetskonstantsom kan settes likε₀iSI-systemet.Den elektriske spenningen mellom dem erV = Edsom betyr at kapasitansen for platekondensatoren er

$C=\varepsilon _{0}{A \over d}$

Vanligvis lages denne ved å ha et isolerende materiale med en dielektrisitetskonstantε>ε₀mellom platene slik at kapasitansen blir tilsvarende større.

En sfærisk kondensator består av to konsentresiske kuleskall med radius henholdsvisR₁ogR₂.Hvert av disse bærer en ladning ±Q.Det elektriske spenningen mellom dem er da

$V={Q \over 4\pi \varepsilon }\left({1 \over R_{1}}-{1 \over R_{2}}\right)$

når materialet mellom dem har dielektrisitetskonstantε.Herav kan kapasistansen for denne kondensatoren avleses. NårR₂blir veldig stor, finner man kapasitansenC= 4π εR₁for et enkelt kuleskall. På samme måte kan den beregnes også for noen andre, enkle geometrier.Resultatene kan sammenfattes i tabellen:

Type kondensator	Kapasitans	Geometri
parallelle plater	$C=\varepsilon \cdot {\frac {A}{d}}$
koaksiale sylindrer	$C=2\pi \varepsilon \,{\frac {l}{\ln \!\left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}}$
konsentriske sfærer	$C=4\pi \varepsilon \left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)^{-1}$
kuleskall	$C=4\pi \varepsilon R_{1}$
parallelle sylindrer	$C=\pi \varepsilon \,{\frac {l}{{\rm {arcosh}}\left({\frac {d}{2R}}\right)}}$

Elektrisk feltenergi

De to platene med motsatte ladninger i en platekondensator trekkes mot hverandre av elektriske krefter og må mekanisk holdes på plass. Kondensatoren inneholder derfor energi som er lagret i det elektriske feltet. Denne oppsto under oppladningen hvor man gradvis overfører små ladningerdqfra den ene platen til den andre. Under denne prosessen vil ladningenqpå hver plate variere fra 0 tilQ,noe som gir en tilsvarende, variabel spenningq /Cmellom platene. Det totale arbeidet som utføres under oppladningen, er dermed

$W={1 \over C}\int _{0}^{Q}qdq={Q^{2} \over 2C}={1 \over 2}QV={1 \over 2}CV^{2}$

Denne energien er lagret i det elektriske feltet mellom platene og kan skrives som

$W={1 \over 2}\varepsilon _{0}E^{2}\cdot Ad$

derAd er volumet av rommet mellom platene. Dette er i overensstemmelse med det generelle uttrykket for den elektriske feltenergien ielektrostatikken.

Man kan på samme vis betrakte flere, isolerte ledere som hver har etelektrisk potensialV_i og bærer en elektrisk ladningQ_i.Dette systemet av ladninger vil da ha enelektrostatisk energi

$W={1 \over 2}\sum _{i}Q_{i}V_{i}={1 \over 2}\sum _{i}C_{i}V_{i}^{2}$

hvorC_i =Q_i /V_i er kapasitansen til deni-te lederen.

Serie og parallellkobling

Ved seriekobling av kapasiteter er ladningen på hver av dem den samme.

Ved parallelkobling av kapasiteter er spenningen over hver av dem den samme.

Ved en seriekobling av kondensatoreneC₁,C₂ogC_nkobles de etter hverandre til en ytre spenningskildeV.Det vil da skapes ladninger ±Qsom er like store på hver kondensator. Det betyr at spenningen over deni-te kondensatoren erV_i=Q /C_i.Den totale spennningen over alle kondensatorene er da summen

$V={Q \over C_{1}}+{Q \over C_{2}}+\cdots +{Q \over C_{n}}$

Dette kan skrives somV=Q /Chvor

${1 \over C}={1 \over C_{1}}+{1 \over C_{2}}+\cdots +{1 \over C_{n}}$

gir den totale kapasistansenCav de seriekoblede kondensatorene. Den er mindre enn den minste av kapasitetene i serien. Hvis to like store kondensatorer kobles i serie, blir den resulterende kapasitansen halvert.

Den motsatte effekten oppnås ved å koble kondensatorene parallelt med hverandre. Hver av dem er da utsatt for den samme spenningenV.Men i dette tilfelle vil det skapes forskjellige ladningerQ_i=C_iVpå hver av dem. Den totale ladningenQpå alle kondensatorene er summen av disse og kan skrives somQ = CVhvor

$C=C_{1}+C_{2}+\cdots +C_{n}$

er kapasitansen for de parallelkoblede kondensatorene. Ved å koble to like kondensatorer på denne måten, dobles derfor den resulterende kapasitansen.

RC-kretser

Når man lader opp en kondensator med kapasitansC,vil spenningen over denV_C=Vog dens ladningQ=CVvariere med tident.Dette kan i praksis gjøres ved å koble den til med ledninger en ytre spenningskildeV_in.Ledningen vil ha en viss, indremotstandR.Strømmeni denneseriekoblete kretsener nå

$I={dQ \over dt}=C{dV \over dt}$

hvor den går gjennom kondensatoren som enforskyvningsstrøm.Den gir samtidig et spenningsfall over motstanden som erRI.Kirchhoffs spenningslovgir da

$V_{in}=V+RC{dV \over dt}$

Hvis den ytre spenningenV_inskrus på med full styrkeV₀ved tident= 0, vil dermed spenningen over kondensatoren variere som

$V(t)=V_{0}{\Big (}1-e^{-t/RC}{\Big )}$

Den øker i begynnelsen raskt fraV= 0. Først etter en tid gitt ved tidskonstantenτ=RC,begynner den å nærme seg den påtrykte spenningenV₀.Den samme tidskonstanten opptrer på en tilsvarende måte når en oppladet kondensatorutladesgjennom en motstand.

Vekselstrøm

En seriekoblet RC-krets med påtrykt spenningV_in.

Når den påtrykte spenning er envekselstrømmedvinkelfrekvensω= 2π f,opptrer kapasitansenCsom en nye type elektrisk motstand. Den kalleskapasitiv reaktansog har størrelse

$X_{C}={1 \over \omega C}$

En renlikestrømkan ikke gå gjennom en kondensator, noe som tilsvarer atX_C→ ∞ nårω→ 0.

LadningenQpå kondensatoren varierer nå med samme frekvens slik at man kan skriveQ(t ) =Q₀ sinωt.Spenningen over den er dermed

$V_{C}={1 \over C}Q_{0}\sin \omega t$

Den bestemmer strømmen i kretsen som derfor blirI=dQ/dt=Q₀ ω cosωt.Når den går gjennom den seriekoblede motstanden, gir den samtidig spenningsfallet

$V_{R}=RQ_{0}\omega \cos \omega t=RQ_{0}\omega \sin(\omega t+\pi /2)$

Spenningene over motstanden og kapasitansen er derforfaseforskjøvetmed 90° i forhold til hverandre. Det betyr igjen at strømmen i kretsen vil være faseforskjøvet i forhold til den påtrykte vekselspenningen.Disse forholdene kan enklest beskrives ved bruk atfasevektorerfor de forskjellige strømmene og spenningene i en slik krets.

Eksterne lenker

• Physics LibreTexts,Capacitors and Dielectrics,online pedagogisk fremstilling