Sentralgrenseteoremet

Sentralgrenseteoremeter et sentralt teorem innenmatematisk statistikk.Teoremet sier at en sum avuavhengige og identiskfordeltetilfeldige variablergår mot ennormalfordelingnår antallet går mot uendelig.

Definisjon

LaX₁,X₂,…være en uendeligfølgeav uavhengige,likt fordelte,stokastiske variablermedforventningsverdiμogstandardavvikσ > 0. Vi innfører en stokastisk variabel for å betegne summen av de førstenvariablene i følgen:

$Y_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}$

Da er$\lim _{n\rightarrow \infty }Y_{n}$normalfordelt med forventningsverdi nµ og standardavvik$\sigma {\sqrt {n}}$:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\;P\left(a<{\frac {Y_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}<b\right)=P(a<Z<b)=\Phi (b)-\Phi (a)$

der Z er standardnormalfordelt og Φ betegnerfordelingssfunksjonenfor enstandardisert normalfordeling.

Alternativ og ekvivalent definisjon

HvisXer gjennomsnittet av n uavhengige identisk fordelte stokastiske variabler X_i,

${\overline {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i},\quad E(X_{i})=\mu,\quad Var(X_{i})=\sigma ^{2}$

Da er${\overline {X}}$normalfordelt med forventningsverdi µ og standardavvik$\sigma \over {\sqrt {n}}$:

${{{\overline {X}}-\mu } \over {\sigma \over {\sqrt {n}}}}\ {\stackrel {D}{\rightarrow }}\ Z,\quad {n\rightarrow \infty }$