Forventning

Flere betydninger:Forventning (psykologi)

Forventningellerforventningsverdier en størrelse innensannsynlighetsregning.Forventningen til enstokastisk variabeler en verdi, slik at hvis man gjentar eksperimentet som ligger til grunn for variabelen mange ganger, vilgjennomsnittetavutfallenenærme seg forventningen. I det diskrete tilfellet er forventningen lik summen av sannsynligheten for hvert utfall, multiplisert med verdien av dette utfallet.

For en stokastisk variabelX,skriver manE[X] for forventningsverdien tilX.

Definisjon

Forventningsverdien til en diskret stokastisk variabel

HvisXer en diskret stokastisk variabel, og antar verdienex₁,x₂,... med sannsynlighet henholdsvisp₁,p₂,... så er forventningsverdienE(X)gitt ved

E(X)=\sum _{i}x_{i}p_{i}.

HvisXkan antatellbart uendeligmange forskjellige verdier, er denne summen enuendelig rekke.I dette tilfellet eksisterer forventningsverdienE[X] bare hvis denne rekkenkonvergerer absolutt.

Forventningsverdien til en stokastisk variabel medtetthetsfunksjon

Hvis en stokastisk variabelXhar tetthetsfunksjonf(x), er forventningsverdien gitt ved

E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx.

Forventningsverdien eksisterer bare hvis integralet $\int _{-\infty }^{\infty }\left|x\right|f(x)dx$ konvergerer.

Generell definisjon

Generelt blir forventningsverdien definert som følger: HvisXer enP-integrerbarstokastisk variabel fra etsannsynlighetsrom(Ω, Σ, P)til $({\overline {\mathbb {R} }},B)$ ,derBer denborelske σ-algebraover ${\overline {\mathbb {R} }}$ så defineres

E(X)=\int _{\Omega }XdP.

Empirisk forventning

Den empiriske motsatsen til forventning ergjennomsnittet. Forventningestimeresofte vedgjennomsnittogtrimmet gjennomsnittog forsymmetriske fordelingerogså vedmedianen.

Egenskaper

Forventning er enlineær operator,så for vilkårlige konstanter $a$ og $b$ og en stokastisk variabel $X$ gjelder

E[aX+b]=aE[X]+b.

Eksempler

Et eksempel på endiskret stokastisk variabeler gjennomsnittsresultatet av en lang serie med kast (100 eller flere) med en terning med 1-6 «øyne» på sidene. Er terningen rett, dvs. riktig balansert, har hver av sidene sannsynligheten 1/6 for å vises. Forventet antall øyne blir da 1/6 x 1 + 1/6 x 2 + 1/6 x 3 + 1/6 x 4 + 1/6 x 5 + 1/6 x 6 =3,5.