London-ligningen

London-ligningenbeskriver egenskapene tilmagnetfelteti ensuperleder.Spesielt forklarer denMeissner-effektender et ytre magnetfelt under enkritisk temperaturtvinges ut av dens indre. Ligningen inneholder bare en parameter som er «penetrasjonsdybden»λog angir hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i superlederen. Denne fenomenologske beskrivelsen kan utledes fra den senere mer velfunderteGinzburg-Landau-teorien.

Ligningen ble funnet av brødreneFritzog Heinz London i1935mens de var iOxfordetter å ha flyktet fraTyskland.

Utledning

Da det var kjent at superledning først opptrer under en viss,kritisk temperatur,var det nærliggende å tro at fenomenet hadde noen felles trekk medBose-Einstein-kondensasjon.Selv omelektronenei et metal erfermionerog ikkebosoner,tenkte man seg likevel at en del av disse med tetthetn_skunne danne et superledende kondensat. Over den kritiske temperaturen er denne lik null, mens for lavere temperaturer ern_s> 0og materialet er superledende.

Kondensatet er antatt å bestå av ladningsbærere med massemogelektrisk ladningq.De beveger seg i etmagnetfeltsom alltid kan uttrykkes ved vektorpotensialetAved den fundamentale sammenhengenB=∇ × A.Den sier at de magnetiskefeltlinjeneer lukkete kurver. Fraklassisk mekanikkvil hver slik partikkel i dette feltet ha en hastighetvog impulspsom er forbundet ved relasjonenp=m v+q Asom følger fra elektromagnetiskgaugeinvarians.

Bevegelsen til de superledende partiklene i kondensatet gir opphav til en elektriskstrømtetthetJ_s=qn_s v.London-ligningen kommer nå frem ved å anta at i et uniformt kondensat må partiklene ha impulsenpsom også gjelder for partiklene i etBose-Einstein-kondensat.Dermed har man sammenhengen

$\mathbf {J} _{s}=-{n_{s}q^{2} \over m}\mathbf {A}$

som gir opphav til ligningen. På denne formen er den ikkegaugeinvariant,men bare for vektorpotensial som oppfyller betingelsen∇⋅A= 0.Vanligvis sier man at dette tilsvarer å benytteCoulomb-gauge,men ved utledningen her kalles betingelsen likså ofte for bruk av «London-gauge». Uansett skyldes den at strømmen må tilfredsstille∇⋅J= 0som følger frakontinuitetsligningenunder stasjonære forhold.

London-ligningen på denne formen kommer frem på samme form fra den mer velbegrunneteGinzburg-Landau-teorienog har derfor en gyldighet utover de enkle antagelsene gjort i denne utledningen. Den er også derfor konsistent med den mer fundamentaleBCS-teorienhvorav det fremgår at de superledende ladningsbærerne erCooper-parmed tetthetn_sbestående av to elektroner slik at ladningenq= 2e.

Formulert som differensialligning

Ligningen kan formuleres for magnetfeltet alene ved å brukeAmpères sirkulasjonslov∇ × B=μ₀J_snår man benytterSI-systemethvorμ₀er denmagnetiske konstanten.Tar man nåcurlav London-ligningen og benytter fravektoranalysenidentiteten∇ ×(∇ × B) =∇ (∇⋅B) - ∇² B,fremkommerdifferensialligningen

$\nabla ^{2}\mathbf {B} ={1 \over \lambda ^{2}}\mathbf {B}$

da∇⋅B= 0 gjelder alltid. Her er inngår parameterenλ²=m/μ₀n_sq²som omtales som «penetrasjonslengden». Den sier hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i en superleder. Når temperaturen øker og nærmer seg den kritiske verdien, viln_s→ 0.Det betyr at da vilλ→ ∞ og magnetfeltet kan da gå gjennom hele superlederen. Det er da ingenMeissner-effekt,og superlederen er gått over i den normale fasen.

Enkel anvendelse

Man tenker seg en superleder som fyller rommetx> 0 som ellers består av et normalt materiale eller luft. Hele systemet befinner seg i et ytre magnetfelt som man kan anta er parallelt medz-aksen. Dette har en størrelseB₀i områdetx< 0utenfor superlederen. Inni denne forenkles nå London-ligningen til

${d^{2}B \over dx^{2}}={B \over \lambda ^{2}}$

Den eneste løsningen som er kompatibel med de gitte gremnsebetingelsene, er

$B(x)=B_{0}e^{-x/\lambda }$

Magnetfelt inni superlederen går derfor mot null i avstander fra overflaten som er mye større en penetrasjonslengdenλ.Dette erMeissner-effekten.

Litteratur

• F. London and H. London,The Electromagnetic Equations of the Supraconductor,Proc. Roy. Soc. London, Ser. A149(866), 71-88 (1935).
• M. Tinkham,Introduction to Superconductivity,Dover Books, New York (2004).ISBN 978-0-486-43503-9.

Autoritetsdata