Analisi matematica
L’analisies la branca deimatematicasderivada daucalcul infinitesimaudesvolopat au sègle XVII. Es la disciplina matematica que tracta dei calculs implicant la nocion d'infinit.Compren de nocions fondamentalas coma lolimit,lacontinuitat,laderivacione l'integraciontant per leinombres reausquecomplèxes.L'estudi deisespacis metricsetopologics,localcul dei variacionse lateoria dei foncionsfan egalament partida de l'analisi. Existís donc un nombre important de sosbrancas coma l'analisi reala,l'analisi complèxa,l'estudi deiseqüacions diferencialas,l'analisi armonicaò l'analisi numerica.
Istòria[modificar|Modificar lo còdi]
Lo periòde antic[modificar|Modificar lo còdi]
Lei calculs aprochats e leis irracionaus[modificar|Modificar lo còdi]
L'analisi es probablament apareguda durant l'AntiquitatAuta amb lei calculs aprochatsmesopotamiansfondats sus deprocès de calculillimitats. En particular, leiBabiloniansavián calculat una valor aprochada de √2 entre1900e1600 avC[1].Entre800e500 avC,de prèiresindianstrobèron tanben una approximacion racionala de √2[2].Pasmens, lei metòdes utilizats per realizar aquelei calculs èran encara limitats. Ansin, lei trabalhs dauGrècEron d'Alexàndria(†sègle I apC) marquèron una evolucion importanta en permetent d'estimar la valor de laracina carradad'unnombreque que siegue. Segon sonmetòde,èra possible de trobar la racine d'un nombreAa partir d'una approximacion arbitràriaa0en calculanta1= (a0+A/a0)/2. Lo calcul èra repetit amb la valor novèla fins a l'obtencion d'una precision sufisenta[3].
La descubèrta deinombres irracionauses un autre element de basa de la fondacion de l'analisi. Es probablament anciana mai leis escrichs pus vièlhs que parlan clarament d'aqueu subjècte son grècs[4].SegonAristòtel(384-322 avC), la pròva de l'existéncia d'aquelei nombres foguèt establida per leipitagoriciansa partir d'un estudi sus la valor de √2[5].L'estudi sistematic d'aquelei valors irracionalas foguèt realizada pus tard perEuclides(v.325- v.265 avC) que definiguèt la nocion de rapòrt entre dos grandors. Dins aquò, la comprenença modèrna dei tèxtes grècs e dei descubèrtas dei matematicians dau periòde es malaisada en causa de l'usatge d'un vocabulari diferent dau lengatge modèrne deimatematicas.Ansin, certanei trabalhs grècs sus lei nombres irracionaus son desenant l'objècte d'interpretacions diferentas.
La question dei tangentas, dei diorismes e dei volums[modificar|Modificar lo còdi]
Lei problemas degeometriaocupèron una plaça importanta dins lo desvolopament de l'analisi car sei problemas principaus foguèron la causa de recèrcas importantas fins a laRenaissença.Entre aquelei problemas, tres tenguèron un ròtle major – la question de latangenta,leidiorismese leivolumsde certaneis objèctes – car apareguèron durant la recèrca de laquadratura dau ceucle.Per la tengenta, lo problema èra liat a l'existéncia « l'angle de contingéncia », es a dire l'angleentre la corba que limita una figura e latangentaa aquela corba.Euclidesdeclarèt impossible lo passatge d'una drecha entre la corba e la tangenta (unicitat de la tangenta). Pasmens, leis otís matematicas de l'Antiquitate de l'Edat Mejanaèran insufisents per descriure corrèctament un tal angle. Aquò entraïnèt fòrça debats que venguèron l'implicacion defilosòfs.Dins aquò, permetèron tanben de melhorar la visualizacion d'objèctes fòrça pichons.
Lei diorismes son liats a la question deitangentas.Lo cas pus important per lei Grècs èra probablament aqueu de laparabòlaelliptica,valent a dire l'eqüacion cubic.D'efiech, una tala eqüacion a pas totjorn doas racinas e lei matematicians grècs e arabs s'interessèron au cas limit de l'eqüacion amb una racina unica. L'estudigeometricadei conicas mostrèt de liames entre aqueu cas e l'estudi dei tangentas.Apollonius de Perge(v.240 avC- v.190 avC) foguèt una figura importanta de l'estudi d'aquelei problemas[6]
La question dau calcul dei volums es egalament, en partida, liada a la question deitangentas.Es principalament l'òbra deDemocrit d'Abdèra(v.460- v.370 avC) e d'Eudox de Cnide(408-355 avC). D'efiech, per calcular lovolumd'unapiramidaò d'uncòn,utilizèrond'aproximacionsque prefiguran lo calcul infinitesimau[7].
De la descubèrta deis indivisibles au calcul diferenciau[modificar|Modificar lo còdi]
Leis indivisibles e leis integralas[modificar|Modificar lo còdi]
De la fin de l'Antiquitata la fin de l'Edat Mejana,lei progrès en analisi foguèron febles. Pasmens, gràcias aitraduccionsaràbias, una partida importanta dei sabers grècoromans foguèt pas perduda. De mai, quauquei progrès foguèron realizats enChinae enÍndia.Dins la premiera region,Zu Chongzhi(429-500) descurbiguèt loprincipi de Cavalieri(òmetòde deis indivisibles) tre losègle V apC.Dichmetòde deis indivisibles,aqueu principi consistís a devesir un volum en sosvolums simples per calcular pus aisament lo volum totau. Puei, dins la peninsula indiana, au sègle XII,Bhaskara II(v.1114-1185) utilizèt laderivadae descurbiguèt loteorèma de Rolle[8].EnEuròpa,se fau egalament nòtar lei trabalhs dau matematicianfrancésNicole Oresme(v.1320-1382) qu'aguèt l'idèa d'utilizar de representacions graficas per visualizar leifoncions.Demostrèt tanben la divergéncia de laseguida armonicadins un tractat publicat en1360[9].Pasmens, aquelei descubèrtas demorèron isoladas e foguèron gaire esplechadas.
La represa dei progrès en analisi aguèt donc luòc enEuròpaa partir de la fin de laRenaissença.D'efiech, en1635,Bonaventura Cavalieri(1598-1647) publiquètGeometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota,un tractat que presentèt lometòde deis indivisiblese que suscitèt un interès novèu per la disciplina au sen de l'elèit intellectuau daucontinent[10].En particular, de personalitats comaRené Descartes(1596-1650),Pèire de Fermat(1601-1665),Gilles Personne de Roberval(1602-1675) eEvangelista Torricelli(1608-1647) s'interessèron ai trabalhs deCavalieri.Aquò menèt au perfecionnament de son metòde e a la descubèrta deisintegralas[11][12].Pasmens, la premiera definicion de l'integralaèra unicamentgeometricae foguèt encara necessari d'esperar 150 ans avans de veire la definicion modèrna d'aquela nocion.
Lei premierei basas dau calcul diferenciau[modificar|Modificar lo còdi]
Lei premierei basas daucalcul diferenciaufoguèron descubèrtas durant d'estudis sus lo traçat deitangentasai corbas.FermateRobervals'interessèron fòrça a aqueu subjècte. Per aquò, trabalhèron sus depolinòmispermetent de calcular lei racinas d'unaeqüacionrepresentar latangentaen un ponch donat. Durant aquel estudi,Fermatestudièt lo cas de la drechay=ax+btangenta enx0a la corba descricha per lo polinòmi P(x). Per exprimir aquela tangenta, Fermat cerquèt lo zerò dau polinòmiP(x,ax+b).
Aquò li permetèt d'exprimir lo problema dei tangentas d'un biais novèu. Per eu, s'unafoncion racionalaR(x) a un extremom enx0e seaes pròche (mai diferent) dex0,alora l'eqüacionR(x0) =R(a) accèpta doas racinasaea+equ'enquadranx0.Se se condidèra l'egalitatR(a) =R(a+e) en factorizante,alora ven una eqüacion de la formaT(a,e) = 0. Seees chausida egala a 0, l'eqüacionT(a,0) = 0 permet alora de calcular l'extremom cercat. Un tau metòde prefigura largament localcul diferenciauqu'aparéis tanben dins lei trabalhs deKeplerò deDescartes.
Lei seguidas entieras[modificar|Modificar lo còdi]
L'estudi deiseguidasconoguèt una certana popularitat enFrançae enAnglatèrraa partir dausègle XIVamb de personalitats comaRichard Swineshead(†1354). Pasmens, lei progrès foguèron lents fins a la segonda mitat dausègle XVII.Lei matematiciansanglésaguèron un ròtle centrau durant aqueu periòde que veguèt de progrès tant dins la teoria dei seguidas (invencion dau tèrme « seguida convergenta » perJames Gregory[13]) que dins leis aplicacions concrètas d'aqueu concèpte (binòmi de Newton,desvolopament defoncions trigonometricas...). Puei, en1715,Brook Taylor(1685-1731) establiguèt un liame entre lei seguidas e localcul diferenciaugràcias a l'estudi dei seguidas quepòrtan son nom[14].
La descubèrta dau calcul diferenciau[modificar|Modificar lo còdi]
La descubèrta daucalcul diferenciaumodèrne es atribuïda aIsaac Newton(1642-1727) e aGottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716). Lo premier s'interessèt au subjècte en desvolopament leis idèas d'Isaac Barrow(1630-1677) qu'èra estat son professor[15].Barrowaviá sintetizat lei trabalhs deFermate imaginat l'utilizacion d'acreissements pichons per estudiar lo problema deitangentas.Newtondesvolopèt aquelei recèrcas per leis adaptar ai grandorsfisicasliadas autempse ai formasgeometricas.Aquò li permetèt de desvolopar sei teoriasmecanicasonte localcul diferenciautèn un ròtle centrau.
Leibnizfoguèt puslèu influenciat per lei trabalhs matematics deRené Descartese deChristiaan Huygens(1629-1695). Sa vision foguèt pus teorica e pus matematica. Son article principau sus lo calcul diferenciau, publicat en1684dins la revistaActa Eruditorum,establiguèt per lo premier còp d'un biais clar lei règlas de basas per la diferenciacion d'unasoma,d'unproduche d'unquocientde variablas. En mai d'aquò, la màger part de son vocabulari e de sei notacions («foncion», « diferenciala »,dx,y=f(x), lo simbòl de l'integrala...) foguèt adoptada per l'ensemble de la comunautat scientifica. Lo trabalh de vulgarizacion deGuillaume de L'Hôpital(1661-1704) e lei descubèrtas majoras de sei discípols (lei fraires Bernoulli,Euler) aguèron un ròtle important dins aquela difusion. La descubèrta daucalcul diferenciau(òcalcul infinitesimau) marca la fondacion de l'analisi matematica modèrna.
L'analisi modèrna[modificar|Modificar lo còdi]
La nocion de foncion[modificar|Modificar lo còdi]
Ja presenta dins leisescrichsdeBarrowe deNewton,la nocion defoncionfoguèt estructurada e difusada per lei trabalhs deLeibnize de sei successors. D'efiech, de matematicians comaSylvestre-François Lacroix(1765-1843),Daniel Bernoulli(1700-1782),Leonhard Euler(1707-1783),Jean Le Rond d'Alembert(1717-1783) eJoseph-Louis Lagrange(1736-1813) definiguèron de nocions majoras (continuïtat, discontinuïtat...) e establiguèron de liames amb leiseguidas.
Lo sègle XIX es de còps considerat coma lo « sègle de la teoria dei foncions » en causa dei descubèrtas nombrosas dins aqueu domeni.Gaspard Monge(1746-1818),Joseph Fourier(1768-1830) eAugustin Cauchy(1789-1857) tenguèron un ròtle important dins la transicion entre lei matematicians dei Lutz e aquelei dau periòde seguent gràcias a sei descubèrtas sus lei foncions discontinuas e sus lo desvolopament deifoncions trigonometricas(seguidas de Fourier).Gustav Lejeune-Dirichlet(1805-1859) completèt la teoria deFourieren1837e donèt la premiera definicion deifoncions unifòrmas.Aquò menèt, dins leisans 1840,a l'adopcion de la definicion modèrna de la « foncion ». A son torn completat perBernhard Riemann(1826-1866) eGeorg Cantor(1845-1918), aqueu trabalh foguèt una fònt de lateoria deis ensemblesque foguèt desvolopada perCamille Jordan(1838-1922),René Baire(1874-1932),Émile Borel(1871-1956) eHenri Lebesgue(1875-1941).
Durant la segonda mitat dau sègle XIX, de foncions novèlas foguèron egalament descubèrtas. Per exemple, en1872,Karl Weierstrass(1815-1897) senhalèt l'existéncia d'una foncion continua qu'èra pas derivabla. En parallèl, se desvolopèt l'estudi dei foncions complèxas, çò que menèt aifoncions ellipticas.Aquela branca de l'analisi, relativament anciana, èra demorada marginala carCarl Friedrich Gauss(1777-1855), un dei sei pioniers importants, aviá pas publicat sei resultats. Dins aquò, de personalitats comaNiels Abel(1802-1829) eCarl Jacobi(1804-1851) capitèron de la popularizar. Tornèron tanben descubrir leifoncions ellipticasque foguèron pus tard estudiadas perJoseph Liouville(1809-1882),Arthur Cayley(1821-1895) eCharles Hermite(1822-1901). Aquò favorizèt la descubèrta deifoncions fuchsianaseautomòrfasque foguèron l'objècte dei recèrcas d'Henri Poincaré(1854-1912) e deFelix Klein(1849-1925).
Leis integralas[modificar|Modificar lo còdi]
La descubèrta daucalcul infinitesimaupermetèt de melhorar lometòde deis indivisibles.Aquò menèt a la definicion modèrna de l'integralatre la fin dau sègle XVII. De mai, lei notacions comencèron de s'estabilizar rapidament gràcias au trabalh deLeibniz,dei fraires Bernoulli, d'Eulere deCauchy.Au sègle XIX, divèrsei matematicians, comaRiemann,s'interessèron a l'integracion dei foncions discontinuas. Finalament, la vision modèrna deis integralas definidas apareguèt a la fin dau sègle gràcias ai trabalhs deGaston Darboux(1842-1917), deThomas-Jan Stieltjes(1856-1894) e d'Henri Lebesgue.
Lei seguidas[modificar|Modificar lo còdi]
Coma per leisintegralas,la nocion deseguidaprenguèt sa forma modèrna durant lo sègle XIX.Cauchy,DirichleteRiemannfoguèron d'actors majors d'aquela evolucion. Per aquò, estudièron fòrça lei seguidas convergentas que venguèron un otís important dins mai d'unademonstracion matematica,especialament en analisi. Lei seguidas divergentas foguèron mens l'objècte de recèrcas car son aspècte divergent èra jutjat « òrre » per plusors matematicians[16].
Lo calcul dei variacions[modificar|Modificar lo còdi]
Localcul dei variacionses aparegut tre la fin dau sègle XVIII. Lo tèrme foguèt imaginat perEulerper descriure l'estudi dei minimoms e dei maximoms de certaneisintegralas.Aguèt una gròssa importància enfisicae enquimiae foguèt estructurat perLagrange.Uei, localcul dei variacionses un otís major de l'analisi foncionala,especialament dins lo quadre de l'estudi deisespacis vectoriaus.
Lo desvolopament deis eqüacions diferencialas[modificar|Modificar lo còdi]
Leiseqüacions diferencialasapareguèron durant la segonda mitat dau sègle XVII amb lei trabalhs deNewtone deLeibniz.Durant lo sègle XVIII, sa comprenança se melhorèt gràcias ai descubèrtas sus leifoncionse sus leisintegralas.D'efiech, aquò permetèt pauc a pauc de preveire l'existéncia d'una solucion. En1734,Eulerimaginèt l'eqüacion diferenciala de derivadas parcialas. Element important daucalcul diferenciau,aquel objècte foguèt estudiat perd'Alemberta partir de1747.La solucion sistematica deis eqüacions diferencialas de derivadas parcialas de premier e de segond òrdre foguèt trobada durant lo sègle XIX e de liames foguèron establits amb l'estudi dei superficias.
Lei nombres transcendants[modificar|Modificar lo còdi]
Leinombres transcendantsfoguèron l'objècte d'un estudi sistematic a partir dau sègle XIX. Aperavans,π,conegut dempuei l'Antiquitat,èra estat lo subjècte de fòrça trabalhs assaiant de determinar sa natura e, mai que mai, sa valor precisa. Pasmens, en1844,Liouvillecapitèt de construrre d'autrei nombres d'aqueu tipe. Durant lo periòde seguent,Cantormostrèt l'existéncia d'un ensemble de nombres transcendants. Enfin, en1872,la transcendància deefoguèt demonstrada. Encara mau comprés, lei nombres transcendants son totjorn fòrça estudiats per de matematicians modèrnas comaKurt Mahler(1903-1988).
Concèptes principaus[modificar|Modificar lo còdi]
Espaci metric[modificar|Modificar lo còdi]
Unespaci metrices un ensemble onte la nocion de distància entre leis elements de l'ensemble es definida. Aqueleis elements son generalament dichs « ponchs »[17].Totespaci metrices canonicament dotat d'unatopologia.La màger part dei trabalhs d'analisi matematica an luòc dins d'espacis metricscoma l'espaci euclidian(lo pus famós amb sei tres dimensionsx,yez), loplan complèxe,leisespacis vectoriausò ladrecha reala.
Pasmens, l'usatge d'unespaci metrices pas indispensable a l'analisi matematica. Certanei brancas, coma l'analisi foncionala,an generalament pas besonh d'aqueu concèpte.
Seguida[modificar|Modificar lo còdi]
Una seguida es una familha d'elements, dichs « tèrmes », indexats per d'entiersnaturaus. Pòu èsser finida òinfinidae lei tèrmes aver una natura reala ò complèxa. Lei seguidas son liadas a lamesura(mesuras d'un fenomèn enregistradas a d'intervals regulars detemps) e a l'analisi coma equivalemnt discrèt dei foncions numericas continuas. Lei nocions de convergéncia e de limit d'una seguida son fòrça importantas en analisi matematica car an d'aplicacions entopologiae dins leisespacis metrics.
Brancas principalas[modificar|Modificar lo còdi]
Analasi reala[modificar|Modificar lo còdi]
L’analisi realaes la branca de l'analisi qu'estúdia leis ensembles dereause leifoncionsde variablas realas. Per aquò, estúdia principalament de concèptes coma leiseguidase seilimits,lacontinuitat,laderivacion,l'integracione leiseguidasdefoncions.Es un domeni vièlh deimatematicasqu'a d'aplicacions importantas en causa de son liame amb lo reau. De mai, es la basa d'autrei brancas de l'analisi matematica.
Analisi complèxa[modificar|Modificar lo còdi]
L'analisi complèxaes la branca de l'analisi qu'estúdia leis ensembles denombres complèxes,especialament leifoncionsde variablas complèxas que sonderivablasa respècte d'au mens una variabla complèxa. Dins aqueu quadre, se fau nòtar l'importància deifoncions olomòrfasque son de foncions de valors complèxas definidas e derivablas en tot ponch d'un sosensemble dubèrt dau plan complèx ℂ. D'efiech, aquela condicion es pus fòrta que la derivabilitat reala e entraïna lo fach que la foncion es indefinidament derivabla e es egala a proximitat de cada ponch dau dubèrt a la sòma de saseria de Taylor.
Leis aplicacions de l'analisi complèxason nombrosas en causa de l'interès deinombres complèxesdins lei calculstecnics.Au nivèumatematic,mena a la definicion deisuperficias de Riemanne a lageometria complèxa.
Analisi foncionala[modificar|Modificar lo còdi]
L'analisi foncionalaes la branca de l'analisi qu'estúdia leis espacis defoncions.L'origina dau tèrme « foncionala » tròba son origina dins lo calcul dei variacions, dins l'estudi dei transformacions (transformacion de Fourier...) e dins l'estudi deiseqüacions diferencialas.A d'aplicacions nombrosas en causa de l'usatge massiu deifoncionsdins lei domenis tecnics e scientifics. Lo succès pus importanta de la disciplina es probable sa demonstracion de l'estabilitat de l'atòmd'idrogèn.
Analisi armonica[modificar|Modificar lo còdi]
L'analisi armonicaes la branca de l'analisi qu'estúdia la representacion deifoncionsò dei sinhaus coma superposicion d'ondasde basa dichas « armonicas ». Es una extension e una generalizacion dei nocions deseguidae detransformada de Fourier.A d'aplicacions variadas entractament dei sinhaus,enmecanica quanticaò enneurosciénciasse es considerada coma un aspècte major de l'engenhariáelectronicamodèrna.
Eqüacion diferenciala[modificar|Modificar lo còdi]
Leiseqüacions diferencialasson d'eqüacionsque seisinconegudasson defoncionse que se presenta coma una relacion entre aqueleifoncionse seiderivadassuccessivas. N'existís dos tipes diferents:
- leiseqüacions diferencialas ordinàriasson constituïdas defoncionsque despendon d'una meteissa variabla.
- leiseqüacions diferencialas de derivadas parcialaspòdon despendre de plusors variablas independentas.
Leiseqüacions diferencialasan un ròtle major dins leisciénciase leitecnicasmodèrnas car fòrça fenomèns pòdon èssermodelizatsper unaeqüaciond'aqueu tipe.
Analisi numerica[modificar|Modificar lo còdi]
L'analisi numericaes la branca de l'analisi qu'estúdia la mesa en plaça e l'utilizacion de metòdes permetent de resòuvre, per lo mejan de calculs numerics, de problemas d'analisi matematica. Per aquò, s'interèssa fòrça aisalgoritmesque permèton de calcular de problemas continüs gràcias a de calculs de ponchs. Uei, es donc una branca aplicada que se situa a l'interfàcia entre leimatematicase l'informatica.
Analisi vectoriala[modificar|Modificar lo còdi]
L'analisi vectorialaes la branca de l'analisi qu'estúdia lei camps d'escalarse devectorspron regulars deisespacis euclidians,es a dire leis aplicacions diferenciablas d'un ensemble dubèrt d'un espaci euclidianEque sei valors se situan respectivament dinse dinsE.Per lei matematicians, l'analisi vectorialaes considerada coma una branca de lageometria diferenciala,domeni qu'inclutz d'otís pus poderós per analizar lei camps de vectors. Pasmens, l'analisi vectorialaes sovent classada coma una branca distinta en causa de son importància enfisicae dins lei sciéncias de l'engenhaire.
Annèxas[modificar|Modificar lo còdi]
Liames intèrnes[modificar|Modificar lo còdi]
- Algoritme.
- Analisi armonica.
- Analisi complèxa.
- Analisi foncionala.
- Analisi numerica.
- Analisi reala.
- Analisi vectoriala.
- Calcul diferenciau.
- Calcul infinitesimau.
- Calcul integrau.
- Derivada.
- Eqüacion diferenciala.
- Espaci metric.
- Foncion.
- Infinit.
- Integrala.
- Limit.
- Matematicas.
- Nombre irracionau.
- Nombre transcendant.
- Seguida.
Bibliografia[modificar|Modificar lo còdi]
- (fr)Max Abraham ePaul Langevin,« Analyse Vectorielle », dinsEncyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Tome IV,Gauthier-Villars, 1912-1914, p. 12.
- (fr)André Angot,Compléments de mathématiques à l'usage des ingénieurs de l'électrotechnique et des télécommunications,Masson, 1949.
- (fr)Jacques Bouveresse, Jean Itard e Émile Sallé,Histoire des mathématiques,Larousse, 1977.
- (fr)Henri Cartan,Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes,Hermann, 1961.
- (fr)Jean Dieudonné,Calcul infinitésimal,2aedicion, Hermann, 1980.
- (fr)Claude Gasquet e Patrick Witomski,Analyse de Fourier et applications: filtrage, calcul numérique et ondelettes,Masson, 1990.
- (de)G. H. Golub e J. M. Ortega,Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik,Heldermann Verlag, 1995.
- (en)Ivan Niven,Irrational Numbers,Cambridge University Press, 1956.
- (fr)Benoît Rittaud,Le fabuleux destin de √2,Le Pommier, 2006.
- (en)Walter Rudin,Principles of Mathematical Analysis,3enedicion, McGraw–Hill, 1976.
- (en)Walter Rudin,Real and Complex Analysis,3aedicion, McGraw-Hill, 1987.
- (en)Elias Menachem Stein,Harmonic Analysis,Princeton University Press, 1993.
- (la)Brook Taylor,Methodus incrementorum directa et inversa,1715.
- (fr)Michel Willem,Analyse fonctionnelle élémentaire,Cassini, 2003.
Nòtas e referéncias[modificar|Modificar lo còdi]
- ↑(en)David Fowler e Eleanor Robson, « Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context »,Historia Mathematica,vol. 25, 1998, pp. 366-378.
- ↑(en)Kim Plofker,Mathematics in India,Princeton University Press, 2009, pp. 17-18.
- ↑Aqueu metòde èra probable conegut enEgipteavans lei trabalhs d'Eron Alexàndria(Marianne Michel,Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problème,Safran Bxl, 2014).
- ↑Pasmens, i a una linha dins untractat indianque sembla indicar una conoissença de l'irracionalitat de √2 per de matematicians indians (Bibhutibhusan Datta,The Science Of The Sulba: A Study In Early Hindu Geometry,1932). Pasmens, la datacion d'aqueu tèxte es pauc clar (entre800a200 avC).
- ↑(fr)Árpád Szabó (trad. Michel Federspiel),L'aube des mathématiques grecques,Vrin, 2000, p. 25.
- ↑(en)Julian L. Coolidge,A History of The Conic Sections and Quadric Surfaces,Dover, 1968, pp. 13-26.
- ↑(en)Morris Kline,Mathematical from ancient to modern times,Oxford University Press, 1972, p. 37.
- ↑(en)Brajendranath Seal, « The positive sciences of the ancient Hindus »,Nature,vol. 97, n° 2426, 1915, p. 177.
- ↑(en)Victor J. Katz (dir.),Sourcebook in the Mathematics of Medieval Europe and North Africa,Princeton University Press, 2016, p. 184.
- ↑(it)Umberto Bottazzini,Infinito,il Mulino, 2018, pp. 107-137.
- ↑(fr)François de Gandt,L'Œuvre de Torricelli. Science galiléenne et nouvelle géométrie,Publication de la Faculté des Lettres et sciences humaines / les Belles lettres, 1987.
- ↑(fr)François de Gandt, « Naissance et métamorphose d'une théorie mathématique: la géométrie des indivisibles en Italie (Galilée, Cavalieri, Torricelli) », dinsSciences et techniques en perspectives,n° 9, 1984-1985, pp. 179-229.
- ↑(en)W. W. Rouse Ball,A Short History of Mathematics,1908.
- ↑(en)Kirsti Andersen,Brook Taylor's work on linear perspective: a study of Taylor's role in the history of perspective geometry; including facsimiles of Taylor's two books on perspective,Springer, 1992.
- ↑(fr)Jean-Pierre Niceron,Mémoires pour servir à l'histoire des hommes illustres,chez Briasson, t. 40, 1739, pp. 1-14.
- ↑Per exemple, èra lo cas deNiels Abel.
- ↑(fr)Jean Dieudonné,Éléments d'analyse, t. I: Fondements de l'analyse moderne,3aedicion, 1979, p. 34.