Nombre algebric

Unnombre algebric,enmatematicas,es tot nombre qu'es solucion d'unaequacion algebrica(o encararacinad'unpolinòmidiferent dezèro) de coeficientsentièrs(o de biais equivalent, de coeficientsracionals). Sens mai de precision, se supausa qu'un nombre algebric es unnombre complèxe,mas se pòt tanben considerar los nombres algebrics dins d'autrescòrses commutatius,coma lo còrs delsnombres p-adics.Los elements d'uncòrs de nombresson (per definicion) de nombres algebrics.

Lo polinòmi irreductible unitari avent un tal nombre per racina es nomenatpolinòmi minimald'aquel nombre. L'estudi d'aqueles nombres, de lors polinòmis minimals e delscòrsesque los contenon es l'objècte de lateoria de Galois.

Exemples

Tot nombre racional es algebric, perque lo quocient ${\frac {p}{q}}\,$ de dos entièrs es racina de l'equacion $qx-p=0\,$ .
Un nombre irracional pòt èsser o non algebric. Per exemple ${\sqrt {2}}\,$ o ${\frac {3^{\frac {1}{3}}}{2}}\,$ son algebrics, perque son las solucions de $x^{2}~-~2=0\,$ e $8x^{3}~-~3=0\,$ ,respectivament.
Lo nombre complèxe $i\,$ es algebric, perqu'es racina de l'equacion $x^{2}+1=0$ .

Proprietats

Los nombres que son pas algebrics son nomenatsnombres transcendents.Gaireben totes los nombres complèxes son transcendents, perque l'ensemble dels nombres algebrics esdenombrablealara que l'ensemble dels nombres complèxes, e en consequéncia atal l'ensemble dels nombres transcendents, o es pas. Los exemples pus coneguts de nombres transcendents son $\pi \,$ e $e\,$ .D'autres exemples son donats pelteorèma de Gelfond-Schneider.

Totes los nombres algebrics soncalculables.

S'un nombre algebric es racina d'una equacion polinomiala de gran,e s'es racina de cap d'equacion polinomiala de gra estrictament inferior an,se ditz qu'es unnombre algebric de gra n.Per exemple, los nombres algebrics de gra 1 son los racionals; $i$ e ${\sqrt {2}}$ son algebrics de gra 2.

Lo concèpte de nombre algebric pòt èsser generalizat a d'extensions de còrsarbitraris; los elements dins de talas extensions que satisfàn a las equacions polinomialas son nomenatselements algebrics.

Lo còrs dels nombres algebrics

La soma, la diferéncia, lo produch e lo quocient de dos nombres algebrics son encara algebrics (aquel resultat es gaire evident; lo biais mai simple d'o mostrar passa per l'utilizacion delresultant); per consequéncia, los nombres algebrics forman uncòrs commutatiu,abitualament notat ${\overline {\mathbb {Q} }}$ ;es inclús dins $\mathbb {C}$ . Avèm ${\overline {\mathbb {Q} }}\neq \mathbb {C}$ :en efècte, l'ensemble ${\overline {\mathbb {Q} }}$ esdenombrable,alara que $\mathbb {C}$ o es pas. Ne resulta l'existéncia de nombres que son pas algebrics: se ditz que sontranscendents. Se pòt mostrar que cada racina d'una equacion polinomiala que sos coeficients son denombres algebricses encara algebrica. Aquò se pòt tornar formulat disent que lo còrs dels nombres algebrics esalgebricament claus.En fach, es lo pus pichon còrs algebricament claus contenent los nombres racionals, e es en consequéncia nomenatclausura algebricadel còrs $\mathbb {Q}$ dels racionals.

Totes los enonciats çai sus son fòrça aisidament demostrats dins lo contèxte general dels elements algebrics d'una extension de còrs.

Nombres definits per de radicals

Totes los nombres que se pòdon obtenir dempuèi d'entièrs utilizant un nombrefinitd'Addicions,desostraccions,demultiplicacions,dedivisionse d'extraccions de racinasn-^ens(quenes un nombre entièr positiu) son algebrics. La recipròca, pasmens, es pas vertadièra: existís de nombres algebrics que se pòdon pas obtenir d'aquel biais (es loteorèma d'Abel–Ruffini); segon lateoria de Galois,totes aqueles nombres son de gra superior o egal a 5. Un exemple d'un tal nombre es l'unica racina reala de $x^{5}-x-1=0\,$ .

Entièrs algebrics

Article detalhat:entièr algebric.

Un nombre algebric que satisfà unaequacion polinomialade grande coeficientsa_iapartenent a l'ensemble $\mathbb {Z}$ delsentièrs,que lo primièr coeficient $a_{n}$ val 1 (es a dire qu'es racina d'unpolinòmi unitari), es nomenat unentièr algebric.Atal, $3+2{\sqrt {2}}\,$ ,racina de $x^{2}-6x+1$ e $2~-~5i\,$ ,racina de $x^{2}-4x+29$ ,son d'entièrs algebrics; quitament pelnombre d'aur ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ,qu'es racina de $x^{2}-x-1$ ;aquel darrièr exemple mòstra que los "coeficients" d'un entièr algebric pòdon pas èsser entièrs.

La soma, la diferéncia e lo produch d'entièrs algebrics son encara d'entièrs algebrics, çò que significa que los entièrs algebrics forman unanèl.Le nomentièr algebricven del fach que sonque los nombres racionals que son d'entièrs algebrics son los entièrs, e perque los entièrs algebrics dins totcòrs de nombresson jos plan d'aspèctes analògs als entièrs. Se $\mathbb {K} \,$ es un còrs de nombres, sonanèl d'entièrses lo sosanèl dels entièrs algebrics dins $\mathbb {K} \,$ ,e es frequentament notat ${\mathcal {O}}_{\mathbb {K} }\,$ . Aqueles anèls son los exemples mai tipics d'anèls de Dedekind.

Generalizacion

Pus generalament: sián $\mathbb {K}$ un còrs, e $\mathbb {L}$ unaextensionde $\mathbb {K}$ .Un element de $\mathbb {L}$ es dich algebric sus $\mathbb {K}$ s'es racina d'una equacion polinomiala de coeficients dins $\mathbb {K}$ ,non totes nuls; es dich transcendent sus $\mathbb {K}$ dins lo cas contrari.

La definicion donada mai naut s'obten dins lo cas particulièr que $\mathbb {K}$ es lo còrs $\mathbb {Q}$ delsracionalse $\mathbb {L}$ es lo còrs $\mathbb {C}$ dels nombres complèxes.

Classas particulièras de nombres algebrics

Ligam extèrne

(fr)(histoire des sciences)L'article de 1874 de Cantor sus la denombrabilitat dels nombres algebrics en linha e comentat sul siteBibNum.

Vejatz tanben