Phạm đức mông đức cuốn tích

Dẫn vào

Phạm đức mông đức cuốn tích là một loại xác nhập tổ hợp số tư thế, chủ yếu ứng dụng với tổ hợp toán học công thức suy luận.

Phạm đức mông đức cuốn tích công thức

\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k}

Chứng minh

Suy xét dùng Định lý nhị thức chứng minh:

\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+m}\binom{n+m}{k}x^k&=(x+1)^{n+m}\\ &=(x+1)^n(x+1)^m\\ &=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}x^r\sum_{s=0}^m\binom{m}{s}x^s\\ &=\sum_{k=0}^{n+m}\sum_{r=0}^k\binom{n}{r}\binom{m}{k-r}x^k\\ \end{aligned}

Tức có:

\binom{n+m}{k}=\sum_{r=0}^k\binom{n}{r}\binom{m}{k-r}

Nếu suy xét này tổ hợp ý nghĩa chứng minh:

Ở một cái lớn nhỏ vìTập hợp trung lấy raCái số, có thể tương đương đem lớn nhỏ vìTập hợp hủy đi thành hai cái tập hợp, lớn nhỏ phân biệt vìCùng,Sau đó từTrung lấy raCái số, từTrung lấy raCái số phương án số. Bởi vì chúng ta có đối vớiCái cử, vì thế chỉ cần suy xét một loại hủy đi pháp, bởi vì bất đồng hủy đi pháp chi gian là đồng giá.

Suy luận

Suy luận 1 cập chứng minh

\sum_{i=-r}^{s}\binom{n}{r+i}\binom{m}{s-i}=\binom{n+m}{r+s}

Chứng minh cùng nguyên công thức chứng minh tương tự.

Suy luận 2 cập chứng minh

\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}=\binom{2n}{n-1}

Căn cứ cơ sở tổ hợp toán học tri thức suy luận, có:

\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i+1}\binom{n}{i}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{n-1-i}\binom{n}{i}=\binom{2n}{n-1}

Suy luận 3 cập chứng minh

\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}

Căn cứ cơ sở tổ hợp toán học tri thức suy luận, có:

\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}\binom{n}{n-i}=\binom{2n}{n}

Suy luận 4 cập chứng minh

\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{i}=\binom{n+m}{m}

Căn cứ cơ sở tổ hợp toán học tri thức suy luận, có:

\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{i}=\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{m-i}=\binom{n+m}{m}

Trong đó $\binom{n+m}{m}$ Là chúng ta tương đối quen thuộc võng cách đồ đường nhỏ đếm hết phương án số. Cho nên chúng ta có thể suy xét này tổ hợp ý nghĩa chứng minh.

Ở một trương võng cách đồ trung, từĐi đếnCộng điBước. Quy địnhỞ vào võng cách đồ góc trái phía trên, trong đó xuống phía dưới đi rồiBước, hướng hữu đi rồiBước, phương án số vì $\binom{n+m}{m}$ .

Đổi cái thị giác, chúng ta đemBước hủy đi thành hai bộ phận đi, đi trướcBước, lại điBước, như vậyBước trung nếu cóBước hướng hữu, tắcBước trung liền cóBước hướng hữu, cố đến chứng.

Bài tập

Tham khảo tư liệu cùng chú thích

Vandermonde's Convolution Formula

Bổn giao diện gần nhất đổi mới:2023/2/18 07:57:07,Đổi mới lịch sử
Phát hiện sai lầm? Tưởng cùng nhau hoàn thiện?Ở GitHub thượng biên tập này trang!
Bổn giao diện cống hiến giả:ChungZH,tidongCrazy,Tiphereth-A
Bổn giao diện toàn bộ nội dung ởCC BY-SA 4.0CùngSATAHiệp nghị chi điều khoản hạ cung cấp, phụ gia điều khoản cũng khả năng ứng dụng