Meissel–Lehmer thuật toán

“Meissel–Lehmer thuật toán” là một loại có thể ở á tuyến tính thời gian phức tạp độ nội cầu ra $1\sim n$ Nội số nguyên tố cái số một loại thuật toán.

Ký hiệu quy định

$\left[x\right]$ Tỏ vẻ đốiHạ lấy chỉnh được đến kết quả.
Tỏ vẻ đệCái số nguyên tố,.
$\pi\left(x\right)$ Tỏ vẻ $1\sim x$ Trong phạm vi tố số cái số.
$\mu\left(x\right)$ Tỏ vẻ Mobius hàm số.
Đối với tập hợp, $\# S$ Tỏ vẻ tập hợpLớn nhỏ.
$\delta\left(x\right)$ Tỏ vẻNhỏ nhất chất ước số.
$P^+\left(x\right)$ Tỏ vẻLớn nhất chất ước số.

Meissel–Lehmer thuật toán cầu π(x)

Định nghĩa $\phi\left(x,a\right)$ Vì sở hữu nhỏ hơnChính số nguyên trung thỏa mãn này sở hữu chất ước số đều lớn hơnSố cái số, tức:

\phi\left(x,a\right)=\#\big\{n\le x\mid n\bmod p=0 \implies p>p_a\big\}\tag{1}

Lại định nghĩa $P_k\left(x,a\right)$ Tỏ vẻ vì sở hữu nhỏ hơnChính số nguyên trung thỏa mãn nhưng trọng chất ước số vừa lúc cóCái thả sở hữu chất ước số đều lớn hơnSố cái số, tức:

P_k\left(x,a\right)=\#\big\{n\le x\mid n=q_1q_2\cdots q_k \implies \forall i,q_i>p_a\big\}\tag{2}

Đặc thù, chúng ta định nghĩa: $P_0\left(x,a\right)=1$ ,Như thế liền có:

\phi\left(x,a\right)=P_0\left(x,a\right)+P_1\left(x,a\right)+\cdots+P_k\left(x,a\right)+\cdots

Cái này vô hạn cùng thức trên thực tế là có thể tỏ vẻ vì hữu hạn cùng thức, bởi vì ởKhi, có $P_k\left(x,a\right)=0$ .

ThiếtVì thỏa mãn $x^{1/3}\le y\le x^{1/2}$ Số nguyên, lại nhớ $a=\pi\left(y\right)$ .

Ở $k\ge 3$ Khi, có $P_1\left(x,a\right)=\pi\left(x\right)-a$ Cùng $P_k\left(x,a\right)=0$ ,Bởi vậy chúng ta có thể đẩy ra:

\pi\left(x\right)=\phi\left(x,a\right)+a-1-P_2\left(x,a\right)\tag{3}

Như vậy, tính toán $\pi\left(x\right)$ Liền có thể chuyển hóa vì tính toán $\phi\left(x,a\right)$ Cùng $P_2\left(x,a\right)$ .

Tính toán P₂(x,a)

Từ đẳng thức $\left(2\right)$ Chúng ta có thể đến ra $P_2\left(x,a\right)$ Tương đương thỏa mãn $y<p\le q$ Thả $pq\le x$ Số nguyên tố đối $\left(p,q\right)$ Cái số.

Đầu tiên chúng ta chú ý tới $p\in \left[y+1,\sqrt{x}\right]$ .Ngoài ra, đối với mỗi cái,Chúng ta đều có $q\in\left[p,x/p\right]$ .Bởi vậy:

P_2\left(x,a\right)=\sum_{y<p\le \sqrt{x}}{\left(\pi\left(\dfrac{x}{p}\right)-\pi\left(p\right)+1\right)}\tag{4}

Đương $p\in \left[y+1,\sqrt{x}\right]$ Khi, chúng ta có $\dfrac{x}{p}\in \left[1,\dfrac{x}{y}\right]$ .Bởi vậy, chúng ta có thể si khu gian $\left[1,\dfrac{x}{y}\right]$ ,Sau đó đối với sở hữu số nguyên tố $p\in \left[y+1,\sqrt{x}\right]$ Tính toán $\pi\left(\dfrac{x}{p}\right)-\pi\left(p\right)+1$ .Vì giảm bớt kể trên thuật toán không gian phức tạp độ, chúng ta có thể suy xét phân khối, khối trường vì.Nếu khối trường,Tắc chúng ta có thể ở $O\left(\dfrac{x}{y}\log{\log{x}}\right)$ Thời gian phức tạp độ, $O\left(y\right)$ Không gian phức tạp độ nội tính toán $P_2\left(x,a\right)$ .

Tính toán ϕ(x,a)

Đối với $b\le a$ ,Suy xét sở hữu không vượt quaChính số nguyên, thỏa mãn nó sở hữu chất ước số đều lớn hơn $p_{b-1}$ .Này đó số có thể bị chia làm hai loại:

Có thể bịChia hết;
Không thể bịChia hết.

Thuộc về đệLoại số có $\phi\left(\dfrac{x}{p_b},b-1\right)$ Cái, thuộc về đệ nhị loại số có $\phi\left(x,b\right)$ Cái.

Bởi vậy chúng ta đến ra kết luận:

Định lý:Hàm số $\phi$ Thỏa mãn dưới đây tính chất
$\phi\left(u,0\right)=\left[u\right]\tag{5}$ $\phi\left(x,b\right)=\phi\left(x,b-1\right)-\phi\left(\dfrac{x}{p_b},b-1\right)\tag{6}$

Tính toán $\phi\left(x,a\right)$ Đơn giản phương pháp có thể từ cái này định lý suy luận ra tới: Chúng ta lặp lại sử dụng đẳng thức $\left(7\right)$ ,Biết cuối cùng được đến $\phi\left(u,0\right)$ .Cái này quá trình có thể coi như từ căn tiết điểm $\phi\left(x,a\right)$ Bắt đầu sáng tạo có căn nhị xoa thụ, đồHọa ra này một quá trình. Thông qua loại này phương pháp, chúng ta được đến như sau công thức:

\phi\left(x,a\right)=\sum_{\substack{1\le n\le x\\ P^+\left(n\right)\le y}}{\mu\left(n\right)\left[x/n\right]}

\begin{gathered} \begin{matrix}&&\phi\left(x,a\right)&&\\ &\swarrow&&\searrow&\\ &\phi\left(x,a-1\right)&&-\phi\left(\frac{x}{p_a},a-1\right)&\\ \swarrow&\downarrow&&\downarrow&\searrow\\ \phi\left(x,a-2\right)&\phi\left(\frac{x}{p_{a-1}},a-2\right)&&-\phi\left(\frac{x}{p_a},a-2\right)&\phi\left(\frac{x}{p_ap_{a-1}},a-2\right)\end{matrix}\\ \vdots\\ \end{gathered}

Thượng biểu đồ kỳ tính toán $\phi\left(x,a\right)$ Quá trình nhị xoa thụ: Lá cây tiết điểm quyền giá trị chi cùng chính là $\phi\left(x,a\right)$ .

Nhưng là, như vậy yêu cầu tính toán quá nhiều đồ vật. Bởi vì $y\geq x^{1/3}$ ,Gần tính toán vìCái không vượt quaSố nguyên tố tích số số, nếu dựa theo phương pháp này tính toán, sẽ có ít nhất $\dfrac{x}{\log^3 x}$ Cái hạng, không có cách nào chúng ta đối phức tạp độ nhu cầu.

Vì hạn chế cái này nhị xoa thụ “Sinh trưởng”, chúng ta muốn thay đổi nguyên lai ngưng hẳn điều kiện. Đây là nguyên lai ngưng hẳn điều kiện.

Ngưng hẳn điều kiện:Nếu,Tắc không cần lại đối tiết điểm $\mu\left(n\right)\phi\left(\dfrac xn,b\right)$ Thuyên chuyển đẳng thức $\left(6\right)$ .

Chúng ta đem nó đổi thành càng cường ngưng hẳn điều kiện:

Ngưng hẳn điều kiện:Nếu thỏa mãn phía dướiCái điều kiện trung một cái, không cần lại đối tiết điểm $\mu\left(n\right)\phi\left(\dfrac xn,b\right)$ Thuyên chuyển đẳng thức $\left(6\right)$ :
Thả $n\le y$ ;
.

Chúng ta căn cứNgưng hẳn điều kiệnĐem nguyên nhị xoa trên cây lá cây phân thành hai loại:

Nếu lá cây tiết điểm $\mu\left(n\right)\phi\left(\dfrac xn,b\right)$ Thỏa mãn $n\le y$ ,Tắc xưng loại này lá cây tiết điểm vìBình thường lá cây;
Nếu lá cây tiết điểm $\mu\left(n\right)\phi\left(\dfrac xn,b\right)$ Thỏa mãnThả $n=mp_b\left(m\le y\right)$ ,Tắc xưng loại này tiết điểm vìĐặc thù lá cây.

Bởi vậy chúng ta đến ra:

Định lý:Chúng ta có:
$\phi\left(x,a\right)=S_0+S\tag{7}$
Trong đóTỏ vẻBình thường lá câyCống hiến:
$S_0=\sum_{n\le y}{\mu\left(n\right)\left[\dfrac xn\right]}\tag{8}$
Tỏ vẻĐặc thù lá câyCống hiến:
$S=\sum_{n/\delta\left(n\right)\le y\le n}{\mu\left(n\right)\phi\left(\dfrac{x}{n},\pi\left(\delta\left(n\right)\right)-1 \right)}\tag{9}$

Tính toánHiển nhiên là có thể ở $O\left(y\log{\log x}\right)$ Thời gian phức tạp độ nội giải quyết, hiện tại chúng ta muốn suy xét như thế nào tính toán.

Tính toán S

Chúng ta có:

S=-\sum_{p\le y}{\ \sum_{\substack{\delta\left(m\right)>p\\ m\le y<mp}}{\mu\left(m\right)\phi\left(\dfrac{x}{mp},\pi\left(p\right)-1\right)}}\tag{10}

Chúng ta đem cái này đẳng thức viết lại vì:

Trong đó:

S_1=-\sum_{x^{1/3}<p\le y}{\ \sum_{\substack{\delta\left(m\right)>p\\ m\le y<mp}}{\mu\left(m\right)\phi\left(\dfrac{x}{mp},\pi\left(p\right)-1\right)}}

S_2=-\sum_{x^{1/4}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{\substack{\delta\left(m\right)>p\\ m\le y<mp}}{\mu\left(m\right)\phi\left(\dfrac{x}{mp},\pi\left(p\right)-1\right)}}

S_3=-\sum_{p\le x^{1/4}}{\ \sum_{\substack{\delta\left(m\right)>p\\ m\le y<mp}}{\mu\left(m\right)\phi\left(\dfrac{x}{mp},\pi\left(p\right)-1\right)}}

Chú ý tới tính toánCùng thức trung đề cập đếnĐều là số nguyên tố, chứng minh như sau:

Nếu không phải như vậy, bởi vì có $\delta\left(m\right)>p>x^{1/4}$ ,Cho nên có $m>p^2>\sqrt{x}$ ,Này cùng $m\le y$ Mâu thuẫn, cho nên nguyên mệnh đề thành lập.

Càng nhiều, đương $mp>x^{1/2}\ge y$ Khi, có $y\le mp$ .Bởi vậy chúng ta có:

S_1=\sum_{x^{1/3}<p\le y}{\ \sum_{p<q\le y}{\phi\left(\dfrac{x}{pq},\pi\left(p\right)-1\right)}}

S_2=\sum_{x^{1/4}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{p<q\le y}{\phi\left(\dfrac{x}{pq},\pi\left(p\right)-1\right)}}

Tính toán S₁

Bởi vì:

\dfrac{x}{pq}<x^{1/3}<p

Cho nên:

\phi\left(\dfrac{x}{pq},\pi\left(p\right)-1\right)=1

Cho nên tính toánCùng thức trung hạng đều là.Cho nên chúng ta trên thực tế muốn tính toán số nguyên tố đối $\left(p,q\right)$ Cái số, thỏa mãn: $x^{1/3}<p<q\le y$ .

Bởi vậy:

S_1=\dfrac{\left(\pi\left(y\right)-\pi\left(x^{1/3}\right)\right)\left(\pi\left(y\right)-\pi\left(x^{1/3}\right)-1\right)}{2}

Có cái này đẳng thức chúng ta liền có thể ở $O\left(1\right)$ Thời gian nội tính toán.

Tính toán S₂

Chúng ta có:

S_2=\sum_{x^{1/4}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{p<q\le y}{\phi\left(\dfrac{x}{pq},\pi\left(p\right)-1\right)}}

Chúng ta đemPhân thành $q>\dfrac x{p^2}$ Cùng $q\le \dfrac x{p^2}$ Hai bộ phận:

Trong đó:

U=\sum_{x^{1/4}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{\substack{p<q<y\\q>x/p^2}}{\phi\left(\dfrac{x}{pq},\pi\left(p\right)-1 \right)}}

V=\sum_{x^{1/4}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{\substack{p<q<y\\q\le x/p^2}}{\phi\left(\dfrac{x}{pq},\pi\left(p\right)-1 \right)}}

Tính toán U

Từ $q>\dfrac x{p^2}$ Nhưng đến $p^2>\dfrac xq\le \dfrac xy,p>\sqrt{\dfrac xy}$ ,Bởi vậy:

U=\sum_{\sqrt{x/y}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{\substack{p<q\le y\\q>x/p^2}}{\phi\left(\dfrac{x}{pq},\pi\left(p\right)-1 \right)}}

Bởi vậy:

U=\sum_{\sqrt{x/y}<p\le x^{1/3}}{\#\left\{q\mid \dfrac x{p^2}<q\le y \right\}}

Bởi vậy:

U=\sum_{\sqrt{x/y}<p\le x^{1/3}}{\left(\pi\left(y\right)-\pi\left(\dfrac{x}{p^2} \right) \right)}

Bởi vì có $\dfrac x{p^2}<y$ ,Cho nên chúng ta có thể dự xử lý ra sở hữu $\pi\left(t\right)\left(t\le y\right)$ ,Như vậy chúng ta liền có thể ở $O\left(y\right)$ Thời gian phức tạp độ nội tính toán ra.

Tính toán V

Đối với tính toánCùng thức trung mỗi hạng nhất, chúng ta đều có $p\le \dfrac{x}{pq}<x^{1/2}<p^2$ .Bởi vậy:

\phi\left(\dfrac{x}{pq},\pi\left(p\right)-1 \right)=1+\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)-\left(\pi\left(p\right)-1\right)=2-\pi\left(p\right)+\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)

Cho nênCó thể bị tỏ vẻ vì:

Trong đó:

V_1=\sum_{x^{1/4}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{p<q\le \min\left(x/p^2,y\right)}{\left(2-\pi\left(p\right)\right)}}

V_2=\sum_{x^{1/4}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{p<q\le \min\left(x/p^2,y\right)}{\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)}}

Dự xử lý ra $\pi\left(t\right)\left(t\le y\right)$ Chúng ta liền có thể ở $O\left(x^{1/3}\right)$ Thời gian phức tạp độ nội tính toán ra.

Suy xét chúng ta như thế nào gia tốc tính toánQuá trình. Chúng ta có thể đemCống hiến tách ra thành bao nhiêu cái $\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)$ Vì định giá trị khu gian thượng, như vậy cũng chỉ yêu cầu tính toán ra mỗi một cái khu gian chiều dài cùng từ một cái khu gian đến tiếp theo cái khu gian $\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)$ Thay đổi lượng.

Càng chuẩn xác mà nói, chúng ta đầu tiên đemPhân thành hai cái bộ phận, đem $q\le \min\left(\dfrac x{p^2},y\right)$ Cái này phức tạp điều kiện đơn giản hoá:

V_2=\sum_{x^{1/4}<p\le \sqrt{x/y}}{\ \sum_{p<q\le y}{\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)}}+\sum_{\sqrt{x/y}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{p<q\le x/p^2}{\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)}}

Tiếp theo chúng ta đem cái này tư thế viết lại vì:

Trong đó:

W_1=\sum_{x^{1/4}<p\le x/y^2}{\ \sum_{p<q\le y}{\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)}}

W_2=\sum_{x/y^2<p\le \sqrt{x/y}}{\ \sum_{p<q\le \sqrt{x/p}}{\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)}}

W_3=\sum_{x/y^2<p\le \sqrt{x/y}}{\ \sum_{\sqrt{x/p}<q\le y}{\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)}}

W_4=\sum_{\sqrt{x/y}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{p<q\le \sqrt{x/p}}{\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)}}

W_5=\sum_{\sqrt{x/y}<p\le x^{1/3}}{\ \sum_{\sqrt{x/p}<q\le x/p^2}{\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)}}

Tính toán W₁ cùng W₂

Tính toán này hai cái giá trị yêu cầu tính toán thỏa mãn $y<\dfrac{x}{pq}<x^{1/2}$ $\pi\left(\dfrac{x}{pq} \right)$ Giá trị. Có thể ở khu gian $[1,\sqrt x]$ Phân khối si ra. Ở mỗi cái khối trung chúng ta đối với sở hữu thỏa mãn điều kiệnĐều mệt thêm $\pi\left(\dfrac x{pq}\right)$ .

Tính toán W₃

Đối với mỗi cái,Chúng ta đemPhân thành bao nhiêu cái khu gian, mỗi cái khu gian đều thỏa mãn chúng nó $\pi\left(\dfrac x{pq}\right)$ Là định giá trị, mỗi cái khu gian chúng ta đều có thểTính toán nó cống hiến. Khi chúng ta đạt được một cái tânKhi, chúng ta dùng $\pi(t)$ ( $t\leq y$ ) giá trị biểu tính toán $\pi\left(\dfrac x{pq}\right)$ .Trong vòng số nguyên tố biểu có thể cấp đi sứ đến $\pi(t)<\pi(t+1)=\pi\left(\dfrac x{pq}\right)$ Thành lập.Lấy này loại suy khiến cho $\pi\left(\dfrac x{pq}\right)$ Biến hóa tiếp theo cáiGiá trị.

Tính toán W₄

So với,TrungCàng tiểu, cho nên $\pi\left(\dfrac x{pq}\right)$ Thay đổi đến càng mau. Lúc này lại dựa theo tính toánPhương pháp tính toánLiền có vẻ không có bất luận cái gì ưu thế. Vì thế chúng ta trực tiếp bạo lực cái cử số đốiTới tính toán.

Tính toán W₅

Chúng ta giống tính toánNhư vậy tới tính toán.

Tính toán S₃

Chúng ta sử dụng sở hữu nhỏ hơn $x^{1/4}$ Tố số một lần si ra khu gian $\left[1,\dfrac xy\right]$ .Khi chúng ta si pháp tiến hành đếnThời điểm, chúng ta tính ra sở hữuThỏa mãn không có bình phương ước số hơn nữa $\delta(m)>p_k$ $-\mu(m)\phi\left(\dfrac{x}{mp_k},k-1 \right)$ Giá trị. Cái này si pháp là phân khối tiến hành, chúng ta ở sàng chọn khoảng cách trung giữ gìn một cái nhị xoa thụ, lấy thật khi giữ gìn sở hữu tố số sàng chọn đến cấp định tố số sau trung gian kết quả. Như vậy chúng ta liền có thể chỉ dùng $O(\log x)$ Thời gian phức tạp độ cầu ra ở si pháp tiến hành đến mỗ một cái giá trị thời điểm không có bị si đến số số lượng.

Thuật toán thời không phức tạp độ

Thời không phức tạp độ bị như sauCái quá trình ảnh hưởng:

Tính toán $P_2\left(x,a\right)$ ;
Tính toán;
Tính toán.

Tính toán P₂(x,y) phức tạp độ

Chúng ta đã biết cái này quá trình thời gian phức tạp độ vì $O\left(\dfrac{x}{y}\log{\log x}\right)$ ,Không gian phức tạp độ vì $O\left(y\right)$ .

Tính toán W₁,W₂,W₃,W₄,W₅ phức tạp độ

Tính toánSở tiến hành khối chiều dài vìSi thời gian ấn phức tạp độ vì $O\left(\sqrt{x}\log{\log x}\right)$ ,Không gian phức tạp độ vì $O\left(y\right)$ .

Tính toánSở cần thời gian phức tạp độ vì:

\pi\left(\dfrac{x}{y^2} \right)\pi\left(y\right)=O\left(\dfrac{x}{y\log^2 x} \right)

Tính toánThời gian phức tạp độ vì:

O\left(\sum_{x/y^2<p\le \sqrt{x/y}}{\pi\left(\sqrt{\dfrac xp}\right)} \right)=O\left(\dfrac{x^{3/4}}{y^{1/4}\log^2 x} \right)

Bởi vậy, tính toánThời gian phức tạp độ vì:

O\left(\sum_{x/y^2<p\le \sqrt{x/y}}{\pi\left(\sqrt{\dfrac xp}\right)} \right)=O\left(\dfrac{x^{3/4}}{y^{1/4}\log^2 x} \right)

Tính toánThời gian phức tạp độ vì:

O\left(\sum_{\sqrt{x/y}<p\le x^{1/3}}{\pi\left(\sqrt{\dfrac xp}\right)} \right)=O\left(\dfrac{x^{2/3}}{\log^2 x} \right)

Tính toánThời gian phức tạp độ vì:

O\left(\sum_{\sqrt{x/y}<p\le x^{1/3}}{\pi\left(\sqrt{\dfrac xp}\right)} \right)=O\left(\dfrac{x^{2/3}}{\log^2 x} \right)

Tính toán S₃ phức tạp độ

Đối với dự xử lý: Bởi vì muốn nhanh chóng tuần tra $\phi(u,b)$ Giá trị, chúng ta không có biện pháp dùng bình thường si phápCầu ra, mà là muốn giữ gìn một số liệu kết cấu khiến cho mỗi lần tuần tra thời gian phức tạp độ là $O(\log x)$ ,Bởi vậy thời gian phức tạp độ vì $O\left(\dfrac{x}{y}\log x\log\log x\right)$ .

Đối với cầu hòa: Đối với tính toánCùng thức trung mỗi hạng nhất, chúng ta tuần tra kể trên số liệu kết cấu, tổng cộng $O\left(\log x\right)$ Thứ tuần tra. Chúng ta còn cần tính toán cùng thức hạng số, tức nhị xoa thụ trung kỳ tử cái số. Sở hữu lá cây hình thức đều vì $\pm\phi\left(\dfrac{x}{mp_b},b-1\right)$ ,Trong đó $m\le y,b<\pi(x^{1/4})$ .Bởi vậy, lá cây số lượng là $O\left(y\pi\left(x^{1/4}\right)\right)$ Cấp bậc. Cho nên tính toánTổng thời gian phức tạp độ vì:

O\left(\dfrac{x}{y}\log x\log\log x+yx^{1/4}\right)

Tổng phức tạp độ

Cái này thuật toán không gian phức tạp độ vì $O\left(y\right)$ ,Thời gian phức tạp độ vì:

O\left(\dfrac{x}{y}\log{\log x}+\dfrac{x}{y}\log x\log{\log x}+x^{1/4}y+\dfrac{x^{2/3}}{\log^2{x}} \right)

Chúng ta lấy $y=x^{1/3}\log^3{x}\log{\log x}$ ,Liền có tối ưu thời gian phức tạp độ vì $O\left(\dfrac{x^{2/3}}{\log^2 x}\right)$ ,Không gian phức tạp độ vì $O\left(x^{1/3}\log^3{x}\log{\log x}\right)$ .

Một ít cải tiến

Chúng ta ở chỗ này cấp ra cải tiến phương pháp, lấy giảm bớt thuật toán hằng số, đề cao nó thực tế hiệu suất.

ỞNgưng hẳn điều kiệnTrung, chúng ta có thể dùng một cáiTới thay thế,Trong đóThỏa mãn.Chúng ta có thể chứng minh bộ dáng này tính toánThời gian phức tạp độ có thể ưu hoá đến:
$O\left(\dfrac{x}{z}\log x\log{\log x}+\dfrac{yx^{1/4}}{\log x}+z^{3/2} \right)$
Này cũng vì thông qua thay đổiGiá trị tới kiểm tra tính toán cung cấp một cái thực tốt phương pháp.
Vì rõ ràng khởi kiến, chúng ta ở trình bày thuật toán thời điểm lựa chọn ở $x^{1/4}$ Chỗ tách ra tới tính toán tổng hoà,Nhưng trên thực tế chúng ta chỉ cần có $p\le \dfrac{x}{pq}<p^2$ Liền có thể tính toán. Chúng ta có thể lợi dụng điểm này, tiệm gần phức tạp tính bảo trì bất biến.
Dùng trước mấy cái tố sốDự xử lý tính toán có thể tiết kiệm càng nhiều thời giờ.

Tham khảo tư liệu cùng mở rộng đọc

Bổn văn phiên dịch tự:Computing $\pi(x)$ :the Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method

Bổn giao diện gần nhất đổi mới:2024/4/27 21:57:06,Đổi mới lịch sử
Phát hiện sai lầm? Tưởng cùng nhau hoàn thiện?Ở GitHub thượng biên tập này trang!
Bổn giao diện cống hiến giả:Early0v0,Peanut-Tang,1196131597,Alpacabla,CCXXXI,Enter-tainer,GHLinZhengyu,Great-designer,ljy2009,megakite,Menci,Tiphereth-A,Vxlimo
Bổn giao diện toàn bộ nội dung ởCC BY-SA 4.0CùngSATAHiệp nghị chi điều khoản hạ cung cấp, phụ gia điều khoản cũng khả năng ứng dụng